1. EXTENSIONES DE CUERPOS. Ceros en extensiones.

1. EXTENSIONES DE CUERPOS.
Varios son los objetivos de este tema. El primero de ellos, resultado debido a
Kronecker, es probar que todo polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene una raı́z
en un cuerpo que extiende al de partida. El siguiente paso es demostrar la existencia
de un polinomio irreducible sobre el cuerpo base (con coeficientes en él) para cada
raı́z. Por último, describimos las extensiones simples.
Ceros en extensiones.
En esta primera sección probaremos que todo polinomio no constante tiene un
cero. Antes, introduzcamos alguna terminologı́a.
1.1. Definiciones.
Un cuerpo E se dice que es una extensión de cuerpos de un cuerpo F si
F ⊆ E, y F es un subanillo de E. F es llamado subcuerpo de E. También se dice
simplemente que E es una extensión de F . Este hecho, el ser E una subestructura
de F , lo denotaremos por: E ≤ F
1.2. Ejemplos.
(1) R es una extensión de Q, y C es una extensión de Q y de R.
(2) Aunque Q, R y C sean subanillos de H, los cuaterniones de Hamilton, H no es una
extensión de tales cuerpos porque no es un cuerpo (no es un anillo conmutativo).
Sin embargo, algunos autores no consideran la conmutatividad del producto entre
los axiomas de cuerpo; as, cuando el anillo subyacente es conmutativo, dichos
autores hablan de cuerpo conmutativo.
(3) Sea F un cuerpo arbitrario, y x, y indeterminadas. Consideremos los cuerpos
de fracciones de los anillos de polinomios F [x], F [y] y F [x, y] (que son dominios
de integridad), denotados por F (x), F (y) y F (x, y), respectivamente. Se tiene
entonces que F ≤ F [x] ≤ F [x, y] y que F ≤ F [y] ≤ F [x, y].
1.3. Diagramas.
Con objeto de tener una visión de las relaciones existentes entre ciertos cuerpos
(cuando las haya), utilizaremos diagrames de retı́culos, siendo cada cuerpo extensión
de los inferiores. Ası́, los ejemplos (1) y (3) de (1.2) serı́an representados como sigue:
C
|
R
|
Q
F (x, y)
/\
F (x) F (y)
\/
F (x, y)
1
2
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1.4. Teorema.
Sea F un cuerpo, y sea f (x) un polinomio no constante de F [x]. Entonces existe
un cuerpo E, extensión de F , donde f tiene un cero, esto es, existe α ∈ E tal que
f (α) = 0.
Demostración:
Sabemos que f (x) se descompone en F [x] en factores irreducibles sobre F . Sea
p(x) uno de estos factores. Basta probar que existe una extensión E de F donde p(x)
tenga un cero.
Como p(x) es irreducible, el ideal < p(x) > es maximal en F [x], y por tanto
E := F (x)/ < p(x) > es un cuerpo. La siguiente aplicación:
ϕ:
F
→ F [x]/ < p(x) >
ϕ(a) 7→
a
es un monomorfismo de anillos. Si identificamos F con su imagen (ϕ(E) = {a | a ∈
F }) resulta que F puede verse como subcuerpo de E. Falta probar que E contiene
un cero de F . Llamemos α = x ∈ E y consideremos el homomorfismo evaluación
Φα : F [x] → E. Si p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , con a0 , a1 , . . . , an ∈ F . Entonces se
tiene: Φα (p(x)) = a0 + a1 x + . . . an xn = a0 + a1 x + . . . + an xn = p(x) = 0, esto es,
α es un cero de p(x) en E.
1.5. Observación.
El cuerpo E construido en (1.4) se denota por F (α) y sus elementos son de la
forma a0 + a1 α + . . . + an αn , donde n + 1 = deg(p(x)). Esto lo probaremos al final
del tema.
1.6. Ejemplos.
(1) Podemos tomar en (1.4) F = R y f (x) = x2 + 1. El cuerpo R[x]/ < x2 + 1 > es
isomorfo a C.
