Número 82

Problema 82
Propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España.
Sea n un entero positivo. Probar que
1+
n
∑ ( 2 ( n − k ) + 1) F
2
k
k =1
≤ Fn + 2 ,
siendo Fn es el n-ésimo número de Fibonacci, definido por F1=F2=1, Fn=Fn−1+Fn−2.
Solución de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, Navarra, España.
Se utilizarán para demostrar la desigualdad varios resultados intermedios, que a
continuación se enuncian y demuestran.
Para todo n≥1, Fn +1 = Fn + 2 Fn + ( −1) .
n
2
Se demuestra por inducción. El resultado es obviamente cierto para n=1, pues F3=2,
F2=F1=1, siendo entonces ambos miembros iguales a 1. Si el resultado es cierto para
n=m, entonces se tiene
Fm + 2 = ( Fm +3 − Fm +1 )( Fm +1 + Fm ) = Fm +3 Fm +1 − Fm +1 + Fm +3 Fm − Fm +1 Fm
2
2
= Fm +3 Fm +1 − ( −1) − ( Fm + 2 − Fm +3 + Fm +1 ) Fm = Fm +3 Fm +1 + ( −1)
m
m +1
,
con lo que el resultado es cierto para m+1 y queda finalizada la demostración.
n
Para todo n≥1,
∑F
k =1
Se demuestra por inducción.
k
2
= Fn Fn +1 .
Este resultado es obviamente cierto para n=1, pues
F2=F1=1, siendo ambos miembros iguales a 1. Si este resultado es cierto para n=m,
entonces en virtud del resultado anterior,
m +1
∑F
k =1
k
2
m
= Fm +1 + ∑ Fk = Fm + 2 Fm − ( −1)
2
2
m +1
k =1
= Fm + 2 − Fm +1 − ( −1)
2
2
m +1
+ Fm Fm +1 = ( Fm + 2 + Fm +1 )( Fm +2 − Fm +1 ) − ( −1)
m +1
= Fm + 2 − Fm + 2 Fm = Fm + 2 Fm +1 ,
2
con lo que el resultado es también cierto para m+1, y queda finalizada la demostración.
n
Para todo n≥1,
∑F F
k =1
k
k +1
1 + ( −1)
−
.
2
n
= Fn +1
2
El resultado se cumple para n=1, pues entonces los dos miembros son iguales a 1. Si
este resultado es cierto para n=m, entonces, en virtud de los resultados anteriores,
m +1
∑F F
k =1
k
k +1
m
= Fm + 2 Fm +1 + ∑ Fk Fk +1 = Fm + 2 Fm +1 + Fm +1
k =1
= Fm + 2 − ( −1)
2
m +1
1 − ( −1)
−
2
m +1
= Fm + 2
2
1 + ( −1)
1 + ( −1)
−
= Fm +3 Fm +1 −
2
2
m
2
1 + ( −1)
−
2
m
m +1
,
siendo por lo tanto cierto para n=m+1, lo cual concluye la demostración.
Utilizando los resultados anteriores, el sumatorio del enunciado se puede escribir como
n
j
n
n
n
∑ ( 2 ( n − k ) + 1) Fk = 2∑∑ Fk − ∑ Fk = 2∑ Fj Fj +1 − Fn Fn+1
k =1
2
2
j =1 k =1
k =1
2
j =1
= 2 Fn + 2 Fn + ( −1) − 1 − Fn Fn +1 = Fn + 2 Fn + Fn + ( −1) − 1
n
n
2
= Fn + 2 − Fn + 2 Fn +1 + Fn +1 Fn −1 − 1 = Fn + 2 − Fn +1 ( Fn +1 + Fn − Fn −1 ) − 1
2
2
= Fn + 2 − 2 Fn +1 Fn − 1 = ( Fn + 2 − 1) − 2 ( Fn +1 Fn − Fn + 2 + 1)
2
2
= ( Fn + 2 − 1) − 2 ( Fn +1 − 1)( Fn − 1) ≤ ( Fn + 2 − 1) ,
2
2
dándose la igualdad si y sólo si Fn+1=1 o Fn=1, es decir, si y sólo si n=1 o 2. A partir de
esta desigualdad se demuestra trivialmente la del enunciado, tomando la raíz cuadrada
del primer y último miembro, y sumando 1 a ambos lados de la desigualdad resultante.
Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/
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