10. TEORÍA DE GALOIS Extensiones normales.

10. TEORÍA DE GALOIS
Este capı́tulo, donde se establece el Teorema Principal de la Teorı́a de Galois,
puede ser considerado como la culminación de la asignatura. Aquı́ se relacionarán las
Teorı́as de Grupos y de Cuerpos y para ello utilizaremos todos los resultados vistos
hasta ahora.
Extensiones normales.
En esta primera sección estamos interesados en extensiones finitas F ≤ K tales
que cada monmorfismo de K que deje fijo F sea un automorfismo de K y tal que
[K : F ] = {K : F }. Tengamos en cuenta los siguientes resultados, que han sido
demostrados en temas anteriores:
(1) Un cuerpo E, (con F ≤ E ≤ F ) es un cuerpo de descomposición sobre F si y
sólo si todo monomorfismo de E en F que deje fijo F es un automorfismo de E.
Además, si E es una extensión finita y un cuerpo de descomposición sobre F ,
entonces |G(E/F )| = {E : F }.
(2) Si E es una extensión finita de F , entonces {E : F } divide a [E : F ]. Si además
E separable sobre F , entonces {E : F } = [E : F ]. También, E es separable
sobre F si y sólo si para cada α ∈ E, el polinomioirr(α, F ) tiene todos los ceros
de multiplicidad 1.
Pues bien, en virtud, de los dos puntos anteriores, las extensiones que buscamos
son extensiones finitas de F que son cuerpos de descomposición separables sobre F .
Esto nos lleva a dar la siguiente definición:
10.1. Definición. Una extensión finita K de un cuerpo F se dice que es una
extensión normal finita de F si K es un cuerpo de descomposición separable sobre
F.
10.2. Ejemplos.
√
√
1.- Q ≤ Q( 2) es una extensión normal finita ya que Q( 2) es un cuerpo de descomposición sobre Q y además es separable sobre Q porque al ser Q perfecto
toda extensión finita es separable.
2.- Zp (y p ) ≤ (Zp (y p ))(y) no es una extensión normal finita ya que aunque el cuerpo
(Zp (y p ))(y) es de descomposición sobre Zp (y p ), la extensión no es separable.
10.3. Proposición.
Consideremos las siguientes extensiones: F ≤ E ≤ K ≤ E. Si K es una
extensión normal finita de F , entonces también lo es de E, y G(K/E) es el subgrupo
de G(K/F ) formado por aquellos automorfismos de K que dejan E fijo. Además,
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Álgebra Clásica. Curso 03/04
dos automorfismos σ y τ de G(K/F ) inducen el mismo monomorfismo de E en F si
y sólo si están en la misma clase por la derecha módulo G(K/E), esto es, si y sólo
si τ −1 σ ∈ G(K/E).
Demostración:
Si K es un cuerpo de descomposición sobre F , ciertamente también lo es sobre
E porque todo polinomio con coeficientes en F puede verse como un polinomio con
coeficientes en E. Además K es separable sobre E por serlo sobre F , según prueba la
Proposición 8.12. Ası́ queda demostrado que K es una extensión normal finita de E.
Ver que G(K/E) es un subgrupo de G(K/F ) es inmediato pues todo automorfismo
de K que deja fijo E, ciertamente deja fijo el subcuerpo F de E.
Por último, veamos que σ, τ ∈ G(K/F ) inducen el mismo monomorfismo de E
en F si y sólo si τ −1 σ ∈ G(K/E). Si τ −1 σ = µ ∈ G(K/E), entonces σ = τ µ y,
cualquiera que sea a ∈ E, σ(a) = (τ µ)(a) = τ (µ(a)) = (µ deja fijos los elementos de
E) τ (a), luego σ y τ inducen el mismo monomorfismo de E en F . Recı́procamente,
supongamos que σ(a) = τ (a), cualquiera que sea el elemento a ∈ E. En este caso,
(τ −1 σ)(a) = a, para cualquier a ∈ E, lo que significa que τ −1 σ es un automorfismo
de K que deja fijos los elmentos de E, esto es, τ −1 σ ∈ G(K/E).
