Relación 5

Algebra III (Grado en Matemáticas)
Relación 5
Curso 2015-2016
Extensiones separables. Automorfismos de extensiones
Ejercicio 1. Demostrar que sobre un cuerpo de caracterı́stica p el polinomio
X p − a o es irreducible ó es una potencia de un polinomio lineal.
Ejercicio 2. Estudiar si los siguientes elementos son separables:
√
1. 4 23 sobre Q.
√
√
2. 8 2 sobre Q( 2),
√
3. 7 5 sobre Z7 ,
4. La indeterminada t sobre Zp (tp ), con p un primo.
Ejercicio 3. Sea F/K una extensión finita con m = [F : K] y car(K) =
p > 0 tales que p - m. Demostrar que la extensión F/K es separable.
Ejercicio 4. Demostrar que una extensión no separable de un cuerpo de
caracterı́stica p tiene grado mayor o igual a p.
Ejercicio 5. Sea a ∈ Zp un elemento distinto de cero y f (x) = X p −X +a ∈
Zp [X]. Demostrar que si α es una raı́z de f (X) entonces también lo es α + 1.
¿Es f (X) separable?
Ejercicio 6. Sea K un cuerpo de caracterı́stica 2. Demostrar que cualquier
extensión separable de grado dos sobre K puede generarse por una raı́z de
un polinomio X 2 + X + a, con a ∈ K. Recı́procamente, un polinomio del
tipo anterior es separable sobre K. Además si u es una raı́z del polinomio
anterior, también lo es u + 1. Demostrar que los automorfismos de K(u)/K
son la identidad y σ, con σ(b + cu) = b + c + cu, para b, c ∈ K.
Ejercicio 7. Sea K un cuerpo de caracterı́stica 2. Demostrar que cualquier
elemento u no separable de grado dos sobre K es raı́z de un polinomio de
la forma x2 + a con a ∈ K un elemento que no es un cuadrado en K.
Recı́procamente, demostrar que cualquier polinomio del tipo anterior no es
separable sobre K.
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Ejercicio 8. Sea K un cuerpo de caracterı́stica distinta de 2. Demostrar
que toda extensión de grado dos sobre K es separable y puede ser generada
por una raı́z del polinomio X 2 − a, con a ∈ K un elemento que no es un
cuadrado en K. Recı́procamente, si u es una raı́z del polinomio anterior,
entonces K(u)/K es separable. Encontrar los automorfismos de K(u)/K.
Ejercicio 9. Demostrar que cualquier automorfismo de cuerpos deja fijo el
subcuerpo primo, elemento a elemento.
Ejercicio 10. Si K es un cuerpo perfecto, demostrar que el cuerpo fijo de
K bajo todos los automorfismos de K es perfecto.
Ejercicio 11. Sea E/K una de las siguientes extensiones de cuerpos:
1. K = Q(t),
E = K(i)
2. K = Q(t2 ), E = Q(t, i) donde t es transcendente sobre Q e i2 = −1.
Calcular el grupo de automorfismos de E/K, determinar el cuerpo fijo F
bajo los automorfismos de G y calcular el grado [E : F ].
Ejercicio 12. Sea E un cuerpo con infinitos elementos, G un grupo finito
de automorfismos de E y F el cuerpo fijo por G. Razonar que F es necesariamente infinito.
Ejercicio √
13. Calcular los √
grupos
de automorfismos Aut(E) y Aut(F ), para
√
3
3
3
E = Q(ω, 2) y F = Q(ω, 2, 5).
Ejercicio 14. Para las siguientes extensiones de Q y los siguientes Q-automorfismos, calcular los cuerpos fijos.
√ √ √
√
√ √
√ √
√
1. E = Q( 2, 3, 5),
σ1 : 2 7→ − 2; 3 7→ 3; 5 7→ 5.
√ √
√
√ √
√
2. E = Q( 2, −2)
σ2 : 2 7→ 2; −2 7→ − −2.
√
√ √
√
√ √
3. E = Q( 2, 3 2),
σ3 : 2 7→ − 2; 3 2 7→ 3 2.
√
√
√
4. E = Q(ω, 3 2),
σ4 : 3 2 7→ ω 3 2; ω 7→ ω.
Ejercicio 15. Considerar los automorfismos de K(X), σ1 : X 7→ 1 − X y
σ2 : X 7→ 1/X. Demostrar que el grado de K(X) sobre el cuerpo fijo F de
H = hσ1 , σ2 i es 6. Comprobar que α = (x2 − x + 1)3 /(x2 − x)2 pertenece a
F y usar este hecho para encontrar un polinomio con coeficientes en F del
que X sea raı́z.
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