(2) Consideremos en (1.4) F = Q y sea f (x) = x4 − 5x2 + 6. En este caso,
como f (x) = (x2 − 2)(x2 − 3), podemos encontrar dos cuerpos extensión de
F : Q[x]/< x2 − 2 > y Q[x]/ < x2 − 3 >.
Elementos algebraicos y trascendentales.
1.7. Definiciones.
Sean E y F cuerpos, F ≤ E. Un elemento α ∈ E se dice que es algebraico
sobre F si es cero de algún polinomio no nulo de F [x]. En caso contrario se dice
que el elemento α es trascendental sobre F . (Trascendental es la traducción literal
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del inglés “transcendental”; la palabra trascendente no aparece en el diccionario de
la RAE.)
1.8. Ejemplos.
√
(1) Q ≤ C y 2 e i son algebraicos sobre Q ya que son ceros, respectivamente, de:
x2 − 2 y x2 + 1.
(2) R ≤ C e i es algebraico sobre R (por la misma razón que lo es sobre Q).
(3) Aunque es bien conocido que π y e son trascendentales sobre Q, no es fácil
probarlo.
p
p
√
√
(4) No es difı́cil probar que
1
+
3
es
algebraico
sobre
Q:
Llamemos
α
=
1
+
3.
√
2
2
2
Entonces α = 1 + 3 y por tanto (α − 1) − 3 = 0, esto es, α es raı́z de
x4 − 2x2 + 1 ∈ Q[x].
1.9. Observación.
De la misma manera que no hablamos simplemente de polinomio irreducible
sino de polinomio irreducible sobre un cuerpo, no diremos elemento algebraico simplemente, sino elemento algebraico sobre cierto cuerpo. Por ejemplo, si consideramos
e ∈ C, e es algebraico sobre R, aunque sobre Q es trascendental.
Las nociones de elemento algebraico y de elemento trascendental tiene conexión
con otras nociones de teorı́a de números.
1.10. Definiciones.
Llamaremos número algebraico a todo elemento de C que sea algebraico sobre
Q, y número trascendental a todo elemento de C tracendental sobre Q.
Existe una elegante y extensa teorı́a de números algebraicos.
El siguiente teorema da una caracterización muy útil de los elementos algebraicos
y trascendentales sobre un cuerpo E de una extensión F . También sirve para ilustrar
la importancia del homomorfismo evaluación.
1.11. Teorema. Sean E y F cuerpos, con F ≤ E, y α ∈ E, y consideremos
el homomorfismo evaluación Φα : F [x] → E. Entonces α es trascendental sobre E si
y sólo si Φα es un monomorfismo.
Demostración:
Sabemos que α es trascendental sobre F si y sólo si f (α) 6= 0 para todo polinomio
no constante f (x) ∈ F [x], y esto es cierto, por definición, si y sólo si Φα (f (x)) 6= 0
para todo polinomio no constante f (x) ∈ F [x], equivalentemente, Ker(Φα ) = 0.
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1.12. Ejemplo.
Consideremos el homomorfismo evaluación Φi : R[x] → C. Observemos que
Φi (x4 ) = 1 = Φi (x8 ), ası́ que Φi no es inyectivo y, por (1.11), i no es trascendental
sobre R, esto es, i es algebraico sobre R.
El polinomio irreducible para α sobre F .
Sabemos que si un elemento α de un cuerpo E es algebraico sobre un subcuerpo
F de E, existe un polinomio no constante f (x) ∈ F [x] tal que f (α) = 0. Ahora bien,
también α es un cero de cualquier polinomio de la forma f (x)g(x), con g(x) ∈ F [x].
√
Por ejemplo, −2 ∈ C es raı́z de los polinomios x2 + 2, x3 (x2 + 2), ... ∈ R[x]. El
siguiente teorema prueba que de entre todos los polinomios de los que α es raı́z,
existe uno que es el que tiene menor grado y es único salvo producto por elementos
de F .
1.13. Teorema.
Sea E una extensión de un cuerpo F , y sea α ∈ E un elemento algebraico sobre
F . Entonces existe un polinomio irreducible p(x) ∈ F [x] tal que p(α) = 0. Este
polinomio tiene grado ≥ 1 y es minimal entre todos aquéllos de los que α es raı́z.
