Las raíces racionales de un polinomio

IES Leonardo da Vinci.
Departamento de Matemáticas
Alba de Tormes, Salamanca
Las posibles raíces racionales de un polinomio P(x) de coeficientes enteros son
números racionales p/q, con p y q enteros y primos entre si que cumplen:
p es divisor del término independiente,
q es divisor del coeficiente de mayor grado.
Sea P(x) = a n x n + a n −1x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a1x + a 0 , con a n , a n −1 , a n −2 .....a1 , a 0 ∈ ] .
Vamos a probar que si p/q es una raíz de P(x) entonces p es divisor del término
independiente y q es divisor del coeficiente de mayor grado.
Si p/q es una raíz
⎛p⎞
⇒ P⎜ ⎟ = 0 ⇔
⎝q⎠
n
⎛p⎞
⎛p⎞
a n ⎜ ⎟ + a n −1 ⎜ ⎟
⎝q⎠
⎝q⎠
n −1
⎛p⎞
+ a n −2 ⎜ ⎟
⎝q⎠
n −2
(1)
⎛p⎞
+ .... + a1 ⎜ ⎟ + a 0 = 0 ⇔
⎝q⎠
(2)
a n p n + a n −1p n q + a n −2 p n −1q 2 + ... + a1pq n −1 + a 0q n = 0 ⇔
(
)
(3)
p ⋅ a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 + a 0 q n = 0 ⇔
a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 =
−a 0 q n
p
(4)
⇒
a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 ∈ ]
−a 0 q n
∈] ⇒
p
p es dividor de a 0 (no puede serlo de qn porque p y q son primos entre sí)
(5)
a n p n + a n −1p n q + a n −2 p n −1q 2 + ... + a1pq n −1 + a 0q n = 0 ⇔
(
)
(6)
a n p n + q ⋅ a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 = 0 ⇔
a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 =
−a n p n
q
(7)
⇒
a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 ∈ ]
−a n p n
∈ ] ⇒ q es un divisor de a n (no puede serlo de pn porque p y q son primos entre sí)
q
(1) Se multiplica toda la igualdad por qn,
(2) se extrae factor común p a todos los términos del recuadro,
(3) se despeja el paréntesis,
(4) ambas expresiones son números enteros,
(5) se extrae factor común q a todos los términos del recuadro,
(6) se despeja el paréntesis,
(7) ambas expresiones son números enteros,
Este teorema nos permite acotar los racionales que pueden ser raíces de un polinomio.
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IES Leonardo da Vinci.
Departamento de Matemáticas
Alba de Tormes, Salamanca
Ejemplo: Sea P(x)=6x4-5x3+2x2-3x+5; sus posibles raíces racionales son:
(numerador)
divisores de 5: +1,-1, +5 y -5.
(denominador)
divisores de 6: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6 y -6.
Posibles divisores de P(x):
+1
-1
+5
-5
+1
+1
-1
+5
-5
-1
+2
+1/2
+5/2
-2
-1/2
-5/2
+3
+1/3
+5/3
-3
-1/3
-5/3
+6
+6
+5/6
-6
-6
-5/6
Los huecos de la tabla son las fracciones repetidas.
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