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7. Un péndulo simple de longitud L se libera del reposo desde un ángulo φ 0 :
a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar
su velocidad cuando atraviesa la posición φ = 0 :
φ =φ 0⋅ cos w ⋅ t
Ahora derivamos y obtenemos
ds
dφ
ds = l ⋅ dφ → v(t ) =
= L⋅
= l ⋅ (− w ⋅φ 0sen ⋅ w ⋅ t )
dt
dt
v max = L ⋅ w ⋅φ 0 (Porque el sen de wt como mucho vale uno)
w=
g
g
; v max = L ⋅φ 0⋅
= gL ⋅φ 0
L
L
b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta
velocidad.
Aplicamos el TCE
Ec a + Ep a = Ec b + Ep b
1
2
m ⋅v f
2
m⋅ g ⋅h =
1 2
⋅v f
2
v f = 2 ⋅ ( g ⋅ L ⋅ (1 − cosφ 0)
g ⋅ L ⋅ (1 − cosφ 0) =
c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando φ 0 es pequeño:
Cuando φ es muy pequeño
Sen φ = φ
Cos φ = 1 −
φ2
2
V = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ (1 − (1 −
φ 02
2
)
2
v = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ (1 − (
v = 2 gL
2 −φ 0
)
2
φ02
2
v = g ⋅ L⋅ φ0
d) Determinar la diferencia de los resultados para φ 0 =0.20 rad y L=1
φ 0 = 0 .20 rad
L =1m
V max =
g ⋅ L ⋅φ 0
v max = 0.9 ⋅ 1 ⋅ 0 .20
v max = 0.6264 m / s
Y con la velocidad del apartado b) obtenemos el resultado con una diferencia de
1mm/s.