Sucesiones módulo-periódicas y el teorema de Euler

Sucesiones módulo-periódicas y el teorema de Euler-Fermat
Sucesiones módulo-periódicas
La famosa sucesión de Fibonacci viene definida de la siguiente manera: a1=a2=1, y para todo n≥1,
an+2=an+1+an. Podemos ver fácilmente que los primeros términos de la sucesión son 1,1,2,3,5,8,13,21,...
Si miramos los restos de los números al dividir por 2, tenemos que son 1,1,0,1,1,0,1,1,..., repitiéndose
siempre el patrón 1,1,0. A una tal sucesión la llamamos módulo-periódica, pues los residuos de los
miembros de la sucesión, para un cierto módulo, son periódicos.
Veamos un ejemplo en el que esta periodicidad nos sirve para resolver fácilmente un problema:
considérese la sucesión definida como a1=3, y an+1=an+an2. Determínense las dos últimas cifras de a2010.
Este caso es en cierto modo más sencillo que el anterior, pues cada término de la sucesión depende sólo
del anterior. Los primeros términos de la sucesión son 3,12,156. A partir de aquí, dejamos de operar
“normalmente”, y pasamos a operar módulo 100, porque lo único que nos interesan son las dos últimas
cifras, es decir, el resto al dividir por 100. Se tiene entonces que 562+56=3192, y que 922+92=8556. A
partir de aquí, claramente los residuos módulo 100 se van alternando, 56,92,56,92,.... Como a4 da resto
92 al dividir por 100, también lo darán todos los términos de lugar par a partir de él; en particular a2010
dará resto 92 al dividir por 100, y hemos acabado.
Volviendo al caso de la sucesión de Fibonacci, vemos que, como cada término depende de los dos
anteriores, para garantizar que los residuos son periódicos, no basta con que aparezca dos veces el mismo
residuo, sino que tiene que aparecer dos veces la misma combinación de dos residuos consecutivos. Es
decir, tomando los residuos de an y an+1 para n=1,2,3,..., obtenemos (1,1), (1,0), (0,1), y (1,1). A partir de
aquí los residuos se irán sucediendo de forma periódica, con lo que podemos garantizar que an es par si y
sólo si n es múltiplo de 3.
Un caso particular: las potencias de un entero dado
Definimos la sucesión an=3n, es decir, 3,9,27,81,... ¿Cuál será el resto al dividir an entre 8? Vemos
claramente que los primeros restos son 3,1,3,1,..., y concluimos fácilmente que el resto es 3 si n es impar,
y 1 si n es par. Cualquier sucesión definida como an=bn es módulo periódica, consideremos el módulo m
que consideremos. Esto lo podemos ver fácilmente como sigue: el resto de an+1 al dividir entre m depende
sólo del valor de an (consideramos que b es fijo); entonces, en cuanto se repita un resto r, se repetirá
periódicamente la cadena de restos que se ha producido entre las dos repeticiones de r. Además, hay un
número máximo posible de restos módulo m, pues hay como mucho m de ellos. Luego como tarde en la
posición m+1 de la sucesión, se repetirá un resto que ya haya aparecido anteriormente.
La sucesión de restos puede ser perfectamente periódica mixta, es decir, puede haber, al principio de la
sucesión, una serie de términos que no se repitan. Así, tomando la sucesión an=3n, considerando los
restos módulo 18, tendremos 3,9,9,9,..., es decir, hay un resto 3 que no se repite, seguido de la repetición
periódica (con periodo 1) del resto 9. Considerando también el caso de an=2n módulo 18, obtenemos
2,4,16,4,16,4,..., también periódica mixta.
Los dos casos anteriores tienen una característica común: la base b y el módulo m no son primos entre sí.
¿Qué sucede si la base y el módulo son primos entre sí? Cuando un residuo aparezca dos veces en la
sucesión, tendremos bn≡bn+k(mod m) para algún entero positivo k. ¿Quiere esto decir que puedo “dividir”
entre el residuo bn y obtener que bk≡1(mod m)? Ciertamente. Sin embargo, si base y módulo comparten
algún factor común, esta manipulación no es posible; de hecho, en los dos casos anteriores, si
realizáramos este mismo razonamiento, se obtendría 31≡1(mod 18) y 22≡1(mod 12), claramente falso en
los dos casos. ¿Por qué en un caso podemos “dividir” y en el otro no? Bueno, hasta cierto punto es como
cuando tenemos una igualdad de la forma a×0=b×0. ¡De aquí no podemos deducir que a=b! Y aquí
entonces, ¿dónde está el 0? El cero es el residuo módulo 3 de 3n y de 18 en la primera sucesión, y el
residuo módulo 2 de 2n y de 12 en la segunda. Nótese entonces que habrá un “cero” multiplicando cada
vez que b y m compartan un factor común, con respecto al cuál ambos tendrán residuo 0. Para que sea
posible que bk≡1(mod m), es por lo tanto necesario que b y m sean primos entre sí, cosa por otra parte
lógica porque cualquier factor que divida a bk y a m, debe necesariamente dividir al resto de dividir bk
entre m, pues dicho resto no es más que una combinación lineal de bk y m.
