Ejercicios para la Práctica 7 Anillos, Dominios de Integridad y

Los hombres envidiosos que tienen muy no
el olfato, no quieren conocer de cerca a sus rivales para poder
creerse superiores a ellos.
Aurora, Federico Nietzsche.
Querer engañarse.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
Ejercicios para la Práctica 7Anillos, Dominios de Integridad y Campos
NOMBRE
1.
CARNET
ilustrativo Construya un campo con cuatro elementos. Sug.: Recuerde que debe debe denir una adición y
una multiplicación. Llame a los elementos 0, 1, a, (1+a o b). También recuerde que sólo tiene dos maneras de hacer la
tabla de la suma.
no
2. Demuestre el Teorema 7.14: En el anillo
positivos menores que
3.
NOTA
repaso
n
que
⟨Zn , +, ·⟩ los
n.
divisores de cero distintos de cero son los enteros
son coprimos con
Mostrar que el conjunto
UA
de las unidades de un anillo con unidad
⟨A, +, ·⟩ forman un grupo
con la operación de multiplicación.
4.
medio e interesante Mostrar algunos ejemplos que pongan en evidencia el Pequeño Teorema de Fermat
o el Teorema de Euler.
a)
b)
c)
5.
6.
Muestre que
2100 − 1
Hallar el último guarismo (dígito) de
101.
396
Probar el Teorema de Euler: Si
φ(n)
por n, esto es a
− 1 ≡ 1(mod n).
interesante
n>0
si y sólo si
7. Dado el anillo
⟨Z, +, ·⟩
el cuerpo de cocientes
a
y de
538 ≡ 4(mod 11).
730 .
a es un entero primo con n, entonces aφ(n) −1 es divisible
Demuestre que en un anillo con identidad 1 distinta de cero
no tan obvio
rística
8.
es divisible por
Use aritmética modular y el PTF para probar que
n
n · 1 = 0.
es el menor entero positivo tal que
y su sub-anillo
Z/3Z
⟨3Z, +, ·⟩,
mostrar que
3Z
⟨A, +, ·⟩, A
tiene caracte-
es un sub-anillo ideal de
Z,
construir
y mostrar las tablas de sus operaciones. ½Esta es otra forma de construir
Z3 !
Divisivilidad por
a)
b)
c)
d)
7.
Use aritmética modular para deducir varios criterios de divisibilidad por
Use que 10 es congruente con
Halle una variante usando que
3 módulo 7,
10 ≡7 −4.
se anota:
10 ≡7 3,
para hallar un primer criterio.
Separe separe las dos cifras menos signicativas y use el hecho el resto de dividir
7|m
Use que
ssi
7|2n
7.
100
entre
7.
para hallar un criterio más fácil de aplicar que el primero.
Ejercicios Complementarios
1.
aclarativo
Dado un entero positivo
2.
medio
3.
Cuerpo con cuatro elementos
n > 1, muestre que ⟨Zn , +, ·⟩ es un dominio si y sólo si n es primo.
Mostrar que para todo entero
a, a5
y
a
terminan en igual cifra.
(
Mostrar que las matrices de la forma
a b
−b a
)
con
a, b ∈ Z2
forman
un cuerpo de cuatro elementos, y que el grupo multiplicativo de dicho campo es cíclico y tiene tres
Sug.: Identique el neutro aditivo y multiplicativo y denótelos por 0 y 1 respectivamente y
nombre los otros dos elementos a y 1 + a para contruir las tablas de las operaciones.
elementos. ¾Es primo?
4.
interesante y no trivial
Probar que si
5.
fácil
p
es un primo mayor que
Considere el anillo
⟨Z6 , +, ·⟩
interesante
a(mod pq).
Mostrar que si
p, q
entonces
y el sub-anillo
sub-anillo ideal y conjunto de cocientes
6.
2,
p
divide a
1p + 2p + 3p + · · · + (p − 1)p .
H = {0, 2, 4},
generado por
2.
Muestre que es un
Z6 /H .
son primos distintos,
ap ≡ a(mod q)
y
aq ≡ a(mod p),
entonces
apq ≡