Integrales triples en coordenadas esféricas

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 12
(13 mar. 2012)
Integrales triples en coordenadas esféricas
1.– Ejemplo: Cálculo de un centro de masa. 2.– Ejemplo: Cálculo de un momento de inercia. 3.– Volumen de un
casquete esférico en coordenadas cartesianas. 4.– Coordenadas esféricas. 5.– Volumen de un casquete esférico y
volumen de la esfera. 6.– Atracción gravitatoria de una esfera homogénea.
1 Ejemplo: Cálculo de un centro de masa.
Hallar la coordenada x del centroide de la región limitada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y por la
superficie (paraboloide) z = x 2 + y 2 .
p
La intersección del plano z = 2 con el paraboloide z = x 2 + y 2 es un cı́rculo de radio 2 con
p centro
en el eje z. Al proyectar la región dada sobre el plano x y se obtiene un cuarto de cı́rculo de radio 2 en el
que los puntos tienen coordenadas (x, y) que cumplen x 2 + y 2  2 y por tanto:
p
p
0  x  2 , 0  y  2 x2
Ası́ que la integral para la coordenada x del centroide puede plantearse ası́:
Z p2 Z p2 x 2 Z zmax
1
x̄ =
x dz dy dx
Vol 0
0
z min
Para terminar de plantear la integal sólo nos falta determinar los extremos z min y z max del intervalo de
variación de la coordenada z. Estos se hallan imaginando que levantamos una vertical por el punto (x, y)
y observamos la altura z min a la que entramos en nuestra región (punto de corte de la vertical con el
paraboloide z = x 2 + y 2 ) y la altura z max a la que salimos de nuestra región (punto de corte de la vertical
con el plano z = 2), ası́ que
z min = x 2 + y 2 y z max = 2,
con lo cual,
1
x̄ =
Vol
1
=
Vol
Z
0
Z
= ··· =
0
p Z
2
0
p Z
2
p
2 x2
p
Z
2
x 2 +y 2
2 x2
x 2
x dz dy dx
x2
y 2 dy dx
0
p
1 8 2
.
Vol 15
Para terminar el problema tenemos que hallar el volumen, para lo cual podemos aprovechar el planteamiento anterior y poner:
Z p2 Z p2 x 2 Z 2
⇡
Vol =
dz dy dx = · · · =
2
0
0
x 2 +y 2
p
16 2
Ası́ pues, la coordenada x del centroide buscado es x̄ =
.
15⇡
Ejercicio 1
Completa el cálculo de las dos integrales anteriores.
1
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Integrales triples en coordenadas esféricas
Curso 2011-12
2 Ejemplo: Cálculo de un momento de inercia.
Hallar el momento de inercia respecto a su eje (el eje z) del cono homogéneo delimitado por los planos
z = 0, z = b y la superficie cónica con vértice en el origen eje en el eje z y que interseca el plano x = 0 en
la recta z = ay.
Las coordenadas cilı́ndricas son las más adecuadas para plantear el problema. En coordenadas cilı́ndricas
la superficie cónica tiene ecuación z = ar, mientras que la proyección del cono sobre el plano x y es el
cı́rculo de centro en el origen y radio b/a. El momento de inercia es, pues:
ZZZ
Z Z ⇣ Z zmax
ZZ
⌘
2
2
Iz =
r dV =
r dz d A =
r 2 z max z min d A.
R
z min
R
En este ejmplo, los valores de z max y z min son:
z min = ar
z max = b,
y
con lo cual,
Iz =
ZZ
2
r b
R
ar d A =
Z
2⇡
0
Z
b/a
r2 b
0
ar r dr d✓ = · · · =
⇡ b5
.
10 a 4
3 Volumen de un casquete esférico en coordenadas cartesianas.
El objetivo del ejemplo que haremos ahora es, no tanto calcular el volumen pedido como practicar el
planteamiento de integrales triples. El mismo volumen se calculará luego por otro método más sencillo.
Sea la región R el casquete de la esfera unitaria que se obtiene al cortarla mediante un plano paralelo al
eje x y que corta a los ejes y y z respectivamente en los puntos (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Se desea plantear una
integral triple para hallar el volumen de R.
El plano que interseca a la esfera tiene ecuación z = 1 y, mientras que la superficie esférica tiene
ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 1. Las condiciones que definen a los puntos (x, y, z) que están en el interior del
casquete R son: z > 1 y (el punto está por encima del plano) y x 2 + y 2 + z 2 < 1 (el punto está dentro
de la esfera).
La intersección del plano con la p
esfera es una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los
puntos (0, 1, 0) y (0, 0, 1), es decir, 2.
p
La proyección de R sobre el plano x y es la elipse de semiejes 2/2 y 1/2 con centro en el punto
(0, 1/2). Esta es la elipse de ecuación:
!2
✓
◆2
y 12
x
+
= 1.
p
1/2
2/2
Despejando x de esta ecuación y simplificando obtenemos:
q
x = ± 2y 2y 2
Por tanto nuestro casquete se puede describir como la región de los puntos (x, y, z) tales que:
q
q
q
0  y  1,
2y 2y 2  x  2y 2y 2 , 1 y  z  1 x 2 y 2
y su volumen está dado por la integral triple:
Z Z p
1
0
2y 2y 2
p
2y 2y 2
Z p1
x 2 y2
dz dx dy
1 y
Es un buen ejercicio calcular esta integral triple, pero no lo vamos a hacer ahora. En su lugar lo
calcularemos más tarde por un método mejor que consiste en cambiar la posición del sólido respecto a los
ejes y utilizar coordenadas esféricas.
2
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Integrales triples en coordenadas esféricas
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4 Coordenadas esféricas.
Las coordenadas esféricas tienen su origen en la astronomı́a y consisten
en determinar la posición de un
p
punto (x, y, z) del espacio mediante su distancia al origen ⇢ = x 2 + y 2 + z 2 , su ángulo acimutal (que
es el ángulo ✓ = arctan(y/x) de las coordenadas
p cilı́ndricas) y el ángulo cenital = arccos(z/⇢). Es
conveniente apoyarse en la coordenada r = x 2 + y 2 de las coordenadas cilı́ndricas, la cual cumple
r = ⇢ sen , para escribir:
x = r cos ✓ ,
x = ⇢ sen cos ✓ ,
y = r sen ✓ ,
y = ⇢ sen sen ✓ ,
z = ⇢ cos
z = ⇢ cos
Ejercicio 2
Calcular el determinante jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas en el espacio a coordenadas esféricas:
x = ⇢ sen cos ✓ , y = ⇢ sen sen ✓ , z = ⇢ cos
para demostrar que el elemento de volumen en coordenadas esféricas es:
dV = dx dy dz = | det J |d⇢ d d✓ = ⇢ 2 sen d⇢ d d✓.
Este resultado también se puede obtener geométricamente representando el elemento de volumen obtenido
para unos valores dados (⇢, , ✓) sometidos a incrementos 1⇢, 1 , 1✓, como un prisma de altura 1⇢ y
base el rectángulo curvilı́neo de lados ⇢1 y r1✓, de forma que el volumen de tal elemento es
1V = 1⇢ · ⇢1 · r1✓ = 1⇢ · ⇢1 · (⇢ sen )1✓
de donde:
dV = d⇢ · ⇢ d · ⇢ sen d✓ = ⇢ 2 sen d⇢ d d✓.
5 Volumen de un casquete esférico y volumen de la esfera.
El casquete esférico estudiado en la sección 3 se puede describir en coordenadas esféricas de forma sencilla
si cambiamos los ejes de coordenadas de forma que el plano que corta a la esfera unitaria
sea un plano
p
horizontal. Podemos disponer los ejes de forma que el plano de corte sea el plano z = 2/2. Entonces el
volumen del casquete está dado por la integral triple en coordenadas esféricas:
Z
0
2⇡
Z
0
⇡/4 Z 1
p1
2
sec
dV =
Z
0
2⇡
Z
0
⇡/4 Z 1
p1
2
2
sec
⇢ sen d⇢ d d✓ = 2⇡
Z
0
⇡/4 Z 1
p1
2
⇢ 2 sen d⇢ d
sec
6 Atracción gravitatoria de una esfera homogénea.
Una interesante aplicación de las integrales triples es la demostración del teorema de Newton sobre el campo gravitatorio de una esfera homogénea: El campo gravitatorio de una esfera homogénea en el exterior
de la misma es el mismo que si toda la masa estuviera concentrada en su centro.