El teorema “pequeño” de Fermat
Se llama teorema “pequeño” de Fermat al siguiente resultado: dado un primo p, y un entero b que es
primo con p, entonces bp−1≡1(mod p). El adjetivo “pequeño” se usa para distinguir este teorema del
teorema “grande”, o teorema “último”, de Fermat, demostrado sólo recientemente, que dice que xn+yn=zn,
para n≥3, no tiene más soluciones en números enteros que x=y=z=0.
Volviendo al teorema “pequeño” de Fermat, este resultado se puede demostrar como sigue: consideramos
los números b, 2b, 3b,..., (p−1)b; todos ellos son primos con p (es decir, el máximo común divisor de cada
uno de ellos y p es 1). Además, no puede haber dos iguales módulo p, pues la diferencia de dos
cualesquiera de ellos es de la forma kb, donde 0<k<p es primo con p, y b también, luego kb no puede ser
un múltiplo de p. Se tiene entonces que los restos de b, 2b, 3b,..., (p−1)b al dividir por p han de ser
necesariamente, en algún orden, los números 1,2,3,...,p−1. Se tiene entonces que
b p −1 ( p − 1)! ≡ ( p − 1)!(mod p ) .
Ahora bien, como tanto bp−1 como (p−1)! son primos con p, podemos “dividir” ambos miembros de la
congruencia por (p−1)!, y hemos terminado.
Como comentarios finales al teorema pequeño de Fermat, insistir en primer lugar que el resultado sólo es
cierto cuando b y p son primos relativos (es decir, al ser p primo, el resultado sólo es cierto cuando b no
es múltiplo de p). Además, la sucesión módulo-periódica bn tiene entonces periodo p−1; surge sin
embargo la siguiente duda: ¿es éste el periodo mínimo? Es decir, sabemos que cada p-1 elementos de la
sucesión, se repiten los restos módulo p, pero ¿se repiten también cada menos elementos? Por ejemplo, si
b=1, el periodo es 1, porque la sucesión de restos módulo p es 1,1,1,1,... Es interesante sin embargo el
siguiente hecho: el periodo mínimo k con el que se repiten los restos módulo p en la sucesión bn (con b
primo con p) es un divisor de p−1. Esto se demostraría así: dividimos p−1 entre k, obteniendo cociente c
y resto r, siendo claramente r un número mayor o igual que 0, y menor que k, es decir, p−1=ck+r.
Claramente,
( )
pero
b p −1 ≡ 1(mod p ) .
Luego al ser b y 1 primos con p, podemos dividir en las ecuaciones en congruencias, resultando en
br≡1(mod p). Ahora bien, hay dos opciones: si r es mayor que 0, ya tenemos un entero positivo r menor
que k que cumple br≡1(mod p), absurdo pues k es el mínimo entero positivo con esta propiedad. Entonces
se ha de dar la otra opción, es decir, r=0, y por lo tanto r es un divisor de p−1, como queríamos demostrar.
Nótese que podemos tener sucesiones periódicas módulo p de la forma bn (con b primo con p), en las que
el periodo sea p−1 (por ejemplo la sucesión 3n con módulo 7, en la que los restos son 3,2,6,4,5,1,3,2,...,
con periodo 6), y otras en las que el periodo sea menor (por ejemplo la sucesión 6n con módulo 7, en la
que los restos son 6,1,6,1,... con periodo 2), pero en cualquier caso, el periodo será un divisor entero de
p−1.
b p −1 = bck + r = b k b r ≡ b r (mod p ) ,
c
Generalización: el teorema de Euler-Fermat
Supongamos ahora que en lugar de considerar un número primo p como módulo, tomamos un entero m
cualquiera que no sea primo. En primer lugar, debemos darnos cuenta de que, para que pueda darse
bk≡1(mod m) para algún exponente entero positivo k, ha de ser b primo con m. Consideremos entonces
todos los enteros, menores que m, que son primos con m; al número de enteros con esta propiedad se
denota como ϕ(m), llamándose “función phi de Euler” a la aplicación que asocia a cada valor de m el
número ϕ(m) de enteros positivos primos con m y menores que m. Claramente, si p es primo, todos los
enteros positivos menores que m son primos con m, por lo tanto ϕ(p)=p−1. Si m es compuesto, por
ejemplo m=12, necesitamos tomar, de entre los números del 1 al 11 inclusive en este caso, aquellos que
sean primos con 12, es decir, aquellos que no sean divisibles ni por 2 ni por 3. Concluimos que son 4,
que serían en concreto los números 1,5,7,11, es decir, ϕ(12)=4.
Ahora bien, supongamos que el conjunto F={f1,f2,...} contiene exactamente esos ϕ(m) números que son
todos los enteros positivos menores que m que son primos con m. Un argumento idéntico al de la
demostración del teorema pequeño de Euler nos garantiza que los restos módulo m de bf1,bf2,..., cuando b
es primo con m, son todos distintos y primos con m, es decir, los restos de bf1,bf2,... son, en algún orden,
f1,f2,.... Por lo tanto,
bϕ (m ) f1 f 2 f3 ... ≡ f1 f 2 f3 ...(mod m ) ,
bϕ (m ) ≡ 1(mod m ) ,
donde hemos podido dividir ya que tanto f1,f2,... como b son primos con m. La generalización de Euler al
teorema pequeño de Fermat, también llamado teorema de Euler-Fermat, dice entonces que, si b es primo
con m, y ϕ(m) es la función de Euler, es decir, el número de enteros positivos menores que m y primos
con m, entonces se cumple necesariamente bϕ(m)≡1(mod m).
Igual que en el caso del teorema pequeño de Fermat, el periodo ϕ(m) no tiene por qué ser el mínimo
periodo. Por ejemplo, ϕ(8)=4, pero si b es primo con 8, entonces b es impar, y resulta que el cuadrado de
todo número impar da resto 1 al dividir por 8. Luego toda sucesión de la forma bn, con b impar y por lo
tanto primo con 8, será en módulo 8 de la forma b,1,b,1,b,1,... repitiéndose con periodo 2. Sin embargo,
ϕ(9)=6, y la sucesión 2n en módulo 9 es 2,4,8,7,5,1,2,4,..., que sí tiene periodo 6.
El teorema de Wilson
La ecuación en congruencias ax≡b(mod m) tiene solución x siempre que a y m sean primos entre sí; esta
propiedad ha sido utilizada para demostrar el teorema pequeño de Fermat, y se puede utilizar para
demostrar el teorema de Wilson: para cualquier p primo, se cumple
( p − 1)!≡ −1(mod p ) .
La demostración es como sigue: para cada resto r que puede aparecer al dividir por p, salvo el 0 (es decir,
para r igual a 1,2,3,...,p−1), resolvemos la ecuación en congruencias rx≡1(mod p). Si s es solución de esta
ecuación, entonces r es solución de la ecuación sx≡1(mod p). Además, cada solución es única, pues caso
de haber dos soluciones s y t de la ecuación rx≡1(mod p), se tendría que r(s−t)≡0(mod p), y como r es
primo con p, entonces p divide a s−t, es decir, s y t son el mismo resto al dividir por p. Podemos entonces
agrupar los restos en parejas (r,s), de forma que para cada pareja, rs≡1(mod p). ¿Es posible que sea en
alguna pareja r=s? Bueno, aunque no lo demostraremos aquí, los únicos restos para los que esto sucede
son r=1 y r=p−1. Se tiene entonces que podemos agrupar todos los restos módulo p en (p+1)/2 grupos:
uno formado por 1, otro formado por p−1, y el resto emparejados de forma que el producto de los restos
de cada pareja da resto 1 al dividir por p, es decir, el producto de los elementos de cada grupo da resto 1
al dividir por p, salvo de un grupo (el formado por p−1), que da resto −1. Al multiplicarlos todos,
obtenemos el teorema de Wilson. Realmente, el teorema de Wilson también dice (aunque no se
demostrará aquí), que si un entero n cumple que (n−1)!≡−1(mod n), entonces n es primo.
Ejercicios propuestos
¿Qué términos de la sucesión de Fibonacci son múltiplos de 3? ¿Y de 5? ¿Y de 7?
Demuestra que 22225555+55552222 es múltiplo de 7.
Demuestra las siguientes propiedades acerca de la función ϕ de Euler:
1) La función ϕ de Euler es multiplicativa, es decir, dados dos enteros m y n primos entre sí,
entonces ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n).
2) Cuando m es una potencia de primo, es decir, m=pa para algún entero a>1 y p primo, entonces
ϕ(pa)=(p−1)pa−1.
3) Si factorizamos m y obtenemos
m = p1 1 p2 2 p3 3 ... ,
a
a
a
siendo p1,p2,... primos distintos y a1,a2,... sus respectivos exponentes en la factorización de m,
entonces
ϕ (m ) = ( p1 − 1) p1a −1 ( p2 − 1) p2 a
1
2
−1
( p3 − 1) p3a −1... = m p1 − 1 p2 − 1 p3 − 1 ...
3
p1
p2
p3
Un entero n>1 es divisor de 2n+1. Demuestra que n es una potencia de 3. Pista: empieza comprobando
que n no puede ser par, y asume que existe un primo p, mayor que 3, que es divisor de n, por lo tanto debe
cumplirse 2n≡−1(mod p). Considera ahora el menor entero positivo k tal que 2k≡1(mod p). Busca
relaciones entre k, n y p, y acaba llegando a la conclusión de que p sólo puede ser 3.
Sea q un número primo mayor que 3. Demostrar que existen enteros positivos a1,a2,...,an, tales que
alguno de ellos es mayor o igual que 3, y además
22009 ≡ a1! a2!...an!(mod q ) .
Pista: considera qué resto puede tener el producto r!(q−r)! para los diferentes valores de r desde 1 hasta
q−1.