DERIVADAS DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION La

DERIVADAS
DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
La derivada de una función respecto de (x) es la función ´ (se lee “f
prima de (x) y está dad por:
´ lim
El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que es
derivable en c si existe ´ , es decir,
lim
existe
La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a
una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea.
Al calcular el límite lim
lo que sucede es que el punto Q empieza
a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en
ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c
representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)).
REGLAS DE DERIVACIÓN
1. Derivada de una constante
Sea la función , donde c es una constante o número real. La derivada será
´ 0.
Ejemplo 1:
9 ´ 0
Ejemplo 2:
9 ´ 0
Ejemplo 3:
9 ´ 0
2. Derivada de una potencia de x
Sea la Función , la derivada será
cualquier número real.
´ , donde n es
Ejemplo 1:
´ 3
3 "
Ejemplo 2:
# ´ 5 # 5 %
Ejemplo 3:
& " &´ 2 " 2 3. Derivada de una constante por una función
Sea la Función , la derivada será ` Ejemplo 1:
6 % ´ 64 % 24
Ejemplo 2:
2
´ 23
6 "
Ejemplo 3:
+ 5 , +´ 56 , 30 Ejemplo 4:
. 6 .´ 61 6 6
4. Derivada de una suma o resta de funciones
La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia
de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
Sea 0 1 2 1 +3
La derivada será ´ 0´ 1 2´ 1 +´3
Ejemplo 1:
2 % 8 " 9 3
´ 8 16 9
Derivar cada término por separado aplicando las
reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 2:
. 5 " 3 12 20
.´ 10 9 12
Derivar cada término por separado aplicando las
reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 3:
3 % 8 " 2
´ 12 16 2
5
6
Exponentes fraccionarios 6 y términos de la forma √ 8 .
6
Los términos de la forma √ 8 para expresarlos como exponente se aplica la
5
6
propiedad de radicación √ 8 6 .
9
;
<
Ejemplo 1: derivar la función 4 : 2 < √
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
9
;
<
4 : 2 < √
función inicial
6
<
5
Convertir el término √ en exponente aplicando √ 8 6
9
;
9
4 : 2 < <
9
#
;
9
´ 4 ="> : 2 = > < = > < Derivar cada término por separado
aplicando las reglas anteriormente vistas.
9
´ 2 : :
:
< <
Simplificando, resultado final.
9
@
Ejemplo 2: derivar la función ? ; 5 √ 2 4
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
9
@
? ; 5√ 2 4
función inicial
6
5
Convertir los términos con radical en exponente aplicando √ 8 6
9
<
? ; 5 @ 2 4
9
<
?´ =#> ; 5 =%> @ 23
Derivar cada término por separado
aplicando las reglas anteriormente vistas.
@
?´ # ; #
%
9
@ 6 "
Simplificando, resultado final.
5. Derivada de un producto de funciones
Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.
Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la
derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
6. Derivada de un cociente de funciones
Sea B
CB
,la derivada será ´ CBA´BBAC´B
0CB3:
Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la
derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda;
dividida entre la segunda al cuadrado”.
El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante.
7. Regla de la cadena
Si 03 , entonces la derivada es ´ 03 A ´
La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los
siguientes tipos:
<
√ 1
Funciones Raíz
2 1# Función con paréntesis elevado a una potencia
Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las
funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Ejemplo 1: derivar 2 " 3,
2 " 3,
03 , en este caso la función 2 " 3 es la función
interna y se encuentra elevada a la 6.
´ 62 " 3# A 4
Organizar términos el 4x pasa a la izquierda
´ 242 " 3#
Resultado final
<
Ejemplo 2: derivar & √ " 12. Aplicando la propiedad de radicación se
5
6
transforma el radical en exponente. D8 6
9
<
& √ " 12 " 12<
9
& " 12<
Aplicar propiedad de radicación
03 , en este caso la función " 12 es la función
interna y se encuentra elevada a la .
´
:
&´ " 12< A 2 12
:
&´ 2 12 " 12<
:
"
&´ 4 " 12<
&´ &´ :
<
= B%>
Simplificar
:
:
B : "B<
:
<
= B%>
<
Pasar (2x-12) a la izquierda
DB : "B:
Bajar el término " 12< con potencia positiva
:
Convertir en radical el término " 12<
8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena
Si E F su derivada es ´E F A E´, la variable E es el exponente de
(e) y E´ significa derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar 2 "B
2 "B
Función inicial
2´ "B A 2
Pasar el número 2 a la izquierda
2´ 2 "B
Respuesta
9
Ejemplo 2: derivar 2 B : B
2 9
B : B
Función inicial
9
9
2´ : 1 B : B
"
"
Ejemplo 3: derivar 2 %B
2 %B
< #B
2´ %B
< #B
9
El término : 1 pasa a la izquierda
< #B
Función inicial
A 12 " 5
2´ 12 " 5 %B
< #B
Aplicar fórmula ´E F A E´
El término 12 " 5 pasa a la izquierda
9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena
Si E GE su derivada es ´E A E´, la variable (u) es la que
F
acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar + G + G +´ Función inicial
B:
Organizar la expresión como fracción para simplificar
B<
+´ B
Respuesta
Ejemplo 2: derivar G5 % 4 " G5 % 4 Función inicial
´ ´ ´ ´ #B @ %B
A 20 8 Aplicar la fórmula ´E A E´
F
"B < HB
Organizar los términos como fracción para simplificar
#B @ %B
%BI#B : "J
Factorizar por factor común y simplificar
B#B < %
%I#B : "J
Respuesta
#B < %
Ejemplo 3: derivar G√ " 1
G√ " 1 Función inicial
9
G " 1:
Convertir el radical √ " 1 en exponente
9
Para derivar la función " 1: mirar el tema de regla de regla de la cadena
para funciones algebraicas visto anteriormente.
