Espira circular que entra en semiplano magnetizado

Espira circular que entra en semiplano
magnetizado
Ampliación de Fı́sica II
Una espira circular de masa m, radio a y resistencia R se encuentra en
el semiplano x < 0 transladándose con una velocidad v0 i y manteniendo su
centro en el eje x. Se orientará el circuito que define la espira en sentido antihorario desde el eje z. En el semiplano x > 0 existe una inducción magnética
prácticamente uniforme y constante, de valor B = Bk. Se denominará x a la
mayor abscisa de los puntos de la espira y 2ϕ al ángulo central del arco de espira
que se encuentra en el semiplano x > 0. Se desprecia la autoinducción de la
espira. Determine:
• El flujo magnético que atraviesa la espira en función de ϕ
1
Respuesta:
El área del cı́rculo que entra en x > 0 es
S=
1 2
a (2ϕ)
|2 {z }
sector circular
1 2
sen 2ϕ
2
− 2 a sen ϕ cos ϕ = a ϕ −
2
|2
{z
}
triángulo
por lo que el flujo resulta
2
Φ(ϕ) = Ba
sen 2ϕ
ϕ−
2
• La fuerza electromotriz definida sobre la espira.
Respuesta:
Aplicando la ley de Faraday-Maxwell
f em = −
dΦ
2
= −Ba2 ϕ̇(1 − cos 2ϕ) = −2Ba2 sen ϕϕ̇
dt
• La intensidad que recorre la espira.
Respuesta:
Al aplicar la ley de Ohm, se tiene
I=−
2Ba2 sen2 ϕ
ϕ̇
R
• La fuerza según el eje x que se ejerce sobre la espira por parte del campo
magnético
Respuesta:
En primer lugar obtendremos Qϕ y luego la relacionaremos con Fx , ya
que
∂x
Qϕ = Fx
∂ϕ
2
∂Φ
1 2
Qϕ = I
=−
2Ba2 sen ϕ ϕ̇
∂ϕ
R
2
con lo que, teniendo en cuenta que
x = a(1 − cos ϕ) ⇒
se tiene
Fx = −
∂x
= a sen ