Las clases de residuos en los en los enteros gaussianos

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
Las residuos en los enteros gaussianos
Por: Álvaro Lecompte
Resumen
Los enteros gaussianos comparten características similares con los enteros: tienen
algoritmo de división, algoritmo de Euclides, números primos que son irreducibles y
factorización única en primos. En un artículo anterior exploramos la relación de los primos
de los enteros gaussianos con las triplas pitagóricas. En este trabajo estudiamos con mayor
detalle las clases de residuos con un divisor arbitrario en los enteros gaussianos y los
análogos de la función Phi de Euler y del Pequeño Teorema de Fermat. Como paso previo,
estudiamos como se consiguen computacionalmente los posibles residuos de la división en
los enteros gaussianos y como escoger representantes de cada clase de congruencia por
residuos.
1. Introducción
Los números gaussianos son los números complejos de parte real e imaginaria
entera, simbólicamente Z[i]. Su estudio formal se remonta a Gauss, aunque algunas de sus
propiedades están subyacentes en resultados previos de Fermat, Euler y Lagrange sobre la
descomposición de un entero como suma de cuadrados y de otras ecuaciones de segundo
orden en los enteros.1 Las propiedades que describimos en este trabajo fueron establecidas
por Gauss de una u otra forma y varias de ellas se consiguen como ejercicios separados en
los textos de álgebra abstracta.2 Resulta interesante, sin embargo, presentarlas de forma
elemental dentro de un contexto de aritmética. Los anillos de diferentes clases de números
complejos u otras extensiones de los enteros fueron investigados exhaustivamente por
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Kummer y Dedekind como parte de la búsqueda de una prueba del Último Teorema de
Fermat.1 Aunque ellos no lograron la prueba de este famoso resultado, desarrollaron en
cambio la teoría moderna de anillos y lograron el entendimiento más profundo de los
sistemas numéricos.
Los anillos conmutativos que comparten características cercanas a los enteros son
llamados dominios íntegros. Estos tienen al menos unidad y ley cancelativa de la
multiplicación. Sin embargo, en un dominio arbitrario se debe distinguir entre primo e
irreducible. Estos últimos son aquellos elementos del dominio que no tienen factores
propios, mientras los primos son aquellos elementos p tales que si p divide a un producto,
entonces p divide a algunos de los factores. Todo primo es irreducible pero hay dominios
con irreducibles que no son primos2. Cuando tenemos la propiedad de factorización única
en irreducibles (dominio de factorización única), entonces los irreducibles coinciden con
los primos. La propiedad de factorización única se puede conseguir si todos los ideales son
generados por un elemento (dominio de ideales principales), que a su vez se puede
conseguir a partir de un algoritmo de división (dominios euclidianos)2. En particular, Z[i]
es un dominio euclidiano, como se describe en la siguiente sección.
Nuestro interés por los números gaussianos nace de varios proyectos de
investigación sobre las triplas pitagóricas asignados a estudiantes de escuela superior.3 En
estos re-descubrimos como las triplas pitagóricas se construyen de forma metódica a partir
de los primos de los enteros gaussianos. Un gaussiano de la forma s + ti, con s y t
diferentes de cero, es primo si s y t son primos relativos y su módulo s² + t² es un primo en
los enteros. Este primo es 2 o es congruente a 1 módulo 4. Este resultado se atribuye a
Fermat y su primera prueba se debe a Euler.1 Un primo de los enteros congruente a 3
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módulo 4 también es un primo gaussiano, mientras los otros primos no los son, ya que se
pueden descomponer como suma de dos cuadrados y se pueden factorizar en los complejos.
Con cada primo gaussiano hay otros tres asociados, multiplicando por los unitarios
-1, i y -i. No se distingue entre ellos y la factorización única se entiende salvo productos por
unitarios. Para fijar uno solo del grupo de asociados se puede usar: s > |t| ≥ 0. El conjugado
de un primo gaussiano también es un primo gaussiano, no asociado con el primero. Por
ejemplo, 3, 7, 11, 19, 23, 31, etc. y sus asociados son primos en los gaussianos. En cambio,
2, 5, 13, 17, 29, etc. se pueden factorizar en los gaussianos como producto de dos primos
gaussianos conjugados. Así, 2 = (1 + i) (1 – i), 5 = (2 + i) (2 – i), 3 = (3 + 2i) (3 – 2i), 17=
(4 + i) (4 – i), 29 = (5+ 2i) (5 – 2i), etc.
