Apuntes de Matemática discreta. Algunas propiedades útiles: Algoritmos de División y Euclides.

Apuntes de Matemática discreta.
Algoritmos de División y Euclides.
Si a divide a b, lo representamos así: aøb.
Algunas propiedades útiles:
a<>0 y aøb, entonces aøbx, para todo entero x
aøb y bøc, entonces aøc.
aøb y aøc, entonces aø(bx+cy), para todos los enteros x, y.
Si a y b son positivos, entonces aøb implica a£b.
Si a y b son distintos de 0, entonces si aøb y bøa, entonces a=b o a=−b.
Valor absoluto.
øa+bø£ øaø+øbø
Si a y b son distintos de 0, y aøb, entonces øaø£øbø
Algoritmo de la división.
Corolario del algoritmo:
Dados a,b y b<>0, existen q y r tales que a=bq+r, y 0£r<øbø
Módulo:
Dado el corolario anterior para a y b, a MOD b=r.
Propiedades:
Si aMODm=cMODm y bMODm=dMODm
entonces:
(a+b)MOD m=(c+d)MOD m
(ab)MOD m= (cd)MOD m
Máximo común divisor.
Dados a1,a2,.an, su mcd.(a1,a2,an) es el divisor común d>0 al que cualquier otro divisor común divide.
Propiedades:
1
Si a y b son enteros distintos de 0, existe un sólo d divisor común y además es el entero positivo más pequeño
que puede expresarse como ax+by, siendo x e y enteros.
El m.c.d (a,b)=1 sí y sólo si existen enteros s y t que hacen as+bt=1.
Si a y b son enteros distintos de 0:
Sus divisores comunes son divisores del resto r de la división de a por b.
Los divisores comunes de b y r son divisores de a.
El m.c.d del dividendo y del divisor es el mismo que el m.c.d del divisor y del resto.
Algoritmo de Euclides:
Para calcular el m.c.d de dos números a y b.
Sea a el mayor de los números. Se divide entre b y se obtiene el resto r1. Si r1=0, entonces es b el m.c.d. Si
no, se divide b entre el resto r1. Si el resto r2=0, entonces es r1 el m.c.d. Si no, se divide r1 entre r2, y así
sucesivamente hasta hasta que salga un resto igual a 0.
Propiedades:
Si k>0, entonces m.c.d(ka,kb)=k*m.c.d(a,b)
Para k<>0, m.c.d.(ka,kb)= økøm.c.d(a,b)
Números primos y Teorema fundamental de Aritmética
Números primos:
p>1 es primo si sus divisores son sólo 1 y p. Si no es primo, es compuesto.
a1,a2,an son primos entre sí si su m.c.d es 1.
Lema de Euclides:
Sean a,b,c números enteros. Si a y c son primos entre sí y cøab, entonces cøb.
Corolarios:
Sea p>1, entonces:
p es primo sí y sólo si, dados cualquier par a y b de enteros, si pøab, entonces pøa ó pøb.
Si p es número primo y pøa1.an, entonces pøai para algún i.
Teorema fundamental de la aritmética:
Dado cualquier entero mayor que 1, se puede exprear como un producto de números primos, y además, esa
expresión es única si se representan los números primos ordenados en el producto de menor a mayor (Puede
haber números primos repetidos)
2
Corolario:
Dado cualquier entero n, y ønø>1, entonces hay una factorización única:
n=±p1a1..ptat, donde los pi son primos distintos y los ai³1
Propiedades:
Si pn es el primo n−ésimo, entonces, pn£
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