PROBLEMA 230

PROBLEMA 230 (propuesto por Marcel Chirita, Bucarest, Rumanı́a)
Demostrar que se verifica la siguiente desigualdad triangular:
a a
b
c
b
c
max
1+
1+
, 1+
1+
≥ 4.
1+
, 1+
b
c
c
a
a
b
Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,
Pamplona, España
Demostramos el siguiente resultado,más general: Sea (u, v, w, x, y, z) una permutación cualquiera de ab , cb , ac , ac , ab , cb . Entonces,
max {(1 + u)(1 + x), (1 + v)(1 + y), (1 + w)(1 + z)} ≥ 4,
con igualdad si y sólo si a = b = c.
Claramente uvwxyz = 1, mientras que el resultado a demostrar es equivalente a
que
max {u + x + ux, v + y + vy, w + z + wz} ≥ 3.
√
3
Por la desigualdad entre medias aritmética y geométrica, u + x + ux ≥ 3 u2 x2 ,
con igualdad si y sólo si u = x = ux, es decir si y sólo si u = x = 1 por ser u, x
reales positivos. Nos basta entonces con demostrar que
max{ux, vy, wz} ≥ 1,
claramente cierta porque ux, vy, wz son tres reales positivos con producto igual a 1.
Nótese que se da la igualdad en esta última relación si y sólo si ux = vy = wz = 1,
y en estas condiciones, se da la igualdad en la anterior si y sólo si, simultáneamente,
u = x = 1, v = y = 1, y w = z = 1. Es decir, se da la igualdad en la desigualdad
alternativa a la propuesta, si y sólo si a = b = c, como querı́amos demostrar.
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