Los números primos enteros que dejan de serlo en los enteros gaussianos, excepto 2
que es un tanto excepcional, los podemos llamar primos pitagóricos, ya que son las
hipotenusas primas de las triplas pitagóricas, como describimos en el artículo anterior.3 Las
triplas pitagóricas (a, b, c) satisfacen:
a² + b² = c²
(1)
Las más elementales se consiguen a partir del cuadrado de un primo gaussiano:
a + bi = (s + ti)² = (s² – t²) + 2 s ti
(2)
con la hipotenusa prima:
c = s² + t²
(3)
Así, por ejemplo, la famosa tripla (3, 4, 5) sale de (2 + i)²; la tripla (5, 12, 13) sale de (3 +
2i)², (15, 8, 17) de (4 + i)²; etc. Viceversa, cada primo pitagórico es hipotenusa de una
tripla, la cual se obtiene descomponiendo el primo como suma de dos cuadrados: p = s² + t²
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y tomando como catetos a = s² – t² y b = 2 s t. La hipotenusa en este caso es un primo
congruente a 1 módulo 4.
Las siguientes triplas pitagóricas en complejidad son las primitivas, en las cuales (a,
b, c) son primos entre sí. En estas, la hipotenusa se descompone como producto de primos
pitagóricos. Los catetos nuevamente forman un complejo que es el cuadrado de otro
complejo. Este segundo se factoriza en primos complejos de los enteros gaussianos.
Viceversa, llegamos a triplas primitivas multiplicando primos gaussianos entre sí y
elevando al cuadrado. Por ejemplo, multiplicando (2 + i) consigo mismo se llega a 3 + 4 i,
que elevado al cuadrado produce la tripla: (-7, 24, 25; de (2 + i)(3 + 2i) = (4 + 7i) al elevar
al cuadrado se obtiene la tripla (-33, 56, 65); etc. Como la factorización en los enteros
gaussianos es única, excepto por asociados, cada producto de primos pitagóricos es
hipotenusa de una tripla primitiva única. Por ejemplo, 17 x 5 = 85, forma tripla primitiva a
partir del cuadrado de (4 + i) (2 + i) = 7 + 6i. La tripla es: (13, 84, 85).
En los enteros gaussianos se puede establecer un algoritmo de división, pero el
residuo no es único. Esto lo discutimos en la siguiente sección. Con el algoritmo de
división se pueden introducir conceptos análogos a los de los enteros tales como máximo
común divisor y mínimo común múltiplo, donde la noción de tamaño es el módulo del
complejo: N(s + t i) = s² + t², el cual es un entero positivo. También se pueden establecer
relaciones de congruencia módulo un entero gaussiano: z1 ≡ z2 (módulo z) si z divide a z1 –
z2. En este trabajo examinamos estas relaciones, comparando con las congruencias en los
enteros Debemos evitar la confusión entre la función N que llamamos módulo y las
relaciones de equivalencia entre números módulo z.
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Al igual que en los enteros, surge la pregunta de cómo son los anillos formados por
las clases de equivalencia. Para aplicaciones a criptografía, también interesa hacer
exponenciaciones de la forma wn mod z, para enteros gaussianos w y z, y n en los enteros.
Si todo funciona como en los enteros, podemos esperar la construcción de sistemas
criptográficos públicos al estilo del sistema RSA o al de logaritmos discretos. En ese caso
se plantea la pregunta de cuál sería la diferencia o ventaja con los sistemas criptográficos
con los enteros, si alguna. Antes de atacar ese problema debemos entender mejor la división
compleja y como seleccionar representantes en cada clase de equivalencia. Ese es el
propósito de este trabajo.
2. El algoritmo de división en los enteros gaussianos
La división con residuo se extiende a los dominios euclidianos, donde se puede
definir una noción de valor. Por definición, un valor es una función V definida sobre el
dominio con rango en los naturales, tal que V (0) = 0 y V(a) ≤ V(a b) para cualquier b  0.