Además, es único salvo una constante de F , y si α es raı́z de g(x) ∈ F [x], siendo el
grado de g(x) ≥ 1, se tiene que f (x) divide a g(x).
Demostración:
Consideremos el homomorfismo evaluación Φα : F [x] → E. Como Ker(Φα ) es
un ideal de F [x], que es un dominio de ideales principales, existe p(x) ∈ F [x], de
grado ≥ 1, tal que < p(x) >= Ker(Φα ). De aquı́ se deduce que si f (x) ∈ F [x] es de
grado ≥ 1 y tiene a α como raı́z, p(x)|f (x) (ya que f (x) ∈ Ker(Φα ) =< p(x) >), y
si deg(p(x)) = deg(f (x)), entonces f (x) = ap(x) para cierto a ∈ F .
Finalmente, probemos que p(x) es irreducible. Supongamos p(x) = f (x)g(x),
con f (x), g(x) ∈ F [x], cada uno de ellos de grado estrictamente menor que el grado de
p(x). Entonces 0 = Φα (p(x)) = Φα (f (x)g(x)) = Φα (f (x))Φα (g(x)) = f (α)g(α) ∈ F .
Como F no tiene divisores de cero, f (α) = 0 o g(α) = 0, lo que significa que o bien
p(x)|f (x) o bien p(x)|g(x), lo que no es posible teniendo en cuenta los grados de los
tres polinomios.
1.14. Definición.
Un polinomio diremos que es mónico si el coeficiente del término de mayor grado
es 1.
1.15. Definiciones.
Álgebra Clásica. Curso 03/04
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Observemos que el polinomio p(x) de (1.13) puede ser tomado mónico. En
este caso es único (no hay ningún otro mónico en estas condiciones); se denomina
polinomio irreducible para α sobre F , y se representa por irr(α, F ). El grado de
irr(α, F ) es el grado de α sobre F , y se denota por deg(α, F ).
1.16. Observación.
El polinomio
irreducible depende del cuerpo
√
√ sobre el que√se considere. Por
2
ejemplo, irr( 5, Q) = x − 5, mientras que irr( 5, R) = x − 5, ası́ que siempre
hablaremos del “polinomio irreducible sobre”.
Extensiones simples.
Sea E una extensión de un cuerpo F , y sea α ∈ E. Sabemos que α puede ser
algebraico o trascendental sobre F .
En el primer caso, y tal y como se prueba en (1.13), si consideramos Φα : F [x] →
E, 0 6= Ker(Φα ) =< irr(α, F ) > y F [x]/ < irr(α, F ) > es un cuerpo que extiende a
F , isomorfo a Φα (F [x]), subcuerpo de E, por el Primer Teorema de Isomorfı́a. Este
subcuerpo es, ciertamente, el menor subcuerpo de E que contiene a F y a α, y será
denotado por F (α), como ya apuntamos en (1.5).
En el caso en que α sea trascendental sobre F , Φα : F [x] → E es inyectiva y,
por tanto, Φα (F [x]) es isomorfo, por el Primer Teorema de Isomorfı́a, a Φα (F [x]),
que es un subanillo de E. Como F [x] no es cuerpo, aunque sı́ dominio de integridad,
F (α) := Φα (F [x]) tiene esta misma condición.
Todo dominio de integridad tiene un cuerpo de fracciones, que es el menor cuerpo
que contiene al dominio de integridad. En este caso llamaremos F (α) al cuerpo de
fracciones de F (α). Resulta que F (α) es un subcuerpo de E que contiene a F y a α.
Los elementos no nulos de F (α) pueden verse como cociente de elementos no nulos
de la forma a0 + a1 α + . . . + an αn , ası́ que F (α) y F (x) son isomorfos (y, por tanto,
esencialemente lo mismo), lo que nos indica que el hecho de ser α trascendental sobre
F significa que α “se comporta como una indeterminada sobre F ”.
1.16. Ejemplo.
Como e es un número trascendental, el cuerpo Q(e) es isomorfo a Q(x).
1.17. Definición.
Una extensión E de un cuerpo F se dice que es una extensión simple de F si
existe α ∈ E tal que E = F (α).
1.18. Ejemplo.
C es una extensión simple de R pues C=R(i), como veremos.
