Las raíces racionales de un polinomio

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IES Leonardo da Vinci.
Departamento de Matemáticas
Alba de Tormes, Salamanca
Las posibles raíces racionales de un polinomio P(x) de coeficientes enteros son
números racionales p/q, con p y q enteros y primos entre si que cumplen:
p es divisor del término independiente,
q es divisor del coeficiente de mayor grado.
Sea P(x) = a n x n + a n −1x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a1x + a 0 , con a n , a n −1 , a n −2 .....a1 , a 0 ∈ ] .
Vamos a probar que si p/q es una raíz de P(x) entonces p es divisor del término
independiente y q es divisor del coeficiente de mayor grado.
Si p/q es una raíz
⎛p⎞
⇒ P⎜ ⎟ = 0 ⇔
⎝q⎠
n
⎛p⎞
⎛p⎞
a n ⎜ ⎟ + a n −1 ⎜ ⎟
⎝q⎠
⎝q⎠
n −1
⎛p⎞
+ a n −2 ⎜ ⎟
⎝q⎠
n −2
(1)
⎛p⎞
+ .... + a1 ⎜ ⎟ + a 0 = 0 ⇔
⎝q⎠
(2)
a n p n + a n −1p n q + a n −2 p n −1q 2 + ... + a1pq n −1 + a 0q n = 0 ⇔
(
)
(3)
p ⋅ a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 + a 0 q n = 0 ⇔
a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 =
−a 0 q n
p
(4)
⇒
a n p n −1 + a n −1p n −2 q + a n − 2 p n −3q 2 + ... + a1q n −1 ∈ ]
−a 0 q n
∈] ⇒
p
p es dividor de a 0 (no puede serlo de qn porque p y q son primos entre sí)
(5)
a n p n + a n −1p n q + a n −2 p n −1q 2 + ... + a1pq n −1 + a 0q n = 0 ⇔
(
)
(6)
a n p n + q ⋅ a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 = 0 ⇔
a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 =
−a n p n
q
(7)
⇒
a n −1p n + a n −2 p n −1q + ... + a1pq n −2 + a 0q n −1 ∈ ]
−a n p n
∈ ] ⇒ q es un divisor de a n (no puede serlo de pn porque p y q son primos entre sí)
q
(1) Se multiplica toda la igualdad por qn,
(2) se extrae factor común p a todos los términos del recuadro,
(3) se despeja el paréntesis,
(4) ambas expresiones son números enteros,
(5) se extrae factor común q a todos los términos del recuadro,
(6) se despeja el paréntesis,
(7) ambas expresiones son números enteros,
Este teorema nos permite acotar los racionales que pueden ser raíces de un polinomio.
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IES Leonardo da Vinci.
Departamento de Matemáticas
Alba de Tormes, Salamanca
Ejemplo: Sea P(x)=6x4-5x3+2x2-3x+5; sus posibles raíces racionales son:
(numerador)
divisores de 5: +1,-1, +5 y -5.
(denominador)
divisores de 6: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6 y -6.
Posibles divisores de P(x):
+1
-1
+5
-5
+1
+1
-1
+5
-5
-1
+2
+1/2
+5/2
-2
-1/2
-5/2
+3
+1/3
+5/3
-3
-1/3
-5/3
+6
+6
+5/6
-6
-6
-5/6
Los huecos de la tabla son las fracciones repetidas.
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