En los enteros, el valor utilizado tácitamente es el valor absoluto, mientras en los
polinomios es el grado del polinomio. En los complejos, la norma de un complejo satisface
║w z║ = ║w║ ║z║ y es un buen candidato para el valor, pero envuelve la raíz cuadrada.
Como hemos indicado, la norma se eleva al cuadrado para conseguir un número natural y
se llama el módulo del complejo: N(z) = ||z||². El algoritmo de división con residuo es la
descomposición:
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4. Algoritmo de división: Se dice que un dominio íntegro con un valor V definido para sus
elementos tiene algoritmo de división si, dados a y b ≠ 0 en el dominio, existen elementos q
y r tales que a = q b + r y V(r) < V(b). En este caso el dominio se dice que es euclidiano.
En la definición no se pide que q y r sean únicos. Para la unicidad hay que indicar
alguna otra condición. En los enteros lo usual es pedir que el residuo sea no negativo, en
cuyo caso el residuo es único. En el caso de los gaussianos no es evidente como escoger el
residuo. El siguiente algoritmo produce cocientes y residuos únicos por su forma
computacional pero, como veremos, hay otros que satisfacen la definición.
5. Algoritmo de división en los enteros gaussianos: Para w y z ≠ 0 enteros gaussianos,
existe un cociente q y un residuo r tales que: w = q z + r y N(r) ≤ N(z)/2, de la siguiente
forma:
1. Multiplique w y z por z*, para dividir w z* por z z* = N(z).
2. Divida la parte real y la parte imaginaria de w z* por N(z) en los enteros, tomando los
residuos de valor absoluto menor o igual a la parte entera de N(z) /2. Es decir:
w z* = q N(z) + (s + ti ), con -[N(z)/2] +1 ≤ s ≤ [N(z)/2]
y -[N(z)/2] +1 ≤ t ≤ [N(z)/2]
Usualmente el residuo en los enteros se escoge no negativo pero ahora conviene escogerlo
del menor valor absoluto posible.
3. Haga: r = w – q z. También se tiene: r z* = s + ti, y r = (s + ti) z/N(z). En esta última
ecuación, por la parte anterior N(z) debe dividir al producto (s + ti) z.
4. Entonces: w = q z + r, y:
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N(r )=N(w z* – q N(z))/N(z*)=N(s + t i)/N(z*)=(s² + t² )/N(z) ≤ 2 (N(z)²/4)/N(z)= N(z)/2
El residuo así escogido es único computacionalmente, pero no es el único de módulo menor
o igual a N(z). Por ejemplo, al dividir 10 + 16 i entre 2 + 3 I se obtiene:
1. (10 + 16i) (2 – 3i) = 68 + 2i y N(2 + 3i)= 13
2. 68 + 2 i = (5 + 0i) 13 + (3 + 2i)
3. r = (10 + 16i) – (5 + 0i)(2 + 3i) = i
El resultado es: (10 + 16i) = 5 (2 + 3i) + i. Sin embargo, también tenemos (10 + 16i) = 6 (2
+ 3i) + (-2 – 2i) y 10 + 16i = (5 + i) (2 + 3i) + (3 – i). Los tres residuos tienen su módulo
menor que el de z, que es 13.
En general podemos decir lo siguiente:
Si w = q z + r = q’ z + r’, con N(r) ≤ N(z)/2 y N(r’) < N(z), entonces:
N(q – q’) N(z) = N(r – r’) = || r  r’||² ≤ ( ||r|| + ||r’||)² < (1/2 + 1)² N(z)
Es decir: N(q – q’) < 1.8². Como N es de valores enteros, tenemos N(q – q’) ≤ 3 y de allí
se deduce que q’ se ubica en el plano complejo dentro de un círculo de radio 3 alrededor
de q. Hay 8 posibles valores enteros en este círculo, los cuales se obtienen variando las
partes real e imaginaria de q en una unidad, en todas las combinaciones posibles.
Los posibles residuos son entonces de la forma r + d z, con d igual a 1, i o 1  i.