El resultado que acabamos de demostrar prueba que existe una correspondencia
biyectiva entre las clases por la derecha que el subgrupo G(K/E) determina en el
grupo G(K/F ) y los monomorfismos de E en F que dejan fijo F . Observemos que
no podemos asegurar que dichos monomorfismos sean automorfismos, ya que puede
que E no sea un cuerpo de descomposición sobre F . Por supuesto que si la extensión
F ≤ E fuera normal, entonces sı́ habları́amos de automorfismos. Se intuye que esto
ocurrirá si y sólo si G(K/E) es un subgrupo normal de G(K/F ) (toda clase por
la izquierda es también clase por la derecha), en cuyo caso tiene sentido hablar del
grupo cociente G(K/F )/G(K/E) que, veremos, es isomorfo al grupo G(E/F ).
También decir que el término “normal” usado en teorı́a de cuerpos se corresponde, como hemos indicado, con la noción de normalidad que aparece en la Teorı́a
de Grupos.
El Teorema Principal.
El Teorema Principal de la Teorı́a de Galois establece que para una extensión
normal finita K de un cuerpo F existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G(K/F ) y los subcuerpos intermedios E, con F ≤ E ≤ K. Esta correspondencia asocia a cada cuerpo intermedio E el subgrupo G(K/E). También se tiene
el recı́proco, esto es, a cada subgrupo H de G(K/F ) podemos asociarle un cuerpo
intermedio: KH , el subcuerpo de K que queda fijo por H.
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El siguiente ejemplo ilustra claramente la situación.
10.4. Ejemplo.
√ √
Consideremos el cuerpo K=Q( 5, 7), que es una extensión normal de Q. Sabemos (véase el Ejemplo 4.18) que G(K/Q) = {σ0 , σ1 , σ2 , σ3 } ∼
= Z2 × Z2 . La correspondencia entre los subgrupos de G(K/Q) y los subcuerpos de K que quedan fijos
por los subgrupos correspondientes es la siguiente:
{σ0 , σ1 , σ2 , σ3 }
{σ0 , σ1 }
{σ0 , σ2 }
{σ0 , σ3 }
{σ0 }
↔
↔
↔
↔
↔
Q
√
Q(√7)
Q(√ 5)
Q(
√ 35)
√
Q( 5, 7)
Como todos los subgrupos del grupo abeliano G(K/Q) son normales, los cuerpos
intermedios son extensiones normales de Q.
Podemos también representar los retı́culos de los subgrupos de G(K/Q) y de los
subcuerpos de K, y comparar ambos:
√ √
Q{σ0 } = Q( 5, 7)
{σ0 , σ1 , σ2 , σ3 }
/
|
\
/
|
\
{σ0 , σ1 }
{σ0 , σ2 }
{σ0 , σ3 }
Q{σ0 ,σ1 }
Q{σ0 ,σ2 }
Q{σ0 ,σ3 }
\
|
/
\
|
/
{σ0 }
Q{σ0 ,σ1 ,σ2 ,σ3 } = Q
Observemos que la correspondencia subgrupo-subcuerpo que comentamos se establece entre los subgrupos de la parte alta del retı́culo de los subgrupos y los subcuerpos de la parte baja del retı́culo de los subcuerpos. En el tema siguiente veremos
otros ejemplos que ilustran este “principio de inversión reticular”.
10.5. Definición.
Si K es una extensión normal de un cuerpo F , al grupo G(K/F ) se le llama
grupo de Galois de K sobre F .
10.6. Teorema Principal de la Teorı́a de Galois.
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Supongamos que F ≤ K es una extensión normal finita con grupo de Galois
G(K/F ). Denotemos por L(G(K/F )) el retı́culo de los subgrupos de G(K/F ), y por
L(K)F el de los subcuerpos de K que contienen a F , y definamos
λ:
L(K)F
E
→
7
→
L(G(K/F ))
λ(E)
donde λ(E) es el subgrupo de G(K/F ) que deja E fijo. Entonces λ es una aplicación
biyectiva y, cualquiera que sea el subcuerpo E de K que contenga a F , se satisfacen
las siguientes propiedades:
(i) λ(E) = G(K/E).
(ii) E = KG(K/E) = Kλ(E) .
(iii) Si H ≤ G(K/F ), λ(KH ) = H.
(iv) [K : E] = |λ(E)| y [E : F ] = {G(K/F ) : λ(E)}, donde {G(K/F ) : λ(E)} denota
el número de clases que λ(E) determina en G(K/F ).
(v) E es una extensión normal de F si y sólo si λ(E) es un subgrupo normal de
G(K/F ), y si λ(E) es un subgrupo normal de G(K/F ), entonces G(E/F ) ∼
=
G(K/F )/G(K/E).
