teoría de n´umeros ii

TEORÍA DE NÚMEROS II
Cristian Arturo Chaparro Acosta
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Proyecto curricular de Matemáticas
Bogotá D.C.
4 de abril de 2014
1.
1.1.
Demuestre, refute o solucione:
Congruencias y aplicaciones
1. Hallar la solución general de las ecuaciones Diofánticas
10x+14y=8.
20y-15x=100.
2. Una señora compro 100 frutas por $5000. Las ciruelas le costaron $25,
las manzanas $150 y las pitahayas $500. ¿Cuantas frutas de cada clase
compro?.
3. Demostrar que 6|n, si y solo si, 2|n y 3|n.
4. Expresando los enteros positivos en el sistema de numeración con base
100, deducir un criterio de divisibilidad por 101.
5. En Z7 resolver las ecuaciones 3x + 4 = 1 y x2 + 2x + 6 = 0.
6. Si a ≡ 0(mód m) y b 6≡ 0(mód m), entonces ab 6≡ 0(mód m).
7. Si a2 ≡ 1(mód p) con p primo, entonces a ≡ ±1(mód p).
8. Si ac ≡ bc(mód p) y p no divide a c donde p es un número primo, entonces
a ≡ b(mód p).
9. (a + b)p ≡ ap + bp (mód p) con p primo.
10. Sea f (x) un polinomio con coeficientes enteros y a ≡ b(mód m). Entonces
f (a) ≡ f (b)(mód m).
11. Si f (x) es un polinomio con coeficientes enteros y f (a) ≡ k(mód n), entonces f (a + tn) ≡ k(mód n) para cada t entero.
1
12. Cada primo > 3 es congruente con ±1 módulo 6.
13. 2p
p ≡ 2(mód p), donde p > 2 y número primo.
14. Si a ≡ b(mód p) y a ≡ b(mód q) donde p y q son números primos. Entonces
a ≡ b(mód pq).
15. Si pn denota el n−esimo primo. Entonces p1 p2 . . . pn +1 no es un cuadrado.
16. Sea p2 6≡ p(mód p). Entonces p2n−1 + p2n−3 + . . . + p + n ≡ 0(mód 3)
17. Encuentre los últimos tres dı́gitos del numero 42076 .
18. Encuentre el último dı́gito de la suma 1! + 2! + . . . + 100!.
19. Si 2n+1 es un primo entonces los números 12 , 22 , 32 , . . . , n2 , tienen residuos
diferentes al dividirlos por 2n + 1.
20. Construir las tablas de adición y multiplicación, módulo 1, módulo 2,
módulo 5, módulo 7 y módulo 17. Realizar un diseño de colchas para el
modulo 21 con la tabla de multiplicación.
Un conjunto C se llama un sistema completo de residuos módulo n, si C
contiene exactamente un elemento de cada clase residual módulo n.
21. Construir un sistema completo de residuos módulo 7 formado por números
primos.
22. Un conjunto C de enteros es un sistema completo de residuos módulo n
si y solo si dos elementos cualesquiera de C no son congruentes módulo n
y C tiene n elementos.
23. Si C es un sistema completo de residuos módulo n y (a, n) = 1 entonces,
para cada b el conjunto C 0 = {ax + b; x ∈ C} también es un sistema
completo de residuos módulo n.
24. Pruebe que rd(n) (e.d. raı́z digital de n) es múltiplo de tres si y solo si, n
es divisible por tres (No use congruencias).
25. Demuestre que la raı́z digital de un número perfecto par diferente de 6 es
1.
1.2.
Sistemas de congruencias, teoremas clásicos, funciones multiplicativas
1. Encuentre el menor entero positivo mayor a 10000 tal que 3|n, 4|n + 3,
5|n + 4, 7|n + 5, y 11|n + 7.
2. Encuentre el entero más pequeño n tal que 32 |n, 42 |n + 1, 52 |n + 2 y
72 |n + 3.
2
3. (p − 1)(p − 2) . . . (p − k) ≡ (−1)k k! (mód p), donde 1 ≤ k < p
4. Un entero positivo n > 1 es primo si y solo si, (n − 2)! ≡ 1 (mód n).
5. np
p ≡ n (mód p)
6. Por inducción pruebe que ap ≡ a (mód p).
7. (a + b)p ≡ ap + bp (mód p).
8. si a y b son primos relativos, entonces aϕ(b) + bϕ(a) ≡ 1 (mód ab).
9. Demuestre por medio de ϕ la generalización del Teorema Chino de los
Residuos.
10. Resolver los sistemas de congruencias
x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 5(mod 7)
x ≡ 5(mod 8).
x ≡ 3(mod 5)
x ≡ 6(mod 7)
x ≡ 4(mod 9)
x ≡ 8(mod 11).
x ≡ 2(mod 7)
x ≡ 6(mod 9)
x ≡ 9(mod 14).
4x + 5y ≡ 7(mod 17)
7x + 12y ≡ 4(mod 17)
x + 2y + 16z ≡ 4(mod 19)
x + 3y + z ≡ 11(mod 19)
2x + 5y + 15z ≡ 9(mod 19).
11. Hallar el menor entero positivo que deja residuos 2, 7 y 10 cuando se divide
por 3, 10 y 13.
3
12. Hay una pila de ladrillos. Si se divide en dos partes sobra un ladrillo, si se
divide en tres partes sobran 2 ladrillos, cuando se divide en cuatro partes
sobran 3 ladrillos, si se divide en doce partes sobran 11 ladrillos, pero
cuando se divide en trece partes no sobran ladrillos. ¿Cuál es el menor
número de ladrillos que puede haber en la pila?.
13. Probar que para todo entero positivo n, existen n enteros consecutivos a1 ,
a2 ,. . ., an tales que pi |ai donde pi representa el i−ésimo primo.
14. Demostrar que para cada entero positivo n, se pueden encontrar n enteros
consecutivos divisibles por cuadrados perfectos.
15. Sea p un número primo y a, b enteros no negativos tales que a + b = p − 1.
Demuestre que a!b! ≡ (−1)b+1 (mod p)
16. Encuentre el n tal que ϕ(n) = 12.
17. ϕ(2k ) = 2k−1 .
18. Si (m, n) = d entonces ϕ(mn) =
d
ϕ(d) ϕ(m)ϕ(n).
19. ϕ(nk ) = nk−1 ϕ(n)
20. Si n es el producto de k diferentes números primos, calcule τ (n).
21. σ(pk ) − pk =
pk −1
p−1
22. Si n = 2p−1 (2p − 1) donde p y 2p − 1 son primos, calcule τ (n) y σ(n).
23. Si n es impar, entonces τ (n) es impar.
24. Si m|n entonces
σ(m)
m
≤
σ(n)
n .
25. Muestre que 210 (211 − 1) no es perfecto.
26. El producto de dos numeros perfectos pares no es perfecto.
27. Si (a, p) = 1 entonces aϕ(p
k
)
≡ 1(mód pk ).
28. Hallar el número de divisores positivos de 4320 y calcular su suma.
29. Resolver la ecuación σ(x) = 36. Sugerencia: Descomponer 36 en factores
que se puedan expresar en la forma 1 + p + p2 + . . . + pk con p primo y
usar una formula conveniente.
30. Probar que todo número perfecto par se puede escribir en la forma 1 +
2 + 3 + . . . + n para algún entero positivo n.
31. Sean a y n enteros positivos mayores que 1. Probar que si an − 1 es primo
entonces a = 2 y n es primo.
4
32. Si f es una función multiplicativa diferente de la función 0, entonces f (1) =
1.
n
n
33. Si f es multiplicativa, m|n, y (m, m
) = 1. Probar que f ( m
)=
f (n)
f (n) .
34. Probar que para todo entero a, a561 ≡ a(mód 561).
35. Si p y q son primos diferentes, probar que pq + q p ≡ (p + q)(mód pq).
36. Si p es un primo impar y p no divide a a, probar que a
5
p−1
2
≡ ±1(mód p).