Todos estos son residuos, pero no necesariamente de módulo menor que el de z. En el
ejemplo anterior las otras combinaciones no llevan a residuos de módulo menor que 13.
El total de enteros gaussianos de módulo menor que N(z) es del orden del área del círculo
de radio ||z||:  N(z), mientras el número de clases de residuos es N(z), como veremos
enseguida. Por tanto, hay cerca de 3 residuos diferentes de módulo menor que N(z) por
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cada división, pero con algunos dividendos hay 4 residuos mientras en otros solamente uno
o dos. Observe que esta ambigüedad de los cocientes y residuos no afecta la relación de
divisibilidad: cuando el residuo es cero, este es el único posible de módulo menor que N(z).
3. Las clases de congruencia módulo z
En los enteros gaussianos podemos definir relaciones de equivalencia por
divisibilidad por uno fijo z, de forma análoga a los enteros. La relación es:
w1 ≡ w2 (mod z) si y solo si z divide a w1 – w2
(6)
Esta es claramente una relación de equivalencia, compatible con la suma y la
multiplicación. Por tanto las clases de equivalencia heredan una suma y multiplicación de
los enteros gaussianos. Sin entrar en la teoría de ideales, el conjunto de los múltiplos de z es
un ideal y las clases de equivalencia forman el anillo cociente de Z[i] por este ideal. Este
anillo se puede denotar por Z[i]z. Al igual que en los enteros, por el Teorema de
Isomorfismos de Retículos,2 hay una correspondencia entre el retículo de los divisores de z
y el de los subgrupos aditivos de Z[i]z. En particular, si z no tiene divisores propios, este
anillo no tiene subgrupos aditivos propios y, menos aún, ideales propios. En ese caso el
anillo cociente es un campo.2
Pasando a preguntas más concretas: ¿Cuántos elementos diferentes hay en estos
anillos cocientes? Para contar elementos es suficiente mirar la operación de suma, y por el
Teorema de Isomorfismo de Retículos, basta contestar la pregunta para los z’s primos. La
respuesta general se consigue multiplicando.
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Si z = n es un entero real, la congruencia (6) se reduce a congruencia módulo n de las
partes reales e imaginarias de los complejos. Es decir:
Z[i]z ≈ Zn[i]
(7)
En este caso, el numero de clases de equivalencia diferentes es n² = N(n).
Cuando z = s + ti es un primo gaussiano con ambas partes no nulas, s² + t² = p
=N(z), entonces existe un entero r con r² + 1 congruente a cero módulo p: r ≡ s t-1 mod p.
La ecuación:
(r + i) (r – i) = k p = k (s + t i)(s – t i)
(8)
Permite deducir que i ≡ r o -i ≡ r (mod z). Esto significa que en cada clase de Z[i]z hay un
representante de parte imaginaria nula. Por tanto, Z[i]z ≈ Zp como conjuntos y también
como anillos. Si para uno de los primos se cumple i ≡ r mod z, la congruencia opuesta se
vale para el primo conjugado: i ≡ -r mod z*. En conclusión, para los primos gaussianos
tenemos p = N(z) clases diferentes.
Por los isomorfismos de grupos cocientes, se concluye que para cada z, ya sea real o
complejo, el número de clases de equivalencia diferentes es igual al producto de los
números de clases de equivalencia de los factores de z. Como N es una función
multiplicativa, este producto es igual a N(z).
