Relación 4

Algebra III (Grado en Matemáticas)
Relación 4
Curso 2015-2016
Cuerpo de descomposición. Clausura algebraica.
Extensiones normales finitas
√
√
4
Ejercicio
1. Razonar
que existe un isomorfismo σ : Q( 4 2) ∼
= Q(i 2) tal
√
√
4
4
que σ( 2) = i 2.
Ejercicio 2. Razonar que no existe ningún homomorfismo de cuerpos
√
√
4
4
σ : Q( 2) → Q( 3) .
√
Ejercicio 3. Demostrar que los cuerpos Q(i) y Q( 2) no son isomorfos.
√
Ejercicio 4. Determinar todos los homomorfismos de cuerpos Q( 2, i) → C
que existan. Hallar sus imágenes.
Ejercicio 5. Sea α una raı́z del polinomio f = X 6 + X 3 + 1 ∈ Q[X].
Determinar todos los homomorfismos de cuerpos Q(α) → C que existan.
Hallar sus imágenes. (Pista: f divide al polinomio X 9 − 1).
Ejercicio 6. Demostrar que el polinomio X 4 − 2X 2 − 2 es irreducible sobre
Q. Encontrar dos pares de ceros que generen extensiones no isomorfas.
Ejercicio 7. Demostrar que el cuerpo de descomposición de un polinomio
de grado n está generado por n − 1 de sus raı́ces.
Ejercicio 8. Calcular el grado del cuerpo de descomposición de X 6 + 1
sobre Z2 .
Ejercicio 9. Calcular el grado de los cuerpos de descomposición de los
siguientes polinomios sobre Q:
X 2 − 2,
X 4 − 1,
X 4 − 7,
X 6 − 1,
X 2 − 1,
X 2 + X + 1,
X3 − X2 − X − 2
X 4 + 1,
X 4 + 2,
X 4 + 4,
5
2
3
4
3
X − 2, (X − 2)(X − 2), X + X − 4X 2 − 5X − 5,
X 6 + 1,
X 6 − 3,
X6 + 3
1
Ejercicio 10. Calcular el grado de los cuerpos de descomposición de los
siguientes polinomios sobre Q:
X 3 − 2,
X 4 − 7,
(X 2 − 2)(X 2 − 5)
Ejercicio 11. Demostrar que el cuerpo de descomposición del polinomio
X n − 1 sobre Q es una extensión simple de Q. Determinar un elemento
primitivo de la extensión.
Ejercicio 12. Determinar el cuerpo de descomposición F del polinomio
8
X p − 1 sobre el cuerpo K = Zp . Calcular el grado [F : K].
Ejercicio 13. Sea F/K una extensión algebraica con la propiedad de que
cada polinomio con coeficientes en K factoriza completamente en F . Demostrar que F es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Ejercicio 14. Sea E/K una extensión algebraica tal que para cualquier extensión finita F/K existe un K-homomorfismo σ : F/K → E/K. Demostrar
que entonces E es una clausura algebraica de K.
Ejercicio 15. Demostrar que la clausura algebraica de Q no es una extensión finita de Q.
Ejercicio 16. Sea K ⊆ E ⊆ F una torre de cuerpos. Demostrar que F es
una clausura algebraica de K si y sólo si F es una clausura algebraica de E
y E/K es algebraica.
√
Ejercicio 17. Demostrar
que existe una clausura algebraica de Q( 2) √
que
√
lo es también de Q( 7). Deducir que cualquier clausura
algebraica de Q( 2)
√
es isomorfa a cualquier clausura algebraica de Q( 7).
√
√
Ejercicio 18. Demostrar que las extensiones de Q, Q( 2) y Q( 5) tienen
clausuras algebraicas isomorfas.
Ejercicio 19. Sea K̄ una clausura algebraica de K. Demostrar que toda
extensión algebraica de K es K-isomorfa a una subextensión de K̄.
Ejercicio 20. Demostrar que toda extensión de grado 2 es normal.
√
√
Ejercicio 21. Consideramos la √
torre de√cuerpos√Q( 4 2) ⊃ Q( 2) ⊃ Q.
Demostrar que las extensiones
Q( 4 2)/Q( 2) y Q( 2)/Q son normales pero
√
no lo es la extensión Q( 4 2)/Q.
Ejercicio 22. Estudiar si la extensión F/Q es normal para F cada uno de
los siguientes cuerpos:
p
√
√ √
√ √
3
3
Q(
5),
Q(
5),
Q(
5,
5),
Q(
2,
5),
√ √
√
√
√
√
3
4
4
Q( 3 2,
−3),
Q(
2,
−5),
Q(
4),
Q(
8),
√
√
√ √
√
Q( 6 27),
Q( 8 16),
Q( a1 , a2 , . . . , ar )
2
Ejercicio 23. Estudiar la normalidad de las siguientes extensiones:
√ √
√ √
√
√
√
Q( −7)/Q, Q( 3 −7)/Q, Q( 3 7, 3)/Q, Q( 3)( −7)/Q( 3)
Ejercicio 24. Determinar todas las extensiones de grado 3 de Z2 . Estudiar
la normalidad de cada una de ellas. Encontrar un isomorfismo explı́cito entre
aquellas que sean isomorfas.
Ejercicio 25. Calcular la clausura normal de cada una de las siguientes
extensiones:
√ √
√
√
4
3
Q(√2, √5)/Q,
Q(
2)/Q,
Q(
5)/Q,
√
√
√
√
3
3
4
Q( 5, 5)/Q, Q( 2, −3)/Q, Q( 2)/Q( 2)
3