(vi) El retı́culo de los subgrupos de G(K/F ) es el retı́culo invertido de los subcuerpos
intermedios de K sobre F .
Demostración:
(i) es la definición de λ.
(ii) Que E es un subcuerpo de KG(K/E) se sigue de manera inmediata. Para el
recı́proco, consideremos α ∈ K \ E y el polinomio irr(α, E). Como α ∈
/ E, irr(α, E)
tiene al menos otra raı́z, aparte de α. Elijamos β 6= α raı́z de dicho polinomio.
Ψα,β : E(α) → F es un monomorfismo de cuerpos que deja fijo F . Por el Teorema
de extensión de isomorfismos, existe un monomorfismo de cuerpos σ : K → E que
extiende a Ψα,β . Como K es cuerpo de descomposición sobre E (Proposición 10.3), σ
es un automorfismo de K y lleva α a β. Esto significa que KG(K/E) ≤ E puesto que
para cada elemento α que no está en E encontramos un automorfismo de G(K/E)
que lo lleva en otro elemento distinto, por lo que α ∈
/ KG(K/E) . Queda ası́ probado
que E = KG(K/E) .
Además, (ii) prueba que λ es una aplicación inyectiva: Sean E, E 0 ∈ L(K)F
tales que λ(E) = λ(E 0 ), esto es, G(K/E) = G(K/E 0 ). Entonces E = KG(K/E) =
KG(K/E 0 ) = E 0 .
(iii) Sea H un subgrupo de G(K/F ). Por la propia definición tenemos que
H ≤ λ(KH ) := G(K/KH ) ≤ G(K/E). Probemos que H no puede ser un subgrupo
Álgebra Clásica. Curso 03/04
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propio de G(K/KH ). Supongamos lo contrario.
En primer lugar, afirmamos que KH ≤ K es una extensión simple: si KH es
infinito, el resultado se sigue por el Teorema del elemento primitivo, y si KH es
finito, se tiene por el Corolario 9.10, luego existe α ∈ K tal que K = KH (α). Sea
m = [K : KH ] = {K : KH } = |G(K/KH )|. Como H es un subgrupo propio,
|H| < m. Llamemos H = {σ1 , . . . , σ|H| }, y consideremos el polinomio
|H|
f (x) = Πi=1 (x − σi (α)),
que tiene grado < m. Observemos que los coeficientes de las potencias de x en
f (x) son expresiones simétricas en los elementos de H (si llamamos ai = σi (α) y
suponemos |H| = 3 tenemos que
f (x) = x3 − (a1 + a2 + a3 )x2 + (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 )x − a1 a2 a3
por ejemplo); por otro lado, como H es un grupo finito, cualquiera que sea el elemento σ ∈ H, {σσ1 , . . . , σσ|H| } = H, por lo que los coeficientes de f (x) permanecen
invariables por cualquier automorfismo σ ∈ H. Esto significa que dichos coeficientes
están en KH , y como alguno de los σi es la aplicación identidad (H es un subgrupo
y contiene al neutro del grupo), σi (α) = α para algún i, lo que implica que f (α) = 0.
En consecuencia,
deg(α, KH ) ≤ |H| < m = [K : KH ] = [KH (α) : KH ],
lo que es una contradicción y prueba este apartado, es decir, la sobreyectividad de λ.
(iv) De ser [K : E] = {K : E} = |λ(E)| se sigue la primera parte. Por otro
lado, [E : F ] = {E : F } y la última afirmación de la Proposición 10.3, implican
[E : F ] = {G(K/F ) : λ(E)}.
(v) Como F ≤ E ≤ K y F ≤ K es separable, F ≤ E es separable, ası́ que
F ≤ E es normal si y sólo si E es un cuerpo de descomposición sobre F . Por el
resultado (x.x) del Tema 6, E es un cuerpo de descomposición sobre F si y sólo si
todo automorfismo de F que deja fijo F induce un automorfismo de E que deja fijo
F . Como K es un cuerpo de descomposición sobre F , todo automorfismo de F que
deja fijo F induce un automorfismo de K que deja fijo F . Por otro lado, por el
Teorema de extensión de isomorfismos, todo monomorfismo de E en F que deje fijo
F puede extenderse a un monomorfismo de K que, por ser normal (separable) K
sobre F es, de hecho, un automorfismo, luego los automorfismos de G(K/F ) inducen
los posibles automorfismos de G(F/E). Ası́, E es un cuerpo de descomposición sobre
F (es decir, es normal sobre F ) si y sólo si para cualesquier σ ∈ G(K/F ) y α ∈ E,
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σ(α) ∈ E. Por (ii), E es el cuerpo fijo de G(K/E), luego σ(α) ∈ E si y sólo si
para todo τ ∈ G(K/E), τ (σ(α)) = σ(α), equivalentemente, (σ −1 τ σ)(α) = α. Esto
significa que σ −1 τ σ ∈ G(K/E), o dicho con otras palabras, G(K/E) es un subgrupo
normal de G(K/F ).
