Índice 1. Denición de Valor Absoluto: 1 2. Propiedades del Valor Absoluto 1 3. Demostración de las propiedades del Valor Absoluto 2 4. Ejercicios 7 5. Otras propiedades 15 1. Denición de Valor Absoluto: x ∧ x≥0 ∨ |x| = −x ∧ x < 0 2. Propiedades del Valor Absoluto (1) ∀x ∈ R : |x| ≥ 0 (2) (3) ∀x ∈ R : |x|2 = x2 √ ∀x ∈ R : |x| = x2 (4) ∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| (5) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a.b| = |a|.|b| (6) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, b 6= 0 : (7) ∀x ∈ R : |x| = | − x| (8) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N : |xn | = |x|n (9) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R : |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k (10) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ −k (11) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b| (12) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≥ |a| − |b| (13) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≤ |a| + |b| (14) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a| − |b| ≤ |a − b| a |a| = b |b| 1 3. Demostración de las propiedades del Valor Absoluto (1) ∀x ∈ R : |x| ≥ 0 Demostración x = 0 ∧ |x| = x ⇒ |x| = 0 ∨ x > 0 ∧ |x| = x ⇒ |x| > 0 |x| = ∨ x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x > 0 ∧ |x| = −x ⇒ |x| > 0 (2) ∀x ∈ R : |x|2 = x2 Demostración x = 0 ∧ |x| = x ⇒ |x|2 = x2 ∨ x > 0 ∧ |x| = x ⇒ |x|2 = |x|.|x| = x.x = x2 ∨ x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ |x|2 = |x|.|x| = (−x).(−x) = x2 (3) ∀x ∈ R : |x| = √ x2 Demostración |x|2 = x2 ⇒ | {z } √ x2 = p |x|2 = |x| Propiedad 2 En el último paso consideramos que la raíz cuadrada de un número nos devuelve siempre un número positivo, por lo cuál la cancelación del cuadrado con la raíz es válida. (4) ∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| 2 Demostración x = 0 ∧ |x| = x = 0 ∧ −|x| = 0 ⇒ −|x| = x = |x| ∨ x > 0 ∧ |x| = x ⇒ −|x| = −x ≤ x ≤ x = |x| ⇒ −|x| ≤ x ≤ |x| ∨ x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x > 0 ∧ |x| = −x ∧ −|x| = x ∧ −x > x ⇒ −|x| = x ≤ x < −x = |x| ⇒ −|x| ≤ x ≤ |x| (5) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a.b| = |a|.|b| Demostración a > 0 ∧ b > 0 ∧ |a| = a ∧ |b| = b ⇒ a.b > 0 ∧ |a.b| = a.b ∧ a.b = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b| ∨ a = 0 ∧ |a| = 0 ⇒ |a|.|b| = |0|.|b| = 0.