1Números naturales, enteros y potencias

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Números naturales, enteros
y potencias
Vamos a conocer...
1. Sistemas de numeración a través de la historia:
de Roma a nuestros días
2. Números naturales. Suma y resta de números
naturales
3. Multiplicación y división de números naturales.
Jerarquía de las operaciones
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores.
Criterios de divisibilidad
5. Números primos y compuestos. Descomposición
factorial de un número
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números.
Aplicaciones
7. Números enteros. Operaciones elementales.
Aplicaciones
8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias
Desafío matemático
■
Problemas en la carpintería: construyendo una
estantería
■
Problemas en el espacio: la estación espacial Mir
■
El problema del alquiler: ahorrando al alquilar
oficinas
Informática matemática
Operaciones con números naturales y enteros
con el ordenador
Resultados de aprendizaje
■
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Resuelve problemas matemáticos en situaciones cotidianas, utilizando los elementos básicos
del lenguaje matemático y sus operaciones.
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Desafío matemático
Intenta resolver este desafío. Si no puedes, una vez que
hayas completado el estudio de la unidad podrás lograrlo.
Problemas en la carpintería: construyendo una estantería
Para construir una estantería como la de la imagen un carpintero necesita los siguientes materiales:
Materiales
Precios
4 tablas largas de madera
6 tablas cortas de madera
12 ganchos pequeños
2 ganchos grandes
14 tornillos
Tabla larga: 3 Ð
Tabla corta: 2 Ð
Ganchos pequeños: 1 Ð (3 unidades)
Ganchos grandes: 1 Ð (unidad)
Tornillos: 1 Ð (7 unidades)
El carpintero tiene en el almacén los siguientes materiales: 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos
pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos.
a) ¿Cuántas estanterías completas puede construir?
b) Si para construir una estantería necesita una semana, ¿cuántas podría construir en 70 días?
c) ¿Cuánto tendría que pagar por los materiales que necesita para hacer una estantería? El precio de los mismos es el que figura en la tabla?
d) Si vende cada estantería por 450 Ð, ¿cuánto dinero obtiene de beneficio por cada una?
Problemas en el espacio: la estación espacial Mir
1. La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dio alrededor de 87 600 vueltas a la Tierra.
a) ¿Cuántas vueltas daba cada año?
b) Si suponemos que todos los años tienen 365 días, ¿cuántas vueltas daba a la Tierra cada día?
2. El radio de la Tierra mide aproximadamente 6 350 km. Teniendo en cuenta que la estación espacial Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 400 kilómetros y
que la longitud de una circunferencia viene dada por la fórmula 2 • π ⋅ r (siendo r el radio), calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir durante las 87 600 vueltas que
dio mientras estuvo en órbita.
La permanencia más larga de un astronauta en la Mir fue de 680 días.
El problema del alquiler: ahorrando al alquilar oficinas
Estos dos anuncios aparecieron en un diario de un país cuya unidad monetaria es el zed:
Edificio A
Edificio B
Se alquilan espacios para oficinas;
58-95 metros cuadrados:
475 zeds al mes;
100-120 metros cuadrados:
800 zeds al mes.
Se alquilan espacios para oficinas;
35-260 metros cuadrados:
90 zeds por metro cuadrado al
año.
Responde a las siguientes preguntas:
a) Si una empresa está interesada en alquilar durante un año una oficina de 110 m2 en ese país, ¿en qué edificio debería alquilar la oficina para conseguir el precio más bajo, A o B? Escribe tus cálculos y razona tu respuesta.
b) Si se alquila una oficina de 150 m2 en el edificio B durante 6 meses, ¿cuánto tendríamos que pagar por ella? Si estamos dos meses
sin pagar el alquiler, ¿con qué número se representaría esta deuda?
c) ¿Dónde es más barato alquilar una oficina si el tamaño de la misma es de 40 m2? ¿Qué diferencia de precio habría entre ambos edificios?
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Unidad 1
1. Sistemas de numeración a través
de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
Saber más
El hueso de Ishango
Es uno de los objetos arqueológicos más
antiguos relacionados con la capacidad
de contar. Contiene secuencias de muescas a modo de conteo. Data de hace unos
22 000 años y se encontró cerca del lago
Eduardo (frontera entre Uganda y la República Democrática del Congo).
El ser humano es capaz de contar desde la antigüedad. Hay evidencias
arqueológicas que demuestran que el ser humano aprendió a contar antes que a escribir: se conservan huesos con más de 30 000 años marcados con muescas hechas a modo de conteo, lo que demuestra que la capacidad del ser humano de contar es anterior a la escritura.
A lo largo de la historia las distintas civilizaciones han utilizado símbolos
diferentes para representar números. Desde las muescas en huesos hasta el sistema de numeración decimal que se usa hoy en día han existido
otros sistemas de numeración y otras formas de escribir los números.
Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que
sirven para representar números. Se clasifican en sistemas de numeración posicionales y sistemas de numeración no posicionales.
¿Cómo se usan los números
romanos?
1. Los valores de las letras I, X y C se
suman.
2. Las letras V, L y D solo se pueden
poner una vez.
3. Las letras I, X, C y M se pueden
escribir hasta tres veces seguidas.
4. Si una letra está a la derecha de
otra de igual o mayor valor, se
suman sus valores.
5. Si una letra está a la izquierda de
otra de mayor valor, se restan sus
valores.
D
CCC XXX V III
1 000 + 500 + 300 + 30 + 5 + 3 = 1838
AÑO:
M
Otro sistema de numeración, que es el que utilizamos habitualmente, es el sistema de numeración decimal que utiliza los diez dígitos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} para escribir cualquier número. Este sistema
es posicional pues el valor de cada dígito depende de la posición que
ocupa.
Ejemplo
Numeración romana:
|
Numeración decimal:
X X I = 21 X I X = 19
Ejemplos:
AÑO:
M
Uno de los sistemas de numeración antiguos que nos es más familiar es
el sistema de numeración romano. En Europa se utilizó este sistema de
numeración hasta que se impuso el sistema decimal. La numeración romana utiliza siete letras y es un sistema no posicional pues cada letra
siempre vale lo mismo: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500,
M = 1 000.
CD
XC
II
1 000 + (500 – 100) + (100 – 10) + 2 = 1492
10 + 10 + 1 = 21
La X
vale 10
10 – 1 + 10 = 19
La I
vale 1
Sistema NO posicional
El valor de las letras
siempre es el mismo
1 234
2 341
1 000
1
El 1 vale
un millar
El 1 vale
una unidad
Sistema posicional
El valor de los números
depende de la posición
Los números romanos se siguen utilizando para: numerar los siglos, los
reyes, los papas o los emperadores, y también para la numeración ordinal de congresos, concursos, olimpiadas. También están presentes
en muchos monumentos, lápidas e inscripciones antiguas. Por ejemplo: siglo XXI, Felipe II (rey), Francisco I (papa), Pedro II de Brasil (emperador), la XXX Olimpiada de Londres, el VII Congreso Iberoamericano
de Educación Matemática, etc.
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Números naturales, enteros y potencias
1.2. El sistema de numeración decimal
El sistema de numeración decimal, que procede de la India, fue introducido en Europa por los comerciantes árabes a finales de la Edad Media. Hasta entonces se utilizaban los números romanos, pero eran muy
poco prácticos para realizar operaciones con ellos. Hay que pensar que
los comerciantes necesitaban manejar cifras con soltura para hacer
operaciones de compra y venta, para contar mercancías, hacer pagos…,
y para todo esto la numeración decimal era mucho mejor que la numeración romana.
El sistema de numeración decimal se caracteriza por:
■
■
Tiene base diez formada por los dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Esto significa que se utilizan estos diez dígitos para escribir cualquier
número, por muy grande o muy pequeño que sea.
El 1 se corresponde con la unidad y cada diez unidades se corresponden con una unidad de orden superior. Cada tres órdenes de unidad
forman una clase. Veamos todo esto en una tabla:
Unidades
Clase Orden de unidad
Decenas
Centenas
Unidades de millar
Decenas de millar
Centenas de millar
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón
Unidades de millar
de millón
Decenas de millar
de millón
Centenas de millar
de millón
Unidades de billón
Decenas de billón
Centenas de billón
…
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
100 000 000
1 000 000 000
10 000 000 000
100 000 000 000
1 000 000 000 000
10 000 000 000 000
100 000 000 000 000
…
Unidades
■
Millares
Millones
Millares de millón
Billones
Saber más
¿De dónde procede el sistema
de numeración decimal?
El sistema de numeración decimal que
hoy conocemos surgió en la India hacia el
siglo , aunque los símbolos que ellos
utilizaban eran un poco diferentes de
nuestros dígitos actuales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 y 9. Además, el símbolo para el 0 surgió
doscientos años después. En la fotografía aparece la prueba arqueológica de la
primera vez que se usó el número cero: la
inscripción está en un templo dedicado al
dios Vishnu en la ciudad India de Gwalior
(año 876); se puede ver el número 270 tal
y como lo escribimos hoy en día.
Millares
de billón
Es posicional: el valor de un dígito o cifra depende del lugar que ocupa en el número. El lugar que ocupa cada dígito se llama orden de
unidad: la cifra de las unidades, decenas, centenas, etc.
Si expresamos un número como la suma de los valores de sus cifras,
se dice que el número está escrito en forma polinómica.
Ejemplo
El número 76 479 en forma polinómica se escribe así:
76 479 = 7 ⋅ 10 000 + 6 ⋅ 1 000 + 4 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 9
¿Cómo se leen los números?
Para poder leer un número escrito en
el sistema decimal debemos separar
las cifras en grupos de tres empezando por la derecha y a continuación leer
empezando por el primer grupo de
números de la izquierda. Por ejemplo:
el número 46 870 502 se lee «cuarenta y seis millones ochocientos setenta
mil quinientos dos».
donde el primer 7 ocupa el lugar de las decenas de millar, y por
tanto su valor es 70 000, y el segundo 7 que aparece ocupa el lugar de las decenas, por lo que su valor es 70.
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Unidad 1
Actividades
1. Indica en nuestro sistema de numeración decimal qué números son:
a) VII
b) IX
c) DXX
d) CD
e) LXXXI
d) 1 734
e) 1 972
2. Escribe en números romanos los siguientes números decimales:
a) 28
b) 876
c) 2 013
3. Expresa los siguientes números en forma polinómica:
a) 874
b) 6 891
c) 84 578
d) 3 045 234
4. Escribe con cifras: a) Cuatro mil doscientos dos; b) Tres millones doscientos tres mil; c) Nueve millones cuatrocientos uno.
5. Determina el valor del dígito 5 según su posición en los casos siguientes:
a) 5 050
b) 205 254
c) 5 456 785
6. La ciudad romana de Baelo Claudia está situada cerca de Tarifa, en la provincia de Cádiz, y parece ser que surgió a finales del
siglo  a. C.
a) ¿Cuántos años hace de eso?
b) Su apogeo fue entre 100 años antes de Cristo y 200 años después de Cristo. ¿Cómo se escriben esas fechas utilizando números romanos?
7. Se cree que Pitágoras murió alrededor del año 497 a. C. ¿Cuántos años han pasado desde su muerte?
8. Escribe los números que tienen lo que dicen las siguientes frases:
a) Cuatro millares, cinco centenas, siete decenas y seis unidades.
b) Nueve millares y ocho unidades.
c) Siete centenas de millar, ocho centenas, seis decenas y cuatro unidades.
d) Una centena y dos unidades.
9. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla poniendo en cada casilla la cifra que representa la cantidad señalada:
Centenas de millar
Decenas de millar
Millares
Centenas
Decenas
Unidades
987 456
96 305
8 930
10. Copia y completa en tu cuaderno la tabla siguiente:
El valor de cada dígito es
El número
Se lee así
CMILLÓN DMILLÓN UMILLÓN
CM
DM
UM
C
D
U
65 987 432
1 652
830
1 030 203
704 700 000
12 543 100
11. Escribe en tu cuaderno, en letra, los siguientes números:
a) 132 980 Ð
b) 403 Ð
c) 3 978 100 Ð
d) 4 905 210 Ð
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Números naturales, enteros y potencias
2. Números naturales. Suma y resta
2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado
El conjunto de los números naturales se representa con la letra y está
formado por los diez dígitos que ya conocemos y por todos los números que se forman a partir del 10, sumando 1 para obtener el siguiente:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13…}
¿Cuántos números naturales hay? Hay infinitos, pues dado cualquiera de
ellos siempre podemos conseguir otro más grande sumándole una unidad.
Los números naturales están ordenados y se pueden representar en una semirrecta, comenzando con el número cero a la izquierda y avanzando hacia
la derecha a medida que vamos representando los números más grandes:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 …
Para ordenar los números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que»
y el símbolo < para indicar «menor que». A veces también se utilizan el
símbolo ≥ que significa «mayor o igual que» y el símbolo ≤ que significa
«menor o igual que».
Saber más
¿Por qué se hicieron famosos
los números hindúes?
Los comerciantes del Mediterráneo estaban en contacto con las culturas árabes
de Oriente y fueron estos árabes los que
transmitieron a los comerciantes europeos las ventajas que ofrecían los números indios a la hora de hacer operaciones
frente a los números romanos. Por eso
estos números se denominan indoarábigos: los hindúes los inventaron y los comerciantes árabes los trajeron a Europa.
Ejemplo
¿Qué números naturales son mayores o iguales que 4 y menores
que 9? Pues 4, 5, 6, 7 y 8. Si los ordenamos utilizando los símbolos tendríamos 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9.
2.2. Suma y resta de números naturales
Sumar consiste en reunir varias cantidades en una sola; significa reunir,
agrupar, juntar. Sumar es una operación que también se llama adición.
Los números que se suman se llaman sumandos y al resultado de la
operación se le denomina suma.
Ejemplo
6 + 5 = 11. Los sumandos son
5 y 6 y la suma es 11.
2.2.1. Propiedades de la operación suma de números naturales
■
■
Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: como 4 + 6 = 10 y 6 + 4 = 10, tenemos que 4 + 6 = 6 + 4.
Asociativa: la suma de varios números naturales no depende de cómo
se agrupen: Ejemplo:
(4 + 6) + 8 = 4 + (6 + 8)
(10) + 8 = 4 + (14)
18
■
18
Elemento neutro: sumar el número 0 a otro no lo altera. Ejemplo:
7 + 0 = 0.
Restar consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades; significa
descontar, disminuir, quitar. Restar es una operación que también se denomina sustracción. Los números que se restan se llaman minuendo el
primero y sustraendo el segundo, y el resultado de la operación se denomina resta o diferencia.
Ejemplo
En un partido de balonmano
España ganó a Dinamarca 35
a 19. ¿Cuál fue la diferencia
de puntos? La diferencia fue
35 - 19 = 16.
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Unidad 1
3. Multiplicación y división de números
naturales. Jerarquía de las operaciones
3.1. Multiplicación de números naturales
Multiplicar consiste en sumar varias veces el mismo número. Los números que se multiplican se llaman factores y al resultado de la operación se le denomina producto.
Recuerda
El producto de un número cualquiera por
cero siempre es cero:
a⋅0 = 0
Operaciones encadenadas
Las operaciones encadenadas en un
mismo nivel (por ejemplo, dentro de
un mismo paréntesis) se hacen de
izquierda a derecha. Ejemplo:
Izquierda
Derecha
(2 + 5 + 4 + 10 - 5)
Ejemplo
Si sumamos 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 es lo mismo que multiplicar 5 ⋅ 5 = 25.
Propiedades de la operación multiplicación de números naturales
■
■
■
7 + 4 + 10 - 5
11 + 10 - 5
21 - 5 = 16
■
Y se hace igual si aparecen
multiplicaciones o divisiones en un
mismo nivel.
Desafío matemático
El problema de la estantería
Utiliza las operaciones con números
naturales para resolver este problema:
suma, resta, multiplicación y división.
Conmutativa: cambiar el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: como 4 ⋅ 6 = 24 y 6 ⋅ 4 = 24, tenemos que 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4.
Asociativa: el producto de varios factores no
depende de cómo se agrupen los factores.
Ejemplo:
Distributiva: el producto de un número por
una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos de dicho número
por cada sumando (o término de la resta). Ejemplo:
Elemento neutro: si se multiplica un número cualquiera por 1 se obtiene el mismo número. Ejemplo: 7 ⋅ 1 = 7
3.2. División de números naturales
Dividir consiste en repartir en partes iguales. Los términos que intervienen en una división reciben estos nombres:
Dividendo divisor
resto
cociente
19
1
2
9
D = 19
r=1
d=2
c=9
Si el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta.
Entre estos números se cumple la prueba de la división:
Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto siendo el resto < divisor
3.3. Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
Cuando se hacen varias operaciones a
la vez con números naturales (sumas,
restas, multiplicaciones y divisiones) y
aparecen paréntesis y corchetes en
ellas, tenemos que seguir un orden
determinado para hacer la cuenta (ver
tabla de la derecha).
Jerarquía de las operaciones
(pasos a seguir)
1.º Se efectúan las operaciones de los
paréntesis y corchetes
2.º Se hacen las multiplicaciones
y divisiones
3.º Se hacen las sumas y restas y se
obtiene el resultado final
Ejemplo
(38 - 5) ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
33 ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
66 - 4 + 15
66 - 4 + 15 = 77
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Números naturales, enteros y potencias
Actividades
12. Efectúa las siguientes sumas:
a) 6 + 7
b) 8 + 3
c) 9 + 14
d) 456 + 734
e) 56 + 89
13. Realiza las siguientes operaciones:
a) 16 - 8
c) 45 + 9 - 32 + 3
b) 876 - 4
d) 25 + 34 - 50 + 46 - 9 + 2
14. Una persona entra en un edificio de 90 plantas por la planta 0 (planta baja) y toma el ascensor hasta la planta 87. Luego baja 35 pisos. Sube 48. Baja 50. Sube 13. Sube 40. Baja 42. ¿En qué piso se encuentra después de todo el recorrido?
15. Realiza estas operaciones:
a) 76 - 25 ⋅ 3 + 1
b) (40 - 35) ⋅ 6 + 7 ⋅ 2
c) 14 ⋅ 2 + 3 ⋅ (18 - 5)
d) (18 - 9) - 5 + 2 ⋅ 3
16. Tengo ahorrados 30 Ð, pierdo un billete de 5 Ð al ir a comprar una camiseta que vale 15 Ð y al volver a casa mi tía me regala el triple de lo que tenía ahorrado al principio. ¿Cuánto dinero tengo ahora?
17. Los 756 miembros de una empresa van a ir a visitar una nueva fábrica. En cada autobús caben 54 viajeros. ¿Cuántos autobuses
se necesita contratar?
18. En la siguiente tabla, la suma de los números de la primera fila y los de la segunda fila da siempre 100. Escribe en tu cuaderno los
números que faltan:
75
72
100
43
23
100
100
42
59
1
100
100
100
4
100
100
19. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno:
a) (3 + 5) ⋅ (8 + 2) - (3 + 0) ⋅ (2 + 4)
c ) (6 - 4) ⋅ (12 - 9) - (2 + 0) ⋅ (2 + 1)
b) (3 ⋅ 8 + 4 ⋅ 1) ⋅ (3 ⋅ 1 + 6 ⋅ 0)
d) (6 ⋅ 5 - 9 ⋅ 0) : (2 ⋅ 3 + 7 ⋅ 0)
20. Ordena de menor a mayor y dibuja en una recta numérica los siguientes números naturales: 3, 0, 2, 10, 4, 9.
21. Escribe el número anterior y el número posterior a cada uno de los siguientes números:
a) 10 000
b) 1 000 000
c) 4 600 000
d) 500 000 000
e) 345 001
22. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Números
Millar más próximo
Centena más próxima
Decena más próxima
1 268
2 387
10 321
24 933
23. Un concesionario de coches ha vendido 578 vehículos, 103 más que el año pasado. ¿Cuántos ha vendido en total en los dos años?
24. Debemos recorrer 310 km en total y ya hemos recorrido 127 km. ¿Cuántos kilómetros nos quedan para llegar?
25. Completa en tu cuaderno las siguientes restas:
a) 473 -
= 450
c) 473 -
= 73
b) 473 -
= 473
d) 473 -
= 472
26. Busca el número que falta y escribe la operación completa en tu cuaderno:
a) 4 ⋅ (7 -
) = 20
b) 4 ⋅ 10 - (
⋅ 6) = 10
c) 50 - (2 ⋅
) = 40
27. Todas las mercancías marcadas con la letra M tienen la misma masa, y la marcada con la letra Q tiene el doble de masa que las marcadas con la letra M. ¿Cuál es
la masa de cada caja?
Q
M M M
Masa = 1 305 kg
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Unidad 1
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
Un número a es divisible por otro b cuando la división es exacta.
Ejemplo
10 es divisible por 2 porque:
10 2
0 5
Por un lado, 10 es múltiplo de
2 porque 10 = 2 ⋅ 5, y por otro,
2 es divisor de 10 porque la
división 10 : 2 es exacta.
a b
0 c
b es divisor de a
a es múltiplo de b
Si la división de dos números es exacta, entonces:
■
El número mayor es múltiplo del número menor.
■
El número menor es divisor del número mayor.
Para calcular los múltiplos de un número a multiplicamos ese número
por los diferentes números naturales empezando por el 1. El conjunto

de los múltiplos de un número a se designa por M(a) o también a.
Ejemplo
Calcula los múltiplos de 4:
4 = M(4) = {1 ⋅ 4, 2 ⋅ 4, 3 ⋅ 4, 4 ⋅ 4, 5 ⋅ 4, 6 ⋅ 4 …} = {4, 8, 12, 16, 20, 24 …}
Para calcular los divisores de un número a empezamos con el 2 (puesto que el número 1 es divisor de todos los números naturales), y después continuamos dividiendo por 3, 4, 5, 6… hasta que el cociente sea
menor o igual que el divisor. El último divisor que obtendremos será el
propio número a porque todo número natural es divisible por sí mismo. El conjunto de los divisores de un número a se designa por D(a).
Ejemplo
Calcula los divisores del número 12. Ya sabemos que el 1 y el 12 son divisores de 12. Vamos
probando con el 2, 3, 4, 5, 6… hasta llegar al
11 sabiendo que debemos parar cuando obtengamos un cociente menor o igual que el
divisor en una división exacta:
12 2
0 6
2 y 6 son
divisores de 12
12 3
0 4
3 y 4 son
divisores de 12
12 4
0 3
El cociente es menor
que el divisor. Paramos
Por tanto D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ejemplo
En un estanque los nenúfares crecen tan deprisa que cada día duplican el área que cubrían el día anterior. Después de 15 días todo el estanque está cubierto de estas plantas. a) ¿Después de cuantos días,
el estanque se encontraba cubierto solo hasta la mitad? b) Calcula
los múltiplos y divisores del 15.
a) Después de 14 días. El día 14 el estanque estaba cubierto hasta
la mitad y, como duplica su extensión cada día, el día 15 estará
completamente cubierto.
b) 5 = M(15) = {1 ⋅ 15, 2 ⋅ 15, 3 ⋅ 15, 4 ⋅ 15, 5 ⋅ 15, 6 ⋅ 15…} =
= {15, 30, 45, 60, 75, 90…}
Los divisores de 15 son D(15) = {1, 3, 5, 15}
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Números naturales, enteros y potencias
4.2. Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que dividir.
¿Por qué son útiles los criterios
de divisibilidad?
El cálculo de los divisores de un número supone ir haciendo divisiones y viendo si son exactas. Esto puede resultar
largo si el número con el que trabajamos es grande. Para solucionar este
problema se utilizan los criterios de
divisibilidad.
Un número es
divisible por
si
Ejemplos
2
termina en 0 o en par
26, 3 266, 12, 3 456 788
3
la suma de sus cifras
es múltiplo de 3
126 es múltiplo de 3 porque
1+2+6 = 9
5
termina en 0 o en 5
10, 555, 1 245, 23 450
9
la suma de sus cifras
es múltiplo de 9
2 538 es múltiplo de 9 porque
2 + 5 + 3 + 8 = 18
10
termina en 0
30, 100, 40, 5 000
Actividades
28. Utiliza los criterios de divisibilidad para indicar cuáles de los siguientes números son divisibles por 2, por 3, por 5, por 9 o por 10:
a) 15
b) 45
c) 0
d) 300
e) 22 500
f) 63 000
29. En una clase de 30 alumnos se quieren formar grupos iguales. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
30. Decide si son ciertas o falsas las siguientes frases dando alguna razón convincente:
a) 5 es divisor de 734.
b) 2 es divisor de 21.
c) 19 es divisor de 2 346.
d) El mayor divisor de 45 es 9.
e) 3 es divisor de 63.
f ) 1 500 no es divisor de 5.
31. ¿Se puede pagar el importe exacto de una tableta que cuesta 250 Ð con billetes de 100 Ð?, ¿y con billetes de 5 Ð?, ¿y con billetes
de 20 Ð?, ¿y con billetes de 50 Ð? Razona tu respuesta.
32. Copia la tabla y complétala en tu cuaderno utilizando los criterios de divisibilidad que hemos explicado:
Número
25
Divisible por 2
NO
170
90
111
363
Divisible por 3
Divisible por 5
SÍ
Divisible por 9
Divisible por 10
33. Tenemos 250 plantas para poner en un jardín: a) Si las ponemos en grupos de 25, ¿cuántos grupos podemos hacer? b) Si queremos ponerlas en 50 macetas, ¿cuántas pondremos en cada una?
34. El papa Gregorio XIII modificó en el año 1582 el calendario que se utilizaba hasta entonces y estableció que los años múltiplos
de 4 serían años bisiestos (años con 366 días). a) Indica cuáles de los siguientes años son bisiestos: 2015; 2034; 2016; 1987;
2000. b) ¿Cuáles serán los próximos tres años bisiestos?
35. Calcula los siguientes números: a) Cinco múltiplos de 11 mayores que 121; b) tres múltiplos de 4 mayores que 28; c) todos los
múltiplos de 3 que están situados entre 936 y 963.
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Unidad 1
5. Números primos y compuestos.
Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y compuestos
Un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por 1.
Saber más
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores, o dicho de
otra manera, si no es primo.
Conjetura de Goldbach
Goldbach (matemático alemán, 1690–
1764)
«Todo número entero par mayor que dos
puede expresarse como la suma de dos
números primos».
El número 1 no se considera ni primo ni compuesto. Para determinar los
números primos existe un método llamado Criba de Eratóstenes que
consiste en escribir los números naturales en orden y en ir tachando primero los múltiplos de 2, después los múltiplos de 3, luego los múltiplos
de 5, después los múltiplos de 7 y así sucesivamente… Los números que
van quedando en la lista son los números primos:
1
2 3 4
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
El tío Petros y la conjetura de Goldbach es
el título de un libro. Entre marzo de 2000
y marzo de 2002 una editorial inglesa
ofreció un premio de 1 000 000 de dolares
a quien demostrase esta conjetura, pero
todavía nadie lo ha conseguido. Este tipo
de problemas (que aún no están resueltos) se denominan problemas abiertos.
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Hemos obtenido de esta forma una lista de los números primos menores que 50 (señalados de color amarillo): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43 y 47.
¿Cómo se sabe si un número es primo o no lo es?
Para saber si un número dado es primo tenemos que ir dividiéndolo entre los números primos menores que él: 2, 3, 5, 7… hasta llegar a una división que sea exacta o una división en la que el cociente sea menor o
igual que el divisor, y entonces:
■
Si alguna división es exacta, el número es compuesto (no es primo).
■
Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo.
Ejemplos
■
■
Averigua si el número 63 es primo.


Por tanto 63 es divisible por 3, luego 63 tiene
63 2
63 3
03 31 03 21 más de dos divisores → D(63) = {1, 3, 63…} →
→ por tanto es compuesto
0
1
¿Son primos los números 2, 3 y 4?
El número 2 sí es primo porque solo es divisible por 2 y por 1. El
número 3 también es primo porque solo es divisible por 3 y por 1.
En cambio, el 4 no es primo porque es divisible por 1, 2 y 4, por lo
que tiene tres divisores.
Se sabe que existen infinitos números primos desde los tiempos de Euclides pero no se conoce un método que nos asegure que, dado un número
cualquiera podamos asegurar si es primo o no lo es. De hecho, cuando se
trabaja con números muy grandes, a veces puede ser muy complicado estudiar si el número dado es primo o no lo es.
16
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Números naturales, enteros y potencias
5.2. Descomposición factorial de un número
en factores primos
La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como
producto de números primos.
Por ejemplo: 10 = 2 ⋅ 5
4 = 2⋅2
27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3
35 = 7 ⋅ 5
Los números pequeños como los del ejemplo anterior pueden descomponerse en producto de factores primos con poco esfuerzo, pero ¿cómo
se hace esto si tenemos números más grandes?
Ejemplo
Descompón en producto de factores primos los siguientes números:
a) 70
b) 24
c) 630
Para descomponer un número compuesto en factores primos vamos
dividiendo dicho número por sus posibles divisores primos, empezando siempre por los más pequeños: 2, 3, 5, 7… hasta obtener un
cociente igual a 1. La descomposición factorial será el producto de
todos los divisores primos.
a) Divisiones sucesivas

70 2
10 35 5
0 0 7 7
0 1
En columna
Descomposición factorial
70 2
35 5
7 7
1
70 = 2 · 5 · 7
En columna
24
12
6
3
1
2
2
2
3
c) Divisiones sucesivas
En columna

630 2
630 2
315 3
03
315 3
105
3
10 015 105 3
35
5
0
0 15 35 5
7 7
0 0 7 7
1
0 1
Teorema Fundamental
de la Aritmética
Se sabe que «todo número natural mayor
que uno puede descomponerse en producto de factores primos». Este resultado es tan importante que se conoce con el
nombre de Teorema Fundamental de la
Aritmética ya desde la época de Euclides
(siglo  a. C.) cuando aparece en su famoso libro Los Elementos.
Saber más
Los números primos y la seguridad
en internet
Una de las aplicaciones más curiosas de
los números primos tiene que ver con los
protocolos de seguridad en internet.
Empezamos dividiendo por 2.
Como 35 no es divisible por 3, probamos con el 5.
El 7 es un número primo, por lo que solo es divisible por 7.
Hemos obtenido 1 en el cociente, luego hemos terminado.
b) Divisiones sucesivas

24 2
04 12 2
0 0 6 2
0 3 3
0 1
Saber más
Descomposición factorial
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Es fácil multiplicar dos números primos,
sean por ejemplo los primos a = 11 927 y
b = 20 903, de manera que al multiplicarlos obtenemos a · b = c = 249 310 081.
Resulta en cambio muy difícil determinar
a y b a partir de c.
Matemáticamente, esto se hace a través
del procedimiento conocido como descomposición factorial que acabamos de
explicar.
En el ejemplo, el número c viene a ser la
codificación, mientras a y b son la clave de
descodificación. Esta estrategia es la base
de un sistema de encriptación de clave
pública llamado RSA, muy utilizado en
internet.
Descomposición factorial
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7
Desafío matemático
El problema de la estación
espacial Mir
Utiliza las operaciones con números
enteros para resolver este problema:
suma, resta, multiplicación y división.
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Unidad 1
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios
números. Aplicaciones
¿Para qué sirven el máximo
común divisor y el mínimo
común múltiplo?
■
■
Para poder trabajar con fracciones:
cuando hagamos sumas y restas
de fracciones será necesario saber
calcular el máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo de varios
números.
Para resolver cierto tipo de
problemas, como se ve en el ejemplo
de abajo.
El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor divisor común a todos ellos. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios
números es el menor múltiplo común a todos ellos.
Para calcular ambos números se utiliza la descomposición factorial.
6.1. Cálculo del máximo común divisor
El cálculo del máximo común divisor de varios números requiere dos pasos:
1.º Se hace la descomposición factorial de los números.
2.º Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican.
Ejemplo
Calcula el máximo común divisor de los números 30 y 45.
1.º
30 2
45 3
2.º Los factores primos comunes son los
15 3
15 3
que se repiten en las dos listas:
5 5
5 5
el 3 y el 5.
1
1
Se toman con el MENOR exponente
con el que aparecen y se multiplican:
30 = 2 · 3 · 5 45 = 32 · 5
el M.C.D.(30,45) = 3 · 5 = 15
6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo
El cálculo del mínimo común múltiplo también se realiza en dos pasos:
1.º Se hace la descomposición factorial de los números.
2.º Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el
mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican.
Ejemplo
Calcula el mínimo común múltiplo de los números 36 y 60.
1.º 36 2
60 2
2.º Los factores primos comunes son los
18 2
30 2
que están en las dos listas (2 y 3) y
9 3
15 3
los no comunes los que solo están
3 3
5 5
en alguna (5).
1
1
Se eligen los que tengan el MAYOR
exponente y se multiplican:
Ejemplo
Si una campana toca cada 30 minutos
y otra cada 45 y empiezan a tocar a las
12 de la mañana, ¿a qué hora volverán
a tocar a la vez?
La respuesta debe ser un número mayor que 30 y que 45 y múltiplo de ambos.
El m.c.m.(30,45) = 90, luego al cabo de
90 minutos volverán a tocar juntas; a
las 13.30 horas.
36 = 22 · 32 60 = 22 · 3 · 5
el m.c.m.(36,60) = 22 · 32 · 5 = 180
6.3. Aplicaciones
El M.C.D. y el m.c.m. sirven para resolver muchos problemas cotidianos.
Para saber cuál de los dos números debemos calcular, una regla útil es la
siguiente:
a) Si del enunciado del problema se deduce que el número a calcular debe
ser menor que los datos, entonces calcularemos el M.C.D.
b) Si del enunciado del problema se deduce que el número a calcular debe
ser mayor que los datos, entonces calcularemos el m.c.m.
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Números naturales, enteros y potencias
Actividades
36. Continúa construyendo la Criba de Eratóstenes para hallar los números primos hasta el 100.
37. Averigua si el número 53 es primo.
38. Descompón en factores primos los números que aparecen en el marcador de la imagen.
39. Descompón en factores los siguientes números:
a) 35
b) 75
c) 180
d) 198
40. Halla todos los divisores de los siguientes números:
a) 55
b) 35
c) 10
d) 15
e) 100
f) 81
41. Calcula el m.c.m. de los números:
a) 28 y 98
b) 30 y 45
42. Calcula el M.C.D. de los números:
a) 72 y 44
b) 72 y 145
43. Dos corredores están entrenando en una pista de atletismo. Si salen a la vez y uno tarda 45 segundos en dar una vuelta a la pista y el otro tarda 60 segundos, ¿cuándo vuelven a coincidir en la salida?
44. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes frases:
a) Entre 30 y 40 hay más números primos que entre 40 y 50.
b) Todos los números impares son primos.
c) La descomposición en factores primos de un número es 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 8.
d) Todos los números pares son compuestos.
45. Averigua si el número 144 es primo.
46. La conjetura de Goldbach dice que «Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos». Por
ejemplo: 8 = 5 + 3, donde 8 es par y 5 y 3 son números primos; o por ejemplo 22 = 3 + 19. Busca más ejemplos de pares de números donde ocurra esto.
47. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla escribiendo SÍ o NO en las casillas:
2
7
11
14
35
405
Primo
Compuesto
Múltiplo de 5
Divisor de 70
48. Completa en tu cuaderno los números que faltan en las siguientes descomposiciones factoriales y escríbelos como producto de
los factores primos obtenidos:
88
44 2
2
11
1
88 =
36
18
9 3
190
95
60
15
1
5
1
36 =
190 =
60 =
19
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Unidad 1
Actividades
49. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. según se pide a partir de las descomposiciones factoriales de la tabla:
Factores primos
Factores primos
18 =
2 ⋅ 32
60 =
22 ⋅ 3 ⋅ 5
24 =
23 ⋅ 3
90 =
2 ⋅ 32 ⋅ 5
36 =
2 2 ⋅ 32
100 =
22 ⋅ 5 2
45 =
32 ⋅ 5
180 =
22 ⋅ 32 ⋅ 5
a) M.C.D.(24,36)
c) M.C.D.(45,180)
e) m.c.m.(45,60)
b) M.C.D.(60,90)
d) m.c.m.(18,100)
f) m.c.m.(18,36,90)
50. Calcula:
a) m.c.m.(8,12)
c) M.C.D.(42,90)
b) m.c.m.(60,95)
d) M.C.D.(86,124)
51. a) Elige dos números a y b cualesquiera de dos cifras y calcula su M.C.D. y su m.c.m.
b) Comprueba que se cumple que M.C.D.(a,b) ⋅ m.c.m.(a,b) = a ⋅ b
52. Disponemos de dos cables eléctricos, uno de 180 cm y el otro de 45 cm, y queremos dividirlos en trozos de la misma medida.
¿Cuál debe ser la longitud máxima de cada trozo?
53. Un semáforo se pone en rojo cada 24 segundos y otro cada 30. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán ambos en rojo?
54. Una emisora de radio tiene el programa de noticias cada 10 minutos y otra emisora cada 14 minutos. ¿Cada cuántos minutos coinciden las noticias en ambas emisoras?
55. Tenemos dos cordones, uno de 130 cm de longitud y el otro de 90 cm. Queremos dividirlos en trozos de la misma medida, ¿cuál
es la longitud máxima que puede tener cada trozo de cordón?
56. En una residencia de personas mayores un residente debe tomar tres tipos de pastillas: unas cada 8 horas, otras cada 12 horas y
otras cada 24 horas. Si toma las pastillas al levantarse, ¿cuántas horas pasarán hasta que vuelva a tomarlas todas juntas?
57. En los siguientes problemas falta la pregunta del enunciado y aparece la solución. Observa las operaciones realizadas, completa en tu cuaderno los enunciados con la pregunta que falta y escribe lo que indica cada operación.
a) Tengo 200 Ð para comprar dos
abrigos de invierno de 75 Ð cada
uno y unas botas de 85 Ð. ¿ ?
75 ⋅ 2 = 150
150 + 85 = 235
235 - 200 = 35
b) En una mercería se compran 125
rollos de lana por 750 Ð y se venden después en mercadillos a 8 Ð
cada rollo. ¿ ?
c) Un padre tiene 2 billetes de 20 Ð, la madre tiene 5 billetes de 20, y los hijos, 10
monedas de 2 euros. ¿ ?
750 : 125 = 6
5 ⋅ 20 = 100
125 ⋅ 8 = 1000
1000 - 750 = 250
2 ⋅ 20 = 40
10 ⋅ 2 = 20
40 + 100 + 20 = 160
58. Escribe una expresión numérica para los siguientes problemas utilizando números naturales y obtén una respuesta para el problema planteado:
a) Vamos a recorrer 750 km del Camino de Santiago andando y lo haremos en etapas de 30 km. ¿Cuántos días tardaremos en
hacer todo el camino?
b) En un vagón de tren caben 43 viajeros sentados y 51 de pie. ¿Cuántas personas caben en un tren de 10 vagones?
c) He comprado 3 kg de melocotones a 3 Ð/kg, 4 chocolatinas a 1 Ð cada una y un paquete de detergente a 12 Ð. Si pago con un
billete de 50 Ð, ¿cuánto me devuelven?
20
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales.
Aplicaciones
7.1. El conjunto de los números enteros
Una buena forma de entender la necesidad de los números enteros surge cuando pensamos en la altitud de un punto de la superficie terrestre
respecto al nivel del mar. Las montañas están a una altura determinada
sobre el nivel del mar y eso lo señalamos con números positivos; por
ejemplo, el K2 (que es la segunda montaña más alta de la Tierra después
del monte Everest) tiene una altura de +8 611 m. En cambio, Holanda tiene partes de su territorio situadas a -4 m o incluso -7 m por debajo del
nivel del mar. Hemos utilizado los signos + y - para designar números positivos y negativos. Estos son los números enteros.
El conjunto de los números enteros se representa con la letra y está
formado por los números naturales que hemos estudiado (los positivos y el cero) y por los números negativos. Se escribe como:
= {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
7.2. Representación gráfica de los números enteros
El K2 tiene una altura de +8 611 m sobre el nivel
del mar.
Los números enteros se representan en la recta numérica: se marca el
cero, y a su derecha se sitúan los números positivos y a su izquierda los
negativos:
… –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
…
Para comparar números enteros se utiliza su representación en la recta
numérica: un número es mayor que otro si al representarlo en la recta el
primero se encuentra a la derecha del segundo.
Ejemplo
Representa en la recta numérica los números -6, 1, -2, 0, -4, 5 y 3
y después ordénalos de mayor a menor utilizando el símbolo >.
–6
–4
–2
0
1
3
5
Ordenados utilizando el símbolo > quedarían así:
5 > 3 > 1 > 0 > -2 > -4 > -6
El valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número
al cero y se indica poniendo el número entre dos barras.
Ejemplo
En Holanda hay zonas del país situadas por
debajo del nivel del mar.
Escritura de números positivos
y negativos
No es necesario escribir con su signo
los números enteros positivos, es decir,
escribir +5 es lo mismo que escribir 5.
En cambio, si el número es negativo, es
necesario que lleve el signo; por ejemplo, el «número negativo 23» debe escribirse como -23.
Desafío matemático
El valor absoluto del +5 se expresa como +5 = 5. El valor absoluto del -3 se escribe −3 = 3. Podemos dibujar este ejemplo:
que es la distancia
del –3 al 0
−3 = 3
–3
que es la distancia
del 0 al 5
+5 = 5
0
5
El problema del alquiler
Utiliza los números enteros para responder a la segunda parte de la pregunta b): (…) Si estamos dos meses
sin pagar el alquiler, ¿con qué número
se representaría esta deuda?
21
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Unidad 1
7.3. Operaciones elementales con números enteros.
Aplicaciones
7.3.1. Suma de números enteros
Propiedades de la suma
de números enteros
Se cumplen las mismas propiedades
que en la suma de números naturales:
conmutativa, asociativa, elemento
neutro (el 0) y, además, cada número
entero tiene su opuesto; por ejemplo,
el opuesto del 5 es el -5 y se cumple
que su suma es cero.
¿Cómo escribir sumas y restas
de números enteros?
■
Si en la suma solo aparecen
números positivos se puede
escribir de varias formas, por
ejemplo:
(+5) + (+3) + (+2) + (+10) =
= (5) + (3) + (2) + (10) =
= 5 + 3 + 2 + 10
donde las tres notaciones son
equivalentes pero la última, de
color negro, es la más habitual.
■
1. Con el mismo signo: para sumar números enteros del mismo signo,
se suman los valores absolutos de dichos números y se pone el mismo signo que tengan los números.
Ejemplos
■
■
Ejemplos
■
(-5) + 5 + (-6) + (-7)
Ejemplo
(+4) - (+6) - (+5) + 10 = 4 - 6 -5 + 10 = 4 - 11 + 10 = 3 °C es la
temperatura la última vez
que se midió.
Calcula (-6) + (-7) + (-2) + (-4). Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus valores absolutos: 6 + 7 + 2 + 4 = 19 y ahora
ponemos el signo menos: -19.
2. Con distinto signo: para sumar números enteros con distinto signo, se
suman por un lado los positivos, por otro los negativos y después se
halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
Si en la suma aparecen números
negativos, entonces es necesario
utilizar los paréntesis. Por ejemplo:
En una zona de un jardín se
ha medido la temperatura 4
veces. En la primera medición
se ha obtenido +4 °C. Luego
bajó 6 °C. Después bajó otros
5 °C y finalmente subió 10 °C.
¿Cuál fue la temperatura la
última vez que se midió?
Efectuamos las operaciones
indicadas:
Hemos tenido que pagar varios recibos que nos han ido descontando de nuestra cuenta: -30 Ð de teléfono, -75 Ð de gas, -65 Ð
de luz y -100 Ð de comunidad. ¿Cuánto dinero nos han quitado
en total de la cuenta? Tenemos que sumar (-30) + (-75) + (-65) +
(-100). Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus
valores absolutos 30 + 75 + 65 + 100 = 270 y ponemos el signo
menos: -270 Ð nos han quitado de la cuenta.
■
Calcula la suma:
(-3) + (-4) + (+6) + (-9) + (-10) + (+8)
Se suman los enteros positivos:
(+6) + (+8) = 6 + 8 = 14
Se suman los enteros negativos:
(-3) + (-4) + (-9) + (-10) = -26
Hallamos la diferencia de los valores absolutos y ponemos el
signo del número de mayor valor
absoluto:
|-26| = 26; |14| = 14
26 - 14 = 12
La solución es por tanto -12
Pedro va a pagar a la óptica 24 Ð que debe. Para ello saca del
cajero automático 40 Ð, pero al volver a casa pierde un billete
de 10 Ð. ¿Cuánto dinero le queda?
La operación que debemos hacer es: (+40) + (-24) + (-10) = (+40) +
+ (-34) = +6
7.3.2. Resta de números enteros
Restar dos números enteros es sumar el primero con el opuesto del
segundo.
Ejemplo
Calcula (-12) - (+13)
Sumamos al primero el opuesto del segundo: (-12) + (-13) = -25
22
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Números naturales, enteros y potencias
7.3.3. Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar o dividir números enteros se utilizan las reglas de los signos:
Regla de los signos para la
MULTIPLICACIÓN
Regla de los signos para la
DIVISIÓN
(+) ⋅ (+) = (+)
(+) : (+) = (+)
(−) ⋅ (−) = (+)
(−) : (−) = (+)
(−) ⋅ (+) = (−)
(−) : (+) = (−)
(+) ⋅ (−) = (−)
(+) : (−) = (−)
La división de números enteros
Al dividir dos números enteros
Dividendo divisor
resto
cociente
siempre se cumple entre ellos la
relación:
D = d⋅c+r
Al multiplicar o dividir dos números enteros que tienen el mismo signo,
el resultado obtenido es positivo, y si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
■
Si el resto r es cero, la división es
exacta.
■
Si el resto r no es cero, la división
es entera.
Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el
signo del resultado y después se multiplican o dividen los números
como si fuesen naturales.
Ejemplos de multiplicación
Ejemplos de división
(+2) ⋅ (+4) = +(2 ⋅ 4) = 8
(+18) : (+9) = +(18 : 9) = 2
(−5) ⋅ (−6) = +(5 ⋅ 6) = 30
(−12) : (−4) = +(12 : 4) = 3
(−7) ⋅ (+3) = −(7 ⋅ 3) = −21
(− 20) : (+ 5) = −(20 : 5) = −4
(+4) ⋅ (−9) = −(4⋅ 9) = −36
(+14) : (−7) = −(14 : 7) = −2
Recuerda
Suma y resta de números enteros
Cuando en la suma y resta de números
enteros aparecen dos signos seguidos,
se utiliza la regla de los signos de la multiplicación.
7.3.4. Aplicaciones de los números enteros
Las operaciones con números enteros se utilizan en diferentes contextos.
Ejemplo
Medida de temperaturas y altitudes:
Un avión despega del aeropuerto de Madrid-Barajas con
dirección al aeropuerto de Málaga-Costa del Sol. La temperatura al salir de Madrid es de
−3 °C y al llegar a Málaga hay
12 °C. ¿Qué diferencia de temperatura hay entre las dos ciudades? Observa el dibujo y
responde a las preguntas: a) ¿A
qué altitud se encuentra el
avión en Madrid?, ¿y en Málaga? b) ¿Cuántos metros asciende el avión hasta alcanzar su
máxima altura? c) ¿A qué profundidad está el submarino?
10 000
600
Madrid
Barajas
12 − (−3) = 12 + 3 = 15 °C
a) En Madrid está a +600 m
En Málaga está a 0 m
b) 10 000 − 600 = +9 400 m
c) −450 m
300
0
–300
Málaga
Costa del Sol
–600
23
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Unidad 1
Actividades
59. Escribe los números enteros señalados en la recta con el punto verde:
–3
1
4
60. Un número entero tiene valor absoluto 7 y se representa a la izquierda del cero en la recta numérica. ¿Qué número es?
61. Expresa con números enteros las siguientes situaciones y calcula el resultado:
a) Tengo 150 Ð en el banco y me cobran una derrama de la comunidad de 210 Ð.
b) La temperatura es de 21 °C y baja 8 °C durante la noche.
c) El globo se encontraba a 60 m de altura, ha descendido 15 m y después ha ascendido 40 m.
d) He pagado 330 Ð durante tres meses por una mampara de baño.
62. La temperatura en el polo norte ha subido 15 °C. Si en la última medición estaba en -34 °C, ¿qué temperatura indicará ahora el termómetro?
63. Realiza las siguientes operaciones con enteros en tu cuaderno:
a) 15 - (8 - 5 + 9 + 3)
b) 5 + 3 - 4 - (7 - 2)
c) 25 + 45 : 9 - [4 - (12 - 8)];
d) -4 ⋅ (2 + 10)
64. Efectúa estas restas:
a) (+12) - (+13)
b) (-15) - (+8)
c) (-10) - (-2)
65. Realiza las siguientes sumas de enteros:
a) (-8) + (-9)
b) (-9) + (+7) + (+16)
c) (-3) + (+6) + (-8) + (+15)
d) (-2) - (+4) - (+6) + (-2)
66. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones en tu cuaderno:
a) (-20) : (+4)
b) (+18) : (-2)
c) (+30) : (-5)
d) (-10) : (-2)
e) (+3) ⋅ (+2)
f) (-4) ⋅ (-2)
g) (-6) ⋅ (+3)
h) (-15) ⋅ (-5)
b) 20 : 2 + 7∙ 3 - 4 + 6
c) 6 + 9 - 6 ⋅ 3 + 9 - 6
d) 18 : 9 + [(-15) ⋅ 2 + 12 ⋅ 3]
67. Calcula:
a) 14 : 2 - 6 + 12
68. Una empresa había ganado 250 000 Ð, pero en el último año ha sufrido pérdidas y ahora tiene una deuda de 50 000 Ð. ¿Cuánto
ha perdido en total?
69. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) (9 - 4) ⋅ 3 + 2
b) 5 + 4 ⋅ 2 - 8
c) 30 : 6 + 3 ⋅ 6
70. Observa el siguiente croquis de un dique en Holanda:
a) ¿En qué nivel se sitúa el agua del canal? Represéntalo con
un número entero.
b) ¿Qué nivel alcanza aproximadamente el suelo de la casa?
¿Y el tejado? ¿Qué pasaría si se rompiese el dique?
c) ¿Qué altura alcanza el dique? ¿Qué altura tiene sobre el canal?
d) ¿Cuál es la diferencia de altura entre el punto más alto del dique y el punto más profundo del canal? Escribe la operación
que debes hacer para calcularlo utilizando números enteros.
d) 5 ⋅ 3 - (4 + 8)
Dique
+3 m
+2 m
+1 m
0m
–1 m
Mar
–2 m
–3 m
–4 m
–5 m
Canal
–6 m
–7 m
71. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes enunciados:
planta.
a) Pedro está en la quinta planta y baja dos plantas andando. Pedro ha llegado a la
b) Un trabajador tiene en su cuenta 800 Ð, pero Hacienda le hace pagar 180 Ð por el IRPF. Su saldo se queda en
.
c) Un pescador submarino está pescando pulpos a una profundidad de 6 m y baja 4 m más mientras persigue a uno. Su profundidad actual es
m.
72. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) (-12) - (+15) - (-8) - (-5) - 10
b) 15 - [3 + (22 - 7)]
c) (9 - 6) - [11 - (6-4)]
d) 10 - [(7 - 2) + (4 + 6)] - (-3)
73. En una prueba tipo test para conseguir un trabajo se obtienen +2 puntos por cada respuesta correcta, 0 puntos por cada respuesta
en blanco y -1 punto por cada respuesta incorrecta. Si el test tiene 40 preguntas: a) ¿Qué puntuación se obtendría si se contestan
25 preguntas bien, 10 mal y se dejan 5 en blanco? b) ¿Y qué se obtendría si se contestan 20 bien y se dejan las otras 20 en blanco?
74. Una persona que manipula comida congela el pescado que acaba de llegar al restaurante. Si al meterlo al congelador estaba a
22 °C y llega a 18 °C bajo cero en el frigorífico, ¿cuánto ha variado la temperatura del alimento?
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Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
Exponente
8.1. Potencias y raíces
64 = 6 · 6 · 6 · 6 = 1 296
Base
Una potencia de números es una multiplicación de factores iguales. El
factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es
el exponente. La operación se llama potenciación.
Para hallar la potencia de un número, se multiplica la base por sí misma
tantas veces como indique el exponente. Por ejemplo: 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16.
Si el exponente es cero, la potencia siempre vale 1. Ejemplo: (234)0 = 1.
Potencias de números enteros
Se calculan igual que las de números
naturales pero conviene tener en
cuenta que:
■
Ejemplo
En un edificio hay 4 pisos, en cada piso hay 4 habitaciones y cada
habitación tiene 4 ventanas. ¿Cuántas ventanas hay en total?
Para responder a la pregunta, multiplicamos 4 ⋅ 4 ⋅ 4, que en forma
de potencia se escribe 43 (la base es 4 y el exponente es 3), calculando 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 ventanas.
8.2. Operaciones con potencias
Suma y resta de potencias: para sumar o
restar potencias, tengan o no la misma
base, se calcula por separado el valor de
cada potencia y luego se suman o restan
los resultados. Ejemplo:
32 + 33 - 23 = 9 + 27 - 8 = 28
Potencia de un cociente: la potencia de
un cociente es igual al cociente de las potencias de los factores. Ejemplos:
2
 6  62 6 ⋅ 6 36
=
a)   = 2 =
 5
5 ⋅ 5 25
5
3
 −2  ( −2)3 −2 ⋅−2 ⋅−2 −8
=
b)   = 3 =
 3
3⋅3⋅3
27
3
Producto de potencias de la misma base:
el producto de dos potencias de la misma
base es otra potencia de la misma base
que tiene por exponente la suma de los
exponentes. Ejemplo:
42 ⋅ 43 = 42+3 = 45 = 1 024
Ejemplo:
(-3)2 = (-3) ⋅ (-3) = +9
■
Si la base es negativa y el
exponente es impar, la potencia es
negativa.