´ ´ ´ 9
K
"BB : :
9
"B : :
9
K
BB : :
9
B : :
B
9
9
B : : B : :
Organizar los términos como fracción para simplificar
Simplificar los términos de bases iguales " 1
Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales
B
´ B : Respuesta
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
10. Función Seno
Si E LE, su derivada es ´E ME A E´, la variable (u) es la que
acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 1: derivar L " 1
L " 1
´ M " 1 A 2
Pasar el término 2x a la izquierda
´ 2M " 1
Respuesta
11. Función Coseno
Si E ME, su derivada es ´E LE A E´, la variable (u) es la
que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 2: derivar 2 M√2 4
2 M√2 4
9
2 M2 4: Convertir el radical √2 4 a exponente
9
Para derivar la función 2 4: mirar el tema de regla de regla de la cadena
para funciones algebraicas visto anteriormente.
9
9
2´ L=2 4: > A 03 " 2 4: 3
9
Simplificar y organizar (u´)
9
9
2´ 3 " 2 4: L=2 4: > Pasar a la izquierda 3 " 2 4:
9
9
2´ 3 " 2 4: L=2 4: > Respuesta
12. Función Tangente
Si E NE, su derivada es ´E L " E A E´, la variable (u) es la que
acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 3: derivar tan 2 % " tan 2 % " ´ Sec " 2 % " A 8 2
Pasar el término 8 2 a la izquierda
´ 8 2 Sec "2 % " Respuesta
13. Función Secante
Si E E, su derivada es ´E LE A tanE A E´, la variable (u)
es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 4: derivar ? Sec √ 2
? Sec √ 2
9
? Sec : 2
Convertir el término √ a exponente
9
9
9
?´ Sec = : 2> A N = : 2> A " : 9
9
Aplicar ´E LE tanE A E´
9
?´ " : Sec = : 2> N = : 2>
14. Función Cotangente
Si E E, su derivada es ´E " E A E´, la variable (u) es la
que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 5: derivar cot 5 " cot 5 " ´ csc " 5 " A 10 1
´ 10 1 csc " 5 " ´ 1 10 csc " 5 " Aplicar ´E " E A E´
15. Función Cosecante
Si E E, su derivada es ´E cscE A cot E A E´, la variable (u)
es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u.
<
Ejemplo 6: derivar . csc 5√ # 2
<
. csc 5√ # 2
;
. csc 5 < 2
<
Convertir el término 5√ # en exponente
;
;
"#
:
.´ csc =5 < 2> =5 < 2> A < .´ "#
:
;
;
< csc =5 < 2> =5 < 2> Aplicar ´E cscE cot E A E´
DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
Regla del producto. Multiplicación de funciones
Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.
Regla del cociente. División de funciones
B
Sea CB ,la derivada será ´ CBA´BBAC´B
0CB3:
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
´ A 2´ 2 A ´
Identificación de los términos en la función √ 3
2 √ 3 3"
Calculamos las derivadas
´ 1
1
2´ 3" A 1
2
9
2´ " 3:
Simplificando
Aplicando la regla del producto para √ 3
´ A 2´ 2 A ´
9
9
´ A =" 3: > 3: A 1 Remplazando en la fórmula
9
B
9
´ " A 3: 3:
9
B
9
B
´ 3: " 3
´ 3: " 3
9
´ 3: " 3
´ <
:
Factorizar 3 por facto común
Simplificar, romper paréntesis
Operar términos semejantes
9
B B
Simplificar la expresión
Pasar el término 3: al denominador cambia de signo
9
:
el exponente por propiedad de potenciación
´ <
:
B √B
Convertir el término del denominador en radical. Respuesta
B<
Ejemplo 2: derivar "B
B
CB
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
´ CBA´BBAC´B
0CB3:
B<
Identificación de los términos en la función "B
2 2 1
B
CB
Calculamos las derivadas
´ 3 "
2´ 2
B<
Aplicando la regla de cociente para ´ ´ ´ ´ "B
CBA´BBAC´B
0CB3:
"BAI B : JIB < JA"
"B:
,B < B : "B <
"B:
%B < B :
"B:
Remplazar en la fórmula
Realizar operaciones
Reducción de términos semejantes, respuesta
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
´ A 2´ 2 A ´
Identificación de los términos en la función + "B
"B
: %
M7 : %
2 M7 Calculamos las derivadas
´ "B
: %
A 4
´ 4 "B
: %
2´ L7 A 21 "
2´ 21 " L7 Aplicando la regla del producto para + "B
+´ A 2´ 2 A ´
: %
M7 Remplazando en la fórmula
+´ "B
: %
A I21 " L7 J M7 A 4 "B
+´ 21 " L7 "B
: %
4M7 "B
: %
: %
Organizar y simplificar
+´ "B
: %
21L7 4M7 Factorizar por factor común
+´ "B
: %
21L7 4M7 Respuesta.
Ejemplo 4: derivar X B @ B
B
B < "
CB
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
´ CBA´BBAC´B
0CB3:
Identificación de los términos en la función X B @ B < "
B
CB
G3 % 2 2
Calculamos las derivadas
´ 1
A 12 3 % ´ 12
4
%
3
2´ 3 "
Aplicando la regla de cociente para ´ ´ ´ ´ ´ X B @ B < "
CBA´BBAC´B
0CB3:
@
Y
B < "A= >XI B @ JA B : B < ":
Z
Y
%B : B : XI B @ J
B < ":
Remplazando en la fórmula
Realizar operaciones y organizar
%B : HB K9 B : XI B @ J
B < ":
B K9 %B < H B < XI B @ J
B < ":
Factorizar por factor común, respuesta