|b| = 0 = 0.b = |0.b| = |a.b| ∀b ∈ R ⇒ |a|.|b| = |a.b| ∀b ∈ R Análogo para b = 0 ∀a ∈ R ∨ a > 0 ∧ b < 0 ∧ |a| = a ∧ |b| = −b ⇒ a.b < 0 ∧ |a.b| = −a.b ∧ |a|.|b| = a.(−b) ⇒ |a.b| = −a.b = a.(−b) = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b| Análogo para a < 0 ∧ b > 0 ∨ a < 0 ∧ b < 0 ∧ |a| = −a ∧ |b| = −b ⇒ a.b > 0 ∧ |a.b| = a.b ∧ |a|.|b| = (−a).(−b) ⇒ |a.b| = a.b = (−a).(−b) = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b| =⇒ |a.b| = |a|.|b| (6) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, b 6= 0 : |a| a = b |b| Demostración z= a a ∧ b 6= 0 ∧ b 6= 0 ⇒ a = b.z ∧ |a| = |b.z| ∧ |z| = b b |a| = |b.z| = |b|.|z| = |b|. a ∧b 6= 0 b ⇒ |{z} por transitividad 3 |a| = |b|. a |a| a ∧b 6= 0 ⇒ = b |b| b (7) ∀x ∈ R : |x| = | − x| Demostración | − x| = |(−1).x| = | − 1|.|x| = 1.|x| = |x| ⇒ |a| = | − a| (8) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N : |xn | = |x|n Demostración Por principio de inducción completa: P (1) : |x1 | = |x| = |x|1 P (1) es Hipótesis inductiva Tesis inductiva verdadera : |xh | = |x|h : |xh+1 | = |x|h+1 Desarrollo: |xh+1 | = |xh .x1 | = |xh |.|x| |{z} = |x|h .|x| = |x|h+1 H.I. (9) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R : |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k Demostración k > 0 ∧ x > 0 ∧ |x| = x ∧ |x| ≤ k ⇒ x ≤ k ∨ k > 0 ∧ x = 0 ∧ |x| = x = 0 ∧ |x| ≤ k ⇒ 0 = |x| = x ≤ k ⇒) ∨ k > 0 ∧ x < 0 ∧ |x| = −x ∧ |x| ≤ k ⇒ −x ≤ k ⇒ x ≥ k k > 0 ∧ −k ≤ x ≤ k ∧ x ≥ 0 ∧ |x| = x ⇒ −k ≤ |x| ≤ k ∨ ⇐) k > 0 ∧ −k ≤ x ≤ k ∧ x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −k ≤ −|x| ≤ k ⇒ −k ≤ |x| ≤ k (10) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ −k 4 Demostración ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇒ x ≥ k ∨ x ≤ −k x > 0 ∧ |x| = x ∧ |x| ≥ k ⇒ x ≥ k ∨ ⇒) x < 0 ∧ |x| = −x ∧ |x| ≥ k ⇒ −x ≥ k ⇒ x ≤ −k ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : x ≥ k ∨ x ≤ −k ⇒ |x| ≥ k x ≥ k ⇒ |x| ≥ k ∨ x ≤ −k ⇒ Falso x > 0 ∧ |x| = x ∧ k > 0 ∧ x es positivo y − k es negativo, por lo que la comparación es falsa. ⇐) ∨ x ≥ k Falso, x es negativo y k es positivo ∨ x < 0 ∧ |x| = −x ∧ k > 0 ∧ x ≤ −k∧ ⇒ −x ≥ k ⇒ |x| ≥ k (11) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b| Demostración a ≤ |a| −|a| ≤ a ∧ + + b ≤ |b| a + b ≤ |a| + |b| −|b| ≤ b −(|a| + |b|) ≤ a + b Por propiedad transitiva resulta −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇓ Por propiedad 9 |a + b| ≤ |a| + |b| (12) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≥ |a| − |b| Demostración |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| 5 ⇓ |a − b| + |b| ≥ |a| ⇓ |a − b| + |b| − |b| ≥ |a| − |b| ⇓ |a − b| ≥ |a| − |b| (13) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≤ |a| + |b| Demostración |a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + | − b| = |a| + |b| ⇓ |a − b| ≤ |a| + |b| (14) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a| − |b| ≤ |a − b| Demostración Auxiliar: |b − a| = | − (a − b)| = |a − b| |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| (1) ∧ |b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a| = |a − b| + |a| ⇒ de (1) de (2) (2) |a| − |b| ≤ |a − b| |b| − |a| ≤ |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b| 6 4. Ejercicios a) |x| ≤ 3 Resolución: ⇒ −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ S = [−3; 3] b) |x| > 5 Resolución: ⇒ x > 5 ∨ x < −5 ⇒ S = (−∞; −5) ∪ (5; +∞) c) |x − 1| < 1 2 Resolución: 1 1 1 1 1 3 ⇒ − < x − 1 < ⇒ − + 1 < (x − 1) + 1 < + 1 ⇒ <x< 2 2 2 2 2 2 1 3 ⇒S= ; 2 2 d) |2 − 3x| ≥ 3 Resolución: ⇒ 2 − 3x ≤ −3 ∨ 2 − 3x ≥ 3 ⇒ 2 + 3 ≤ 3x ∨ 2 − 3 ≥ 3x ⇒ x ≥ 1 5 ⇒ S = −∞; − ∪ ; +∞ 3 3 7 5 1 ∨x ≤ − 3 3 e) 3 2− x >0 2 Resolución: Cómo el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero, buscamos cuando se hace cero y lo quitamos del conjunto solución 3 3 4 3 2 − x = 0 ⇐⇒ 2 = x ⇐⇒ x = 2 : ⇐⇒ x = 2 2 2 3 4 =⇒ S = R − 3 f) 1 1 x− <0 2 4 Resolución: Cómo el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero, no tiene solución. ⇒S=∅ g) 2x − 6 ≥3 x−2 Resolución: 2x − 6 2x − 6 2x − 6 2x − 6 ≥ 3∧ > 0∧x 6= 2 ⇒ ≥ 3∧x 6= 2 ⇒ −3 ≥ 0∧x 6= 2 x−2 x−2 x−2 x−2 −x > 0 ∧ x − 2 > 0 ⇒ x < 0 ∧ x > 2 ⇒ S1 = ∅ Y −x −x < 0 ∧ x − 2 < 0 ⇒ x > 0 ∧ x < 2 ⇒ S2 = (0; 2) ⇒ ≥ 0∧x 6= 2 ⇒ x−2 Y −x = 0 ∧ x 6= 2 ⇒ S3 = {0} • ∨ • 2x − 6 −2x + 6 −2x + 6 2x − 6 ≥ 3∧ < 0∧x 6= 2 ⇒ ≥ 3∧x 6= 2 ⇒ −3 ≥ 0∧x 6= 2 x−2 x−2 x−2 x−2 8 12 12 ∧ x > 2 ⇒ S = 2; −5x + 12 > 0 ∧ x − 2 > 0 ⇒ x < 4 5 5 Y −5x + 12 −5x + 12 < 0 ∧ x − 2 < 0 ⇒ x > 12 ⇒ ≥ 0∧x 6= 2 ⇒ 5 ∧ x < 2 ⇒ S5 = ∅ x−2 Y 12 −5x + 12 = 0 ∧ x 6= 2 ⇒ x = 12 5 ⇒ S6 = 5 S = (S1 4 S2 4 S3 ) ∪ (S4 4 S5 4 S6 ) 12 12 S = (∅ 4 (0; 2) 4 {0}) ∪ 2; 4∅4 5 5 Al ser conjuntos disyuntos la diferencia simétrica es igual a la unión entre los conjuntos S = [0; 2) ∪ (2; 12 5 12 ⇒ S = 0; − {2} 5 h) 1 x+2 ≤2 2 Resolución: 1 −2 ≤ x + 2 ≤ 2 2 1 x+2 −2≤2−2 −2 − 2 ≤ 2 1 −4 ≤ x ≤ 0 2 1 −4 · 2 ≤ x ·2≤0·2 2 −8 ≤ x ≤ 0 ⇒ S = [−8; 0] i) 1+x >0 2−x 9 Resolución: Por la propiedad 1 (el valor absoluto es mayor o igual a cero), busco solamente los valores de x que hacen que se anule la función y el do- minio de la función. A estos valores hallados los quito del conjunto solución. 1+x = 0 ⇔ x = −1 ∧ x 6= 2 2−x ⇒ S = R − {−1; 2} j) 2−x <3 1 + 2x Resolución: ⇒ −3 < 2−x 1 < 3 ∧ x 6= − 1 + 2x 2 2−x 2−x 1 ∧ < 3 ∧ x 6= − 1 + 2x 1 + 2x 2 2−x 2−x 1 ⇒ −3 < ∧ < 3 ∧ x 6= − 1 + 2x 1 + 2x 2 2−x 2−x 1 ⇒ +3>0∧ − 3 < 0 ∧ x 6= − 1 + 2x 1 + 2x 2 5 + 5x −1 − 7x 1 ⇒ >0∧ < 0 ∧ x 6= − 1 + 2x 1 + 2x 2 5 + 5x > 0 ∧ 1 + 2x > 0 Y ⇒ 5 + 5x < 0 ∧ 1 + 2x < 0 ⇒ −3 < ∧ −1 − 7x > 0 ∧ 1 + 2x < 0 Y −1 − 7x < 0 ∧ 1 + 2x > 0 x > −1 ∧ x > − 12 Y ⇒ 1 x < −1 ∧ x < − 2 ∧ 10 x < − 71 ∧ x < − 21 Y 1 1 x > −7 ∧ x > −2 1 1 1 ⇒ S = (−∞; −1) 4 − ; +∞ ∩ −∞; − 4 − ; +∞ 2 2 7 Por ser vacías las intesecciones 1 1 1 ∪ − ; +∞ ⇒ S = (−∞; −1) ∪ − ; +∞ ∩ −∞; − 2 2 7 Finalmente 1 S = (−∞; −1) ∪ − ; +∞ 7 k) 3 < |x − 5| ≤ 7 Resolución: 3 < |x − 5| ∧ |x − 5| ≤ 7 (x − 5 > 3 ∨ x − 5 < −3) ∧ (−7 ≤ x − 5 ≤ 7) (x > 8 ∨ x < 2) ∧ (−7 + 5 ≤ x − 5 + 5 ≤ 7 + 5) (x > 8 ∨ x < 2) ∧ (−2 ≤ x ≤ 12) S = ((−∞; 2) ∪ (8; +∞)) ∩ [−2; 12] ⇒ S = [−2, 2) ∪ (8; 12] l) 1 < |x − 5| ≤ 7 Resolución: 1 < |x − 5| ∧ |x − 5| ≤ 7 (x − 5 > 1 ∨ x − 5 < −1) ∧ (−7 ≤ x − 5 ≤ 7) (x > 1 + 5 ∨ x < −1 + 5) ∧ (−7 + 5 ≤ x ≤ 7 + 5) (x > 6 ∨ x < 4) ∧ (−2 ≤ x ≤ 12) S = ((−∞; 4) ∪ (6; +∞)) ∩ [−2; 12] 11 ⇒ S = [−2, 4) ∪ (6; 12] m) 1 − 2|x| ≥ |x + 1| Resolución: ⇒ 1 ≥ 2|x| + |x + 1| • x + 1 ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ |x + 1| = x + 1 ∧ |x| = x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1| ⇒ x ≥ −1 ∧ x ≥ 0 ∧ 1 ≥ 2x + x + 1 ⇒ x ≥ −1 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≤ 0 ⇒ S1 = {0} ∨ • x + 1 ≥ 0 ∧ x < 0 ∧ |x + 1| = x + 1 ∧ |x| = −x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1| ⇒ x ≥ −1 ∧ x < 0 ∧ 1 ≥ −2x + x + 1 ⇒ x ≥ −1 ∧ x < 0 ∧ x ≥ 0 ⇒ S2 = ∅ ∨ • x + 1 < 0 ∧ x ≥ 0 ∧ |x + 1| = −x − 1 ∧ |x| = x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1| ⇒ x < −1 ∧ x ≥ 0 ∧ 1 ≥ 2x − x − 1 ⇒ x < −1 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≤ 2 ⇒ S3 = ∅ ∨ • x + 1 < 0 ∧ x < 0 ∧ |x + 1| = −x − 1 ∧ |x| = −x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1| ⇒ x < −1 ∧ x < 0 ∧ 1 ≥ −2x − x − 1 2 ⇒ x < −1 ∧ x < 0 ∧ x ≥ − 3 ⇒ S4 = ∅ 12 ⇒ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 = {0} ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ⇒ S = {0} n) |1 + x| > 1 + |x| Resolución: Por la propiedad de la desigualdad triangular (propiedad 11) obtengo que: |1 + x| ≤ |1| + |x| = 1 + |x| ∀x ∈ R ⇒ |1 + x| ≤ 1 + |x| ∀x ∈ R Por tricotomía en R no existen valores reales que cumplan con la desigualdad de este ejercicio ⇒S=∅ o) |x − 1| + |x − 2| > 1 Resolución: • x−1 ≥ 0∧x−2 ≥ 0∧|x−1| = x−1∧|x−2| = x−2∧|x−1|+|x−2| > 1 ⇒x≥1∧x≥2∧x−1+x−2>1 ⇒x≥1∧x≥2∧x>2 ⇒ S1 = (2; +∞) ∨ • x−1 ≥ 0∧x−2 < 0∧|x−1| = x−1∧|x−2| = −x+2∧|x−1|+|x−2| > 1 ⇒x≥1∧x<2∧x−1−x+2>1 ⇒x≥1∧x<2∧1 > 1} | {z F ⇒ S2 = ∅ ∨ 13 • x−1 < 0∧x−2 ≥ 0∧|x−1| = −x+1∧|x−2| = x−2∧|x−1|+|x−2| > 1 ⇒ x < 1 ∧ x ≥ 2 ∧ −x + 1 + x − 2 > 1 ⇒ x < 1 ∧ x ≥ 2 ∧ −1 | {z> 1} F ⇒ S3 = ∅ ∨ • x−1 < 0∧x−2 < 0∧|x−1| = −x+1∧|x−2| = −x+2∧|x−1|+|x−2| > 1 ⇒ x < 1 ∧ x < 2 ∧ −x + 1 − x + 2 > 1 ⇒ x < 1 ∧ x < 2 ∧ −2x > −2 ⇒x<1∧x<2∧x<1 ⇒ S4 = (−∞; 1) ⇒ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 = (2; +∞) ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ (−∞; 1) ⇒ S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞) p) |x − 1| + |x + 1| < 2 Resolución: Por propiedad 13, ya demostrada, obtengo que: |x − 1| + |x + 1| ≥ |(x − 1) − (x + 1)| = |x − 1 − x − 1| = | − 2| = 2 ∀x ∈ R ∴ |x − 1| + |x + 1| ≥ 2 ∀x ∈ R Por la ley de tricotomía concluimos que la solución es el conjunto vacío ⇒S=∅ 14 5. Otras propiedades Para empezar: a<b∧c<d⇒a+c<b+d Demostración. (a < b ⇒ a + c < b + c) ∧ (c < d ⇒ b + c < d + b) Por propiedad transitiva de la relación de desigualdad llegamos a lo que queríamos demostra a+c<b+d Además queremos formalizar que al multiplicar por -1 a ambos miembros de una desigualdad, cambia el sentido de la misma. Denición: f es estrictamente decreciente en a ⇔ (x < a ⇒ f (x) > f (a))∧(x > a ⇒ f (x) < f (a)) Demostraremos que la siguiente función es estrictamente decreciente Demostración. f (x) = −x ∧ Df = R ∧ If = R ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : • a < b ⇒ a−b < b−b ⇒ a−b < 0 ⇒ (a−b)−a < 0−a ⇒ −b < −a ⇒ f (a) > f (b) • a > b ⇒ a−a > b−a ⇒ 0 > b−a ⇒ 0−b > (b−a)−b ⇒ −b > −a ⇒ f (a) < f (b) ∴ f (x) = −x es estrictamente decreciente en R Análogamente se puede demostrar que es monótona decreciente. puede multiplicar a ambos miembros de una desigualdad por la misma. 15 ∴ Se −1 y se invierte