Finalmente, supongamos que λ(E) es un subgrupo normal de G(K/F ). Consideremos la aplicación
Φ : G(K/F ) → G(E/F )
σ
7→
σE
donde σE es el automorfismo inducido por σ. La aplicación está bien definida porque
E es una extensión normal de F . Además es un homomorfismo de grupos. Es
sobreyectiva por el Teorema de extensión de isomorfismos, y su núcleo es G(K/E).
Por el Primer Teorema de Isomorfı́a para grupos, G(E/F ) ∼
= G(K/F )/G(K/E).
(vi) se sigue porque si H y H 0 son subgrupos de G(K/F ) tales que H ≤ H 0 ,
entonces KH 0 ≤ KH , con lo que el orden del primer retı́ulo se invierte cuando pasamos
al segundo.
El Teorema Principal de la Teorı́a de Galois es una herramienta bastante fuerte
en el estudio de los ceros de un polinomio. Si f (x) ∈ F [x] es tal que todo factor
irreducible de f (x) es separable sobre F , entonces el cuerpo de descomposición K de
f (x) sobre F es una extensión normal finita de F . En este caso el grupo de Galois
G(K/F ) será llamado el grupo del polinomio f (x) sobre F . La estructura de este
grupo puede dar información considerable en cuanto a los ceros de f (x), como será
puesto de manifiesto en el último de los temas.
Los grupos de Galois sobre cuerpos finitos.
En esta sección estudiaremos cómo es el grupo de Galois de una extensión finita
de un cuerpo finito.
10.7. Teorema. Sea K una extensión finita de grado n de un cuerpo F de pr
elementos. Entonces:
(i) F ≤ K es una extensión normal finita.
(ii) El grupo de Galois G(K, F ) es cı́clico de orden n y está generado por el autor
morfismo σpr ∈ Aut(K) dado por σpr (α) = αp , cualquiera que sea α ∈ K.
Demostración:
(i) Como todo cuerpo finito es perfecto, la extensión es separable. Además, si F
tiene pr elementos y [K : F ] = n, entonces K tiene prn elementos y, según vimos en
rn
el tema de cuerpos finitos, K es el cuerpo de descomposición de xp − x sobre F ,
luego la extensión F ≤ K es separable y nuestra afirmación queda probada.
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(ii) Es fácil ver que σpr ∈ Aut(K) ya que K es un cuerpo finito y σpr un
monomorfismo. Además, F queda fijo por σpr porque el grupo (F ∗ , ·) tiene pr − 1
elementos. Demostremos ahora que σpr genera Aut(K). Observemos que (σpr )s (α) =
rs
αp . Como un polinomio de grado prs puede tener, a lo sumo, prs raı́ces en un cuerpo,
la menor potencia de σpr que puede dejar fijos los prn elementos de K es la n. Esto
significa que el orden de σpr en G(K/F ) es al menos n. Como G(K/F ) = [K : F ] = n,
necesariamente es n este orden, lo que prueba que G(K/F ) es cı́clico y está generado
por σpr .
Utilizaremos el resultado que acabamos de probar para dar un nuevo ejemplo
de la correspondencia subgrupo–subcuerpo que establece el Teorema Principal de la
Teorı́a de Galois.
10.8. Ejemplo.
Sea F =Zp y sea K = GF (p12 ). Entonces G(K/F ), que es un grupo cı́clico con
12 elementos, es isomorfo a (Z12 , +). Expresemos los diagramas del retı́culo de los
subgrupos de G(K/F ) =< σp > y el de los subcuerpos de K.
< σp >
GF (p12 )
/\
/\
< σp2 >
< σp3 >
GF (p4 )
GF (p6 )
/\
/
\
/\
< σp3 >
< σp2 >
GF (p2 )
GF (p3 )
\/
\/
{ı}
GF (p)