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7. Un péndulo simple de longitud L se libera del reposo desde un ángulo φ 0 : a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar su velocidad cuando atraviesa la posición φ = 0 : φ =φ 0⋅ cos w ⋅ t Ahora derivamos y obtenemos ds dφ ds = l ⋅ dφ → v(t ) = = L⋅ = l ⋅ (− w ⋅φ 0sen ⋅ w ⋅ t ) dt dt v max = L ⋅ w ⋅φ 0 (Porque el sen de wt como mucho vale uno) w= g g ; v max = L ⋅φ 0⋅ = gL ⋅φ 0 L L b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta velocidad. Aplicamos el TCE Ec a + Ep a = Ec b + Ep b 1 2 m ⋅v f 2 m⋅ g ⋅h = 1 2 ⋅v f 2 v f = 2 ⋅ ( g ⋅ L ⋅ (1 − cosφ 0) g ⋅ L ⋅ (1 − cosφ 0) = c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando φ 0 es pequeño: Cuando φ es muy pequeño Sen φ = φ Cos φ = 1 − φ2 2 V = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ (1 − (1 − φ 02 2 ) 2 v = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ (1 − ( v = 2 gL 2 −φ 0 ) 2 φ02 2 v = g ⋅ L⋅ φ0 d) Determinar la diferencia de los resultados para φ 0 =0.20 rad y L=1 φ 0 = 0 .20 rad L =1m V max = g ⋅ L ⋅φ 0 v max = 0.9 ⋅ 1 ⋅ 0 .20 v max = 0.6264 m / s Y con la velocidad del apartado b) obtenemos el resultado con una diferencia de 1mm/s.