Ejemplo:
(-3)3 = (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = -27
Potencia de un producto: la potencia de
un producto es igual al producto de las
potencias de los factores. Ejemplos:
a) (2 ⋅ 5)4 = 24 ⋅ 54 = 16 ⋅ 625 = 10 000
b) (-2 ⋅ 4) = (-2) ⋅ 4 = 4 ⋅ 16 = 64
2
2
2
Propiedades de las potencias
Potencia de exponente cero:
a0 = 1
Potencia de una potencia: la potencia de
una potencia es igual a la base elevada al
producto de los exponentes. Ejemplos:
Potencia de un producto:
a) ( 52 ) = 52⋅3 = 56 = 15 625
Potencia de un cociente:
3
b) ( −23 ) = ( −2) = ( −2) = 64
2
3⋅2
6
(a ⋅ b )n = an ⋅ bn
n
 a  an
(a : b )n =   = n
 b b
Potencia de una potencia:
Cociente de potencias de la misma base:
el cociente de potencias de la misma
base es otra potencia de la misma base
cuyo exponente es la resta de los exponentes. Ejemplo:
34
= 34−2 = 32 = 9
32
Una potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia de exponente positivo. Veamos un ejemplo: Según el cociente de
53
= 53− 5 = 5−2.
55
53
5⋅5⋅5
5⋅5⋅5
1
= 2.
Y por otro lado 5 =
=
5
5⋅5⋅5⋅5⋅5 5⋅5⋅5 ⋅5⋅5 5
(am )n = am⋅n
Producto de potencias de la misma
base:
am ⋅ an = am+n
Cociente de potencias de la misma
base:
8.3. Potencias de exponente negativo
potencias de la misma base
Si la base es negativa y el
exponente es par, la potencia es
positiva.







am : an =
am
an
= am−n
Potencia de exponente negativo:
−2
5
1
= 2
5
a− n =
1
an
25
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Unidad 1
8.4. Raíces
Jerarquía de las operaciones
8.4.1. Raíces cuadradas
Cuando se tienen distintas
operaciones combinadas con
números enteros, hay que seguir un
orden para efectuarlas:
La operación contraria a la potenciación es la obtención de raíces. Podrían preguntarnos: ¿qué número elevado al cuadrado nos da 9? La respuesta sería 3 (como sabemos 32 = 3 ⋅ 3 = 9), por ello se dice que 3 es la
raíz cuadrada de 9.
1.º Corchetes y paréntesis.
2.º Potencias y raíces.
La raíz cuadrada de un número, llamado radicando, es otro número
que elevado al cuadrado nos da como resultado el primero.
3.º Multiplicaciones y divisiones.
4.º Sumas y restas.
5.º Si las operaciones están en el
mismo nivel, se empieza por la
izquierda.
( ), [ ]
an, √
8.4.2. Raíces cúbicas
Las raíces cúbicas se comportan de forma análoga a lo que ocurre con
las raíces cuadradas:
3
×, ÷
27 = 3 porque 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27
3
+, –
125 = 5 porque 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
8.4.3. Otras raíces
También se pueden calcular raíces de orden superior a 2 y a 3. Veamos
varios ejemplos:
24 = 16 tenemos que 4 16 = 2
Índice
n
a =b
35 = 243 y por tanto 5 243 = 3
Raíz
En general, si a = bn entonces
Radicando
n
a=b
Actividades
75. Calcula utilizando la jerarquía de las operaciones: a) 2 ⋅ (14 - 6)2 - 42; b) -[2 - (-4) + (-2)3]; c) [8 ⋅ (2 - 5)2] : 32; d) 8 ⋅ (2 - 5)2 : 32
76. Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Potencia
Base
Exponente
Valor
46
(-3)3
122
(-5)4
77. Calcula: a) 6 ⋅ [7 - 3] + 12 : 2 - 3; b) (23 ⋅ 24 - 90) - (23 - 5); c) 9 ⋅ 3 + (32 − 5); d) (25 + 32 − 42 ) ⋅ 4
78. Escribe como una sola potencia: a) (83 ⋅ 73); b) 103 : 53; c) 32 ⋅ 52 ⋅ 82; d) 24 : 34
79. Calcula en tu cuaderno: a) (-5)2 + 23; b) 23 + 22 -24; c) (2 ⋅ 4)2; d) 30 ⋅ (-3) ⋅ 32
80. Expresa como una sola potencia y calcula el resultado:
24
a) 5 ⋅ 52 ⋅ 53
b) (-2)3 ⋅ (-2)4 ⋅ (-2)2
c)
e) 22 ⋅ 23 ⋅ 2
f ) (34 : 32) ⋅ 32
g) (22)
d)
22
3
(–6)5
(–6)2
h) 22 ⋅ 32
26
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Números naturales, enteros y potencias
Actividades
81. Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:
a)
x =9
b) 4x = 16
144 = x
c)
82. En un partido de baloncesto las canastas encestadas por los jugadores de uno de los equipos son las siguientes:
Canastas de…
1 punto
2 puntos
3 puntos
Raquel
10
3
1
Begoña
4
4
0
Laura
6
2
3
Sara
3
8
0
Sergio
1
3
2
Martín
6
3
1
Carlos
8
3
2
a) ¿Con cuántos puntos acabó este equipo?
b) Si el otro equipo anotó 110 puntos, ¿quién ganó el partido?
c) Si en el siguiente partido se anotan 80 puntos, ¿cómo puedo expresar este número utilizando un producto de potencias?
83. Reduce a una sola potencia y calcula su valor:
a) 5-1 ⋅ 5-3 ⋅ 5
b) (-2)-4 ⋅ (-2)-3
c) [3-5 ⋅ (33)2] : 3
d)
7−2 ⋅ 73 ⋅ 7−4
7−4 ⋅ 72
84. Sustituye las letras a por los números que correspondan:
a) 3a = 1
b)
4a
45
= 4–2
-2
c) 2a ⋅ 24 = 26
d) (2a) = 26
85. Reduce las siguientes expresiones:
a) a5 ⋅ a2
b) b6 : b4
d) (m : m ) ⋅ m
2
2
3
c) c ⋅ c5
e) x : (x : x )
3
4
f ) (y4 : y) ⋅ y2
2
86. Sabiendo que un tablero de ajedrez es cuadrado y que su superficie mide 576 cm2:
a) ¿Cuánto mide cada lado del tablero?
b) ¿Cuánto mide el lado de cada casilla?
c) ¿Cuál es la superficie de cada casilla?
87. Escribe en forma de potencia y calcula:
a) Siete elevado al cubo
b) Ocho elevado al cuadrado
c) Cuatro elevado a seis
d) Dos elevado a cinco
88. Un albañil ha necesitado 289 baldosas de 1 m de lado cada una para embaldosar el
suelo de una carnicería. Sabiendo que la carnicería mide lo mismo de largo que de ancho, calcula las dimensiones del local.
89. Una hoja de sellos de correos tiene 12 filas por 12 columnas. Tenemos 12 hojas de sellos.
a) ¿Cuántos sellos tenemos en total? Expresa el resultado en forma de potencia
b) Si cada sello vale 2 Ð, ¿cuánto nos cuestan todas las hojas?
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Unidad 1
ACTIVIDADES FINALES
RESUELVE EN TU CUADERNO O BLOC DE NOTAS
Escribe
1. Escribe en tu cuaderno con cifras los siguientes números:
a) Ochenta y tres millones ciento veinticuatro mil setecientos uno.
8. Responde a las siguientes preguntas, indicando SÍ o
NO, y escribiendo las operaciones que justifiquen la
respuesta:
a) ¿Es 6 divisor de 24?
b) Sesenta y seis mil ocho.
b) ¿Es 121 múltiplo de 11?
2. Completa en tu cuaderno:
c) ¿Es 330 múltiplo de 55?
a) 14 unidades de millar =
decenas
b) 52 decenas de millar =
centenas
c) 16 millares de millón =
millones
d) 200 decenas =
unidades de millar
3. Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Escribe
con cifras
Escribe
cómo se lee
Redondea a
las unidades
de millar
Treinta y tres
mil ocho
9. Averigua qué número hay que poner en el recuadro
para que la cifra resultante sea múltiplo de 2 y de 3.
Escribe todas las soluciones posibles en cada caso:
b) 41
a) 13
10. Calcula:
a) m.c.m.(24,12,40)
b) M.C.D.(48,72,86)
Opera
11. Realiza las siguientes operaciones:
127 702
a) 1 030 ⋅ 1 040
Quinientos seis
mil trescientos
once
4. Escribe en tu cuaderno cómo se leen los siguientes
números:
a) 2 944 761
b) 12 366 : 3
c) 4 050 : 30
12. Saca factor común y calcula el resultado:
a) 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 - 5 ⋅ 2
b) 4 + 6 ⋅ 4 - 5 ⋅ 4
13. Realiza los siguientes cálculos, teniendo en cuenta la
jerarquía de las operaciones:
b) 14 542
a) 9 + 2 ⋅ 4
Recuerda
b) 12 - 4 ⋅ (9 - 4)
5. Calcula los cinco primeros múltiplos y todos los divisores del número 84.
6. De los siguientes números, indica los que son primos
y los que son múltiplos de 3 (justifica la respuesta):
18, 23, 46, 57, 71, 78
7. Expresa los siguientes números como producto de
factores primos:
a) 18
d) ¿Es 3 divisible por 24?
c) 8 ⋅ 4 - 2 ⋅ (1 + 6)
d) 33 - 3 + 5 ⋅ 4 - 1 - 12 : 2
e) 6 - 4 : 2 + 1
f ) 32 + 5(2 + 3) - 6
g) 36 - 23 ⋅ 3 + 25 : 5
h) 5 ⋅ 6 - 2[2(5 -2) - 3(5 - 2)]
i ) 5 ⋅ (7 - 3) ⋅ [2(4 - 2) - 3(5 - 3)]
j ) 3 + 5 ⋅ 4 − (1 + 2)2
b) 260
k)
c) 252
l ) 3 + 32 ⋅ 3 - 12 : 3
25 − 9 + 25 − 9
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14. Calcula, aplicando las propiedades de las potencias:
a) 23 ⋅ 2 ⋅ 25
b) 42 ⋅ 32 ⋅ 52
c) ( 22 ) ⋅ 22
4
d) (72 ⋅ 73 ) : 74
e) 50 ⋅ 5 ⋅ 53
15. Calcula el valor de cada expresión:
a) 9 + 15 : 3 − 3 ⋅ 2
19. Una empresa paga a sus empleados cada 30 días, a
la empresa de la limpieza cada 40 días y a la empresa
de jardinería cada 45 días. Si hoy ha efectuado los tres
pagos, ¿cuánto tardará la empresa en volver a efectuarlos en el mismo día?