Conviene ver otros ejemplos con z reducible. Sea z = 3 + 3 i: entonces N(z) = 18 y z
se factoriza en z = 3 (1 + i). De la relación básica 3 + 3 i ≡ 0, se deduce que 3 ≡ -3i y
también 3i ≡ 3. Además, multiplicando por (1 – i) obtenemos 6 ≡ 0. Tenemos varias
opciones para elegir representantes en las clases de equivalencia pero vamos a primero a
mantener N(w) < N(z)/2 = 9.Como N es suma de dos cuadrados, esto nos deja como opción
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solamente partes real e imaginaria hasta 3. La congruencia 3i ≡ 3 lleva 2i ≡ 3 – i y con
ambas se puede limitar las partes imaginarias de -1 a 1. En resumen:
Z[i]z = {a + bi| -2≤ a≤ 3, -1≤ b ≤1}
(9)
Los dos representantes cuyo módulo pasa de 9, 3 + i y 3 – i, se pueden cambiar si se
prefiere por -2i y 2i respectivamente. Las operaciones son básicamente igual que en los
complejos módulo 6, donde las partes imaginarias de valores 2 o 3 se cambian por reales
con las congruencias dadas. Por ejemplo, la multiplicación de (3 + i) con (-2 – i) es:
(3 + i)(-2 – i) ≡ -6 – 3i – 2i + 1 ≡ 1 + i
(10)
Podemos identificar el ideal {0, 3} como el que corresponde al factor (1 + i). El anillo
cociente al identificar 3 con cero se reduce entonces a Z3[i], ya que en ese 2 ≡ -1 y -2 ≡ 1.
Los divisores de cero de este anillo son: {0, 2, 3, 1, 2 + i, 2 – i, 1 – 2i, 1 + 2i, -1+ 2i, -1 –
2i}. Por tanto, el equivalente de la función Phi de Euler es ϕ(3 + 3i) = 8 = (N(3) – 1) (N(1
+ i) -1).
Hemos identificado los representantes de cada clase de forma heurística y de igual
forma hemos identificado las operaciones. La siguiente pregunta es si esto puede hacerse de
forma metódica. Antes de responder afirmativamente en la próxima sección conviene
examinar un último ejemplo.
Sea z = 3 + 4i = (2 + i)². Este no es un primo gaussiano, sino la potencia de un
primo. Entonces, N(z) = 25 y la relación de congruencia básica es 3 ≡ -4i. También: 4i ≡ -3
y -3i ≡ -4. Por tanto, i ≡ -7. Podemos entonces pasar todas las partes imaginarias a reales,
módulo 25, con lo cual Z[i]z ≈ Z25. Observe que aunque este anillo tiene el mismo número
de elementos que el anillo Z5 x Z5, no son isomorfos como anillos ya que, por ejemplo, en
el segundo la unidad (1,1) es de orden 5 para la suma, mientras en el primero es de orden
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25. Es decir: Z[i]z no es isomorfo a Z[i]z’ x Z[i]z’ con z’= 2 + i el factor doble de z. Los
isomorfismos de anillo para las clases de residuo se establecen usando una generalización
del Teorema Chino del Residuo, como explicamos enseguida.
4. Los grupos multiplicativos de las clases de residuos
El Teorema Chino del Residuo es una fórmula para resolver congruencias simultáneas en
los enteros y se puede extender a otros anillos2:
11. Teorema Chino del Residuo: En los enteros, suponga que se tienen congruencias de la
forma x ≡ r1 mod n1, x ≡ r2 mod n2, …. , x ≡ rk mod nk, donde los nj son todos coprimos.
Entonces hay una única solución para x mod = n1 n2… nk.
La solución es: x = r1 (n2-1.. nk-1) n2… nk + r2 (n1-1 n3-1… nk-1) n1 n3… nk + … + rk (n1-1 …
nk-1-1)
n1 n2… nk-1, donde en cada
sumando los inversos se calculan mod ni. La
coprimalidad es esencial para la existencia de los inversos.
Este teorema clásico de los enteros lleva a un isomorfismo de anillos de la forma:
Zm ≈ Zn1 x Zn2 x … x Znk
(12)
Cuando m = n1 n2 .. nk y los nj son coprimos.2
De la misma forma, usando este isomorfismo de anillos podemos explicar las
propiedades multiplicativas de las clases módulo z y seleccionar convenientemente los
representantes de las clases de equivalencia. En especial, el número de invertibles
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multiplicativamente mod z se calcula de forma análoga a los enteros y lo llamaremos la
función Phi compleja:
13. Para Φc(z) haga:
1. Factorice z en primos gaussianos con sus potencias: z = z1q1 z2q2 .. zkqk .
2. Para cada potencia de un primo: Φc(zjqj) = N(zj)qj – N(zj)qj – 1 .
3. Φc(z) es el producto de los Φc(zjqj).