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Demostremos lo que anunciábamos en (1.5).
1.18. Teorema.
Sea E una extensión simple de un cuerpo F , E = F (α) para cierto α ∈ E, y
supongamos que α es algebraico sobre F . Entonces, todo elemento u de F (α) puede
escribirse como: u = a0 + a1 α + . . . + an xn , donde a0 , a1 , . . . , an ∈ F son únicos,
y n + 1 es el grado de irr(α, F ). En particular, F (α) es un F -espacio vectorial de
dimensión n + 1, y {1, α, . . . , αn } es una base.
Demostración:
Consideremos el homomorfismo de evaluación Φα : F [x] → E. Sabemos que
F (α) = Im(Φα ), y que
ϕ:
F [x]/Ker(Φα ) → Im(Φα )
f (x)
7→
f (α)
es un isomorfismo entre F [x]/Ker(Φα ) = F [x]/< irr(α, F ) > e Im(Φα ) (por el
Primer Teorema de Isomorfı́a). Sea u ∈ F (α). Como ϕ es sobreyectiva, existe f (x) ∈
F [x] tal que u = ϕ(f (x)). Por el algoritmo de la división existen g(x), r(x) ∈ F [x]
tales que f (x) = g(x)irr(α, F ) + r(x), con deg(r(x)) < deg(irr(α, F )); escribamos
r(x) = a0 + a1 x + . . . an xn , con a0 , a1 , . . . , an ∈ F .
Tenemos que u = ϕ(g(x)irr(α, F ) + r(x)) = ϕ(r(x)) = r(α) = a0 + a1 α +
. . . an αn . Además, los coeficientes a0 , a1 , . . . , an son únicos porque son los coeficientes
del resto de dividir f (x) por irr(α, F ): Si u = b0 + b1 α + . . . bn αn , con b0 , b1 , . . . , bn ∈
F , definamos s(x) = b0 + b1 x + . . . bn xn . Entonces u = s(α) = ϕ(s(x)) = ϕ(r(x)),
y por la inyectividad de ϕ, s(x) = r(x), esto es, s(x) − r(x) ∈< irr(α, F ) >, lo que
significa que irr(α, F ) divide a s(x) − r(x). Si tenemos en cuenta que el grado de
irr(α, F ) es n + 1, mientras que el de s(x) − r(x) es a lo sumo n, necesariamente
s(x) − r(x) = 0, lo que concluye la demostración.
1.19. Ejemplo.
Consideremos el polinomio f (x) = x2 + x + 1 ∈ Z2 [x]. Como ningún elemento
de Z2 es raı́z de f (x), éste es irreducible sobre Z2 . Por (1.4), existe un cuerpo E,
extensión de Z2 , que contiene un cero, llamémosle α, de f (x). Por (1.18), Z2 (α) =
{a0 + a1 α, con a0 , a1 ∈ Z2 } = {0, α, 1, 1 + α}. Esto nos da un cuerpo finito de
cuatro elementos. Para calcular la tabla de la multiplicación en Z2 (α), basta tener
en cuenta que 0 = f (α) = α2 + α + 1.
Finalmente, probemos lo que dijimos en (1.6) (1).
1.20. Ejemplo.
El cuerpo R[x]/ < x2 + 1 > es isomorfo a C.
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Demostración:
Sabemos, por ser x2 + 1 irreducible sobre R, que R[x]/ < x2 + 1 > es un cuerpo
extensión de R. Llamemos α = x. Si aplicamos (1.18) tenemos que R(α) = {a0 +
a1 α, con a0 , a1 ∈ R}. La suma en R(α) viene dada por: (a0 + a1 α) + (b0 + b1 α) =
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )α, y el producto por: (a0 + a1 α)(b0 + b1 α) = a0 b0 + a0 b1 α +
a1 b0 α + a1 b1 α2 = (teniendo en cuenta que α2 + 1 = 0 y reordenando) = (a0 b0 −
a1 b1 ) + (a0 b1 + a1 b0 )α. Esto prueba que
ϕ:
es un isomorfismo de cuerpos.
R(α)
a0 + a1 α
→
7
→
C
a0 + a1 i