20. Un grupo de espeleólogos explora una cueva subterránea, midiendo los cambios de altura con un altímetro. La
entrada de la cueva está a 35 m sobre el nivel del mar.
Primero descienden 60 m, después suben 15 m por una
galería y finalmente bajan otros 20 m hasta llegar al punto más bajo de la cueva. ¿A qué altura con respecto al
nivel del mar se encuentran?
b) 14 − 5 ⋅ 8 − 3 ⋅ (5 − 3) 
c) (13 − 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ (5 − 3) 
d) 4 + 5 ⋅ (6 − 4)
e) 5 ⋅ (7 − 12: 2) − 12: 4
16. Opera las siguientes expresiones:
a) 25 − 3 ⋅ (4 − 2) − 2 ⋅ (5 − 2)
b) 48: 12: 2
c)
9 + 16 − 8 + 17 + 2 ⋅ 4
d) 25 − 3 ⋅ 23 + 2 ⋅ (4 + 1)2 − (32 + 22 )
Piensa y resuelve
17. Una oficina compra una caja que contiene 5 paquetes
de 12 bolígrafos cada uno. Se reparten entre los 25
trabajadores:
a) ¿Cuántos bolígrafos corresponden a cada uno?
b) ¿Cuántos bolígrafos quedan sin repartir?
c) ¿Cuántos bolígrafos habría que añadir a cada paquete para que todos tocasen a uno más y no sobrara ninguno?
18. Un almacenista compra al por mayor quinientas cajas de tomates de 10 kg cada caja por 4 500 Ð. El
transporte de toda esta mercancía le cuesta 600 Ð.
Durante el trayecto se caen varias cajas de tomates,
que se golpean, y unos 500 kg de tomates se echan
a perder. ¿A cuánto debe vender el kilogramo para ganar 3 900 Ð?
21. Laura aparca su coche en el tercer sótano de unos grandes almacenes y sube 9 pisos hasta el supermercado.
Después baja cuatro pisos para ir al taller de reparación
de coches y vuelve a subir dos pisos para dirigirse a la
planta de deportes.
a) ¿En qué piso están el supermercado, el taller de reparación de coches y la planta de deportes?
b) ¿Cuántos pisos tendrá que bajar para llegar hasta
donde aparcó el coche?
22. Calcula los metros de alambrada que se necesitan para
rodear un terreno cuadrado de 10 000 m2 de superficie.
Explica tu respuesta.
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Unidad 1
INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Operaciones con números naturales y enteros con el ordenador
Una de las habilidades que se intentan adquirir en esta unidad es ser capaces de hacer operaciones con
números naturales y con números enteros. La principal ventaja de estos números es que permiten hacer cálculos de forma rápida y precisa, por eso terminó imponiéndose su uso frente a los números romanos. Aunque este proceso fue lento y necesitó varios siglos para producirse, desde el siglo XII al XV. En
el camino surgieron algunas profesiones cuyo nombre ha llegado a nuestros días: los banqueros eran
personas que conocían ambos sistemas de numeración y trabajaban sentadas en un banco de madera
(de ahí su nombre) colaborando con los comerciantes y con la gente, haciendo préstamos, convirtiendo números romanos en números de los que utilizamos nosotros, y viceversa y, en general, ayudando
con los cálculos, pues la gente de aquella época no sabía manejar bien los números que no eran los romanos. Cuando hacían mal su trabajo, se les rompía la banca de madera donde trabajaban: estaban en
bancarrota.
La tecnología actual nos permite utilizar calculadoras on-line, como por ejemplo la calculadora WIRIS,
disponible en <http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/>, que nos facilita mucho todos los cálculos
que hemos ido viendo en la unidad. Con WIRIS, además de realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, operaciones con potencias y calcular raíces, podemos descomponer factorialmente un número en pocos segundos y calcular el M.C.D. y el m.c.m., entre otras cosas.
La calculadora WIRIS ofrece diferentes pestañas para realizar cálculos diversos. En la imagen se ve el aspecto de las pestañas:
En general, la línea donde se hacen los cálculos viene marcada por una doble barra vertical seguida del
símbolo
, que es donde hay que hacer clic para efectuar los cálculos que escribamos. Algunos de los
iconos más útiles son:
Pestaña
de Edición
Pestaña de
Operaciones
permite introducir
texto
para crear un nuevo
bloque de cálculos
detiene los cálculos
para calcular
potencias
para calcular raíces
muestra el dividendo, divisor,
cociente y resto de una división
Algunos de los comandos que vamos a utilizar son:
divisores(98) → calcula todos los divisores del número indicado
factorizar(56) → calcula la descomposición factorial del número indicado
mcd(12,56) → calcula el M.C.D. de los números indicados
mcm(12,56) → calcula el m.c.m. de los números indicados
Utiliza la calculadora WIRIS para comprobar las soluciones de algún
ejercicio que hayas resuelto y así ver si tu respuesta es correcta.
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Unidad 1
EVALÚA TUS CONOCIMIENTOS
RESUELVE EN TU CUADERNO O BLOC DE NOTAS
1. Escribe en tu cuaderno si las siguientes frases son verdaderas o falsas:
El sistema decimal es un sistema de numeración
V F
posicional y de base 10
El número 1 660 escrito en números romanos
es MDCL
V F
El conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…} es el
conjunto de los números enteros
V F
Un número que solo es divisible por sí mismo y
por 1 se dice que es un número primo
V F
Los números 8, 12 y 16 son divisores de 4
V F
4 + 5 + 6 + 10 + 22 =
1 234 + 3 456 =
46
47
50
34
4 201
4 570
4 690
690
5
7
4
8
154
232
221
222
4-3+8-5+1=
456 - 234 =
7. El M.C.D.(78,108) y el m.c.m.(78,108) son respectivamente:
2. Escribe en tu cuaderno la respuesta adecuada para las siguientes afirmaciones (V → verdadero, F → falso):
Todo número que termina en 5 es múltiplo de 5:
a) V
b) F
CCLXIV = 274:
a) V
6. Realiza las siguientes operaciones con números naturales y escribe la respuesta correcta en tu cuaderno:
a) 6 y 1 206.
b) 6 y 1 404.
8. Un delfín sale a respirar a la superficie cada 6 minutos, y
una foca, cada 14. Si acaban de salir a respirar juntos,
¿cuándo volverán otra vez a respirar los dos juntos?
a) Al cabo de 25 minutos.
b) Al cabo de 42 minutos.
c) Al cabo de 28 minutos.
9. Observa las temperaturas indicadas en el dibujo del frigorífico y responde a las siguientes preguntas:
b) F
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando
ese número por los números naturales:
a) V
b) F
Congelador
–18 °C
3. Realiza las siguientes operaciones y escribe en tu cuaderno la respuesta correcta en cada caso:
5 - (-3 + 2) + 2 ⋅ 3 =
10
12
13
14
-2 ⋅ 5 + 8 =
-26
-3
-2
6
64 : 8 - 4 =
5
16
4
8
10 - 4 + 5 - (5 ⋅ 4 -16) =
6
11
10
7
Exterior
22 °C
Nevera
5 °C
La diferencia de temperatura entre el interior y el exterior del congelador es:
a) 35 °C
4. En una tienda de ropa lograron 2 500 Ð de beneficio en el
primer mes, perdieron 1 437 Ð en el segundo mes y ganaron 1 300 Ð en el tercer mes. ¿Obtuvieron ganancias o
pérdidas durante el trimestre? ¿Qué cantidad perdieron
o ganaron al final del trimestre?
a) Tuvieron pérdidas y fueron de 2 636 Ð.
b) Tuvieron unas ganancias de 2 363 Ð.
c) Se quedaron igual, ni perdieron ni ganaron dinero.
5. Una parcela cuadrada de 400 m2 quiere vallarse. ¿Cuántos
metros de valla debemos comprar?
a) 60 m
b) 80 m
c) 20 m
c) 6 y 900.
d) 100 m
b) 40 °C
c) 30 °C
La diferencia de temperatura entre el interior y el exterior de la nevera es:
a) 20 °C
b) 16 °C
c) 17 °C
10. Utiliza las propiedades de las potencias para escribir la
respuesta correcta en tu cuaderno:
43 ⋅ 46 =
49
418
46
4
2 :2 =
2
2
2
2
28
(42) =
46
44
42
4
32 ⋅ 33 ⋅ 34 =
34
39
37
36
6
2
2
3
4
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