Podemos ver esto mejor con un ejemplo. Sea z = 9 + 9i = 3² (1 + i). El anillo
cociente asociado con el 9 es Z9[i] mientras el asociado con (1 + i) es Z2. Por tanto
Z[i]z ≈ Z9[i] x Z2 y Φc(9 + 9i) = (9² - 9)* 1 = 72. Observe que el anillo contiene
N(9 + 9i) = 162 elementos. Podemos ver esto de forma directa: 9 ≡ -9i , 9i ≡ 9 y 18 ≡ 0
mod (9 + 9i). Por tanto podemos escoger como representantes de las clases elementos de la
forma a + bi, con a de 0 a 17, y b de 0 a 8. Las operaciones son módulo 18 y además 9i ≡
9. Para establecer el isomorfismo de anillos con Z9[i] x Z2, la primera componente se
consigue de (a+ bi) mod 9, mientras la segunda de (a + b) mod 2, ya que i ≡1 mod (1 + i).
El Teorema Chino del Residuo garantiza que tenemos una inversa: dado x, x ≡ (a+ bi) mod
9 y x ≡ c mod (1 + i), la solución es: x ≡ (a + bi)(1 + i)-1(1+i) + 9 c mod(9+9i). El inverso
de (1 + i) mod 9 es igual a (5 – 5 i), por lo que x ≡ 10(a + bi) + 9c mod(9+9i). No es
evidente que ambas fórmulas sean inversas, ya que en la última falta tomar mod 18, pero la
demostración del Teorema Chino del Residuo así lo prueba y se pueden calcular los
ejemplos específicos.
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Una vez calculada la función Phi de Euler compleja, podemos establecer la
siguiente identidad similar al Teorema Pequeño de Fermat:
14. Teorema Pequeño de Fermat: Para cualquier entero gaussiano w y otro dado z, tenemos:
wΦc(z) ≡ 1 mod z. En especial, si p es primo de los enteros congruente a 3 mod 4, para
cualquier entero gaussiano w: wp²-1≡ 1 mod p. Si p es congruente a 1 mod 4 y se
descompone en p = a² + b², entonces para cualquier entero gaussiano w: wp-1 ≡ 1 mod (a +
bi).
La prueba se obtiene del tamaño del grupo multiplicativo y de que el orden de todo
elemento divide al orden del grupo, similar a la prueba en los enteros.
5. Conclusión
En la práctica, para verificar la expresión de Teorema pequeño de Fermat debemos
implementar el algoritmo de exponenciación rápida para enteros gaussianos, al igual que el
algoritmo de división para calcular las clases mod z. Esta fue la labor de varios estudiantes
en proyectos de investigación que realizaron recientemente. Como los sistemas
criptográficos públicos al estilo de RSA se basan en esta identidad, no parece existir ningún
obstáculo para establecer sistemas criptográficos de llave pública basados en enteros
gaussianos. La pregunta que resta por contestar, aparte de detalles de implementación,
como la de establecer correspondencia entre las palabras del lenguaje y los números
gaussianos, es la de cómo compara este método con el existente basado en los enteros.
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Una primera respuesta está en el mayor espacio: ahora los números de clases
diferentes crecen con el módulo del primo utilizado que es un cuadrado, lo cual se asemeja
a una encripción simultánea con dos claves diferentes, aunque estas se mezclan de manera
sutil a través de la exponenciación compleja. Una segunda puede ser en la dificultad
añadida de factorizar en los complejos si se intenta romper la clave, que podría llevar a una
mayor seguridad o quizás a una menor seguridad. Esto está por verse.
Bibliografía
Dummit, D., Foote, R. (1991). Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
Edwards, H. (1977). Fermat’s Last Theorem: a Genetic Introduction to AlgebraicNumber
Theory. New York: Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics.
Lecompte, A. (2011). Las Triplas Pitagóricas. Revista Virtual 360, 6.
Disponible en http:cremc.ponce.inter.edu/360/.
Álvaro Lecompte Montes, [email protected] Catedrático Asociado de matemáticas en la Universidad
Interamericana de Puerto Rico, San Germán, Puerto Rico. PH D en Ciencias de la Universidad de Viena.
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