Soluciones

Examen final
Resistencia de Materiales,
Elasticidad y Plasticidad
26 de mayo de 2015
Apellidos ..............................................................................
Nombre........................................................ Nº.....................
Ejercicio 1 (Se recogerá a las 10:30h)
Considere la viga zanca de la figura soportada mediante apoyos fijos en A y B. Las piezas
horizontales AC y DB tienen 0,8 m de canto y están sometidas a un calentamiento linealmente
variable con el canto, ∆T en la cara superior y 0ºC en la inferior. La rigidez a flexión es
EI=2,5x105 kNm2 en todas las piezas y se desprecia la deformación por esfuerzo axil.
Se pide:
a) Croquis acotado de las reacciones en los apoyos, con magnitud y sentido.
(4 puntos)
b) Croquis acotados de las leyes de momentos flectores y de esfuerzos axiles.
(3 puntos)
c) Deformada a estima, indicando la posición de los puntos de inflexión.
(3 puntos)
α=10-5 °C-1 ∆T=25°C
B
D
1,5
A
C
∆T=0°C
4,0
4,0
Zanca sometida a acción térmica
Examen ordinario
Resistencia de Materiales,
Elasticidad y Plasticidad
26 de mayo de 2015
Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nº.....................
Curso 3º
Ejercicio 2 (Se recogerá a las 11,00 h aproximadamente.)
El arco semicircular de la figura soporta en su clave C las cargas
indicadas. La rigidez a flexión se da en la propia figura. Se pide:
a) Dibujar un croquis con las reacciones acotadas en magnitud y
sentido.
(5 puntos)
b) Escribir la expresión de la ley de momentos flectores en función
de la coordenada angular n indicada. Dibujarla y acotarla en sus
valores extremos.
(3 puntos)
c) Calcular el giro en la clave C.
(2 puntos)
Notas: 1) En el cálculo se despreciarán las deformaciones por esfuerzos axiles y cortantes.
2) Se dan los valores numéricos de las siguientes integrales:
Valores numéricos de
f1(n)
f2(n)
1
sen(n)
cos(n)
1
B/2
1
1
sen(n)
1
B/4
1/2
cos(n)
1
1/2
B/4
R
5
P
30
M
Carga P simétrica
P
V B1
V B1 . R . ( 1
Msim( φ )
100
P = 30
2
H . R . sin( φ )
cos( φ ) )
π
2
M sim( φ ) . R . sin( φ ) .R d φ
uB
0
π
2
V B1 .
cos( φ ) ) .sin( φ ) d φ
(1
0
H
(Resulta H=P/2π)
H = 9.549
π
2
2
sin( φ ) d φ
0
Carga M antisimétrica
M
M
M asim ( φ )
V B2 . R( 1
M
V B2
2
R
cos( φ ) )
Suma entre B y C
M 1( φ )
V B1
V B2 . R . ( 1
H
atan
φ max
V B1
cos( φ ) )
φ max .
V B2
180
H . R . sin( φ )
= 20.905
π
100
M 1( 0 ) = 0
50
M 1 φ max = 8.809
M1
π
M 1( φ )
0
= 77.254
2
50
2
Entre A y C
M 2( φ )
φ max
V B1
V B2 . R . ( 1
cos( φ ) )
V B1
1
φ
0.5
0
H . R . sin( φ )
0
H
atan
1.5
V B2
φ max .
180
M 2( 0 ) = 0
= 62.364
π
M 2( φ ) 20
M 2 φ max = 28.896
M2
π
2
= 22.746
M1
π
2
M2
π
2 .M = 0
2
40
0
0.5
1
φ
1
1.5
Examen ordinario
Resistencia de Materiales,
Elasticidad y Plasticidad
26 de mayo de 2015
Ejercicio 3
Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nº.....................
Curso 3º Alumnos de Adaptación marcad X aquí *
(Se recogerá a las 13:00 horas aproximadamente)
Figura 1
1) La sección de una viga rectangular tiene un canto c y un ancho b, expresados en metros (figura 1.b).
El material, elasto-plástico perfecto, que constituye la viga tiene un límite elástico, e=10-3 y una
deformación de rotura, r = 3 e, en un diagrama tensión-deformación, válido tanto en tracción como
en compresión, en el que la tensión de fluencia es )P=200 MPa (figura 1.a). Una sección de la viga
se somete a dos situaciones de carga:
Situación 1). Cuando en la sección de la viga actúan un axil, N1 y un momento M1, el estado tensional
es el representado en la figura 1.c).