Para demostrarlo vamos a calcular la integral triple sobre la masa de toda la esfera del campo gravitatorio a una distancia r del centro de la esfera. Usaremos coordenadas esféricas y supondremas que la esfera
tiene radio R, y densidad , con lo cual su masa total es M = 43 ⇡ R 3 . Además, vamos a situar los ejes de
coordenadas de tal forma que el centro de la esfera esté situado sobre el eje z positivo a una distancia r del
origen y vamos a calcular el campo gravitatorio en el origen.
Es suficiente calcular la coordenada z del campo gravitatorio ya que las coordenadas x e y deben ser
cero por simetrı́a. Si se desease comprobar que efectivamente es ası́, basta hacerlo para la x o para la y ya
que la otra se harı́a de la misma forma. Esto se deja como ejercicio, el cual será muy sencillo después de
haber planteado la integral triple de la coordenada z del campo.
3
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Integrales triples en coordenadas esféricas
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Un elemento de masa dm = dV de la esfera situado en un punto interior a la esfera y de coordenadas
(⇢, , ✓) ejerce sobre una masa unidad colocada en el origen una fuerza de magnitud
G dm
⇢2
df =
donde G es la constante de gravitación universal. La componente z de esta fuerza es df z = df cos y la
suma de todas estas componentes es:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
G dm
cos
Fz =
df z =
df cos =
cos
G
dV.
=
2
2
esfera
esfera
esfera ⇢
esfera ⇢
Como dV = ⇢ 2 sen d⇢ d d✓, esto se reduce a
Fz = G
Z
0
2⇡
Z
Z
max
0
⇢max
⇢min
cos sen d⇢ d d✓ = 2⇡ G
Z
max
⇢min cos sen d .
⇢max
0
Ahora necesitamos determinar los lı́mites de integración ⇢max , ⇢min y
max .
Por la figura vemos que
sen
max
=
R
,
r
⇢max = r cos
+
⇢min = r cos
de forma que
q
q
R2
r 2 sen2
,
R2
r 2 sen2
,
q
⇢min = 2 R 2
⇢max
R
r
Φmax
r 2 sen2 .
El cálculo ahora es una integral elemental:
Z
Fz = 2⇡ G
0
q
max
2 R2
2
1 4 R2
= 2⇡ G
r2
✓
4
1
= ⇡G
R2
3
r2
✓⇣
4
1
= ⇡G
R2
3
r2
r 2 sen2
cos sen d
3
3
r 2 sen2
3/2
2
5
R
r
max
Φ Ρmin
0
2
2
r sen
2
r 2 Rr 2
Ρmax
R
max
⌘3
2
R
3
2
3
R2
◆
=
r 2 sen2 0
3
2
◆
⌘ GM
4
1
G ⇣4
⇡ G R3 2 = 2 ⇡ R3 = 2 .
3
r
r 3
r
Para comprobar que las otras dos componentes del campo son cero, basta tener en cuenta
df x = df sen cos ✓,
df y = df sen sen ✓
y calcular:
Fx = G
Z
2⇡Z
Fy = G
Z
2⇡Z
0
0
0
0
Z
max
⇢max
2
sen
⇢min
Z
max
⇢max
⇢min
2
sen
d⇢ d cos ✓ d✓ = G
Z
d⇢ d sen ✓ d✓ = G
Z
4
2⇡
cos ✓ d✓
0
0
! ✓Z
0
2⇡
sen ✓ d✓
! ✓Z
0
Z
max
⇢max
sen2 d⇢ d
⇢min
Z
max
⇢max
⇢min
2
sen
d⇢ d
◆
= 0.
◆
= 0.