∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Sea  : R  R la función definida por   x  
x
1
 1 t
2
dt .
0
Realizar lo siguiente:
a) Calcular  ( x) y  ( x) .
Solución.
1
es continua x  R , por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, se
1 t2
1
sigue que   x  es derivable y  ( x) 
, x  R
1  x2
Puesto que f (t ) 
Por otro lado,  ( x)  
2x
1  x 
2 2
, x  R
b) Demostrar que   x  es creciente en  ,  
Demostración.
1
, x  R
1  x2
Por tanto  ( x)  0, x   ,   . Por tanto,   x  es creciente en  ,   . Q.E.D.
Por el inciso anterior,  ( x) 
c) Demostrar que   x  es una función impar. Esto es, demostrar que    x     x 
Demostración.
 x 
x
1
0 1  t 2 dt 
cb
Sabemos que

ca
x

f (t )dt , donde f  t  
0
1
1 t2
b
f ( x)dx  c  f (cx)dx , entonces
a
( 1) x
x
x
x
x
1
1
1
 x  
dt   f (t )dt  (1)  f (t )dt   
dt   
dt    x 
2
2
1 t
1  (t )
1 t2
0
( 1)0
0
0
0
Por tanto,    x     x  . Q.E.D.
x
d) Demostrar que
1
 1  t 
0
x
1
dt , x  1.
t2
1
dt    x   1  
2
Demostración.
1
Puesto que
1
1  t 
2

1
, t , entonces
1 t2
x
1
 1  t 
0
x
1
dt , x  0
1 t2
0
dt  
2
(1)
Por otro lado,
1
x
x
1
1
1
1
1
1
dt  
dt  1   2 dt
 1, t   0,1 y
 2 , t  1 entonces 
2
2
2
2
1 t
1 t
t
1 t
1 t
t
0
1
1
x
De (1) y (2), tenemos
1
 1  t 
0
x
(2)
x
1
1
dt  1   2 dt , x  1 Q.E.D.
2
1 t
t
0
1
dt  
2
e) Demostrar que   x   2, x  1
Demostración.
Por la desigualdad (2) del inciso (d), tenemos
x
x
1
1
1
1
1
1
0 1  t 2 dt  1  1 t 2 dt  1    x    1   1  x  1  2  x  2, x  1
x
Por transitividad, se sigue
1
 1 t
2
dt  2, x  1 Q.E.D.
0
2