Situación 2). Cuando en la sección de la viga actúan un axil, N2 y un momento M2, la deformación en
las fibras superiores es la correspondiente a la deformación de rotura en compresión y la de las fibras
inferiores es el doble de la deformación correspondiente al límite elástico en tracción (figura 1.d).
1.a). Dibujar y acotar la ley de deformaciones en la sección en el estado de carga correspondiente
a la situación 1.
(1,5 puntos)
1.b). Dibujar y acotar en función de c la ley de tensiones en la sección en el estado de carga
correspondiente a la situación 2.
(1,5 puntos)
1.c). Obtener la dimensión del canto, c, de la sección sabiendo que M1/N1= 0,5 m
(2 puntos)
Figura 2
2) En la viga de la figura 2 cuyas dimensiones se indican, está constituida por tres vanos de igual longitud
y apoyos fijos. El momento plástico de cada vano se da en la figura.
2.a) Considerando las cargas indicadas, determinar el valor de P que provoca el colapso en tres posibles
situaciones.
(3 puntos)
2.b) Dibujar, acotando los valores más significativos, la ley de momentos cuando se alcanza la carga
de colapso.
(2 puntos)
Examen ordinario
Resistencia de Materiales,
Elasticidad y Plasticidad
26 de mayo de 2015
Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nº.....................
Curso 3º
Alumnos de Adaptación marcad X aquí G
Ejercicio 4 (Se recogerá a las 13,30 h aproximadamente.)
El cilindro de sección elíptica de la figura está empotrado en un extremo y libre en el otro; se
encuentra sometido a las dos fuerzas 2P y !P indicadas. Se pide:
a) Demostrar que M(x,y) es la función de tensiones del problema de torsión en la sección elíptica
sometida al momento torsor Mz
(2 puntos)
b) Determinar la máxima ténsión tangencial (que resulta de los esfuerzos cortante y torsor) y el
punto donde se produce.
(4 puntos)
c) Escribir el tensor de tensiones en el punto A (!a, 0, 0)
(4 puntos)
Notas. No se considera el efecto del peso propio.
El empotramiento permite el libre alabeo de la sección.
Para las tensiones de flexión y cortante se aceptan las fórmulas de la Resistencia de Materiales.
Se dan las siguientes fórmulas relativas a la elipse:
DATOS: E= 200 GPa; <= 0,25; a= 3 cm; b= 2 cm; P= 2 kN; L= 50 cm
Torsión en elipse
3 .P . b
Mz
π . a .b
Mz
π .a . b
2)
0.02
P
3
I yy
4
8
10 .I xx = 18.85
Mz
Φ ( x, y) =
IntΦ
π .a .b
I xx
4
10 .A = 18.85
1)
0.03 b
2
L
0.50
E
xG
4 .a
3 .π
3
200 . 10
M z = 0.12
π .a .b
A
a
. A
. 1
2
y
2
b
x
a
1.
I
2 yy
a
4
8
10 .I yy = 42.412
2
Cumple Φ=0 en el contorno
2
2 . IntΦ
1 .
I
2 xx
b
2 .M z
τ zx( x , y )
3
π .a . b
π .a .b
3
Cumple 2.IntΦ=Mz
=1
Mz
.y
2 .M z
τ zy( x , y )
3
π .a .b
.x
A.
Por cortante Q=-P sobre x=0
τQ
Por torsión en B(0,-b,0)
Total
τ max
τQ
τ Tor
xG
P .2
I yy 2 . b
3
τ Q = 1.415 10
3
τ Tor = 6.366 10
τ zx( 0 , b )
3
τ max = 7.781 10
τ Tor
Es τzx en B(0,-b,0)
En A tenemos σz de flexion y τzy de torsion
3
σz
TA
P .L .
a
σ z = 7.074 10
I yy
4
0
0
0
0
0
τ zy( a , 0 )
0 τ zy( a , 0 )
3
τ zy( a , 0 ) = 4.244 10
TA=
σz
1
0 0
0
0 0
4.244 10
3
0 4.244 10
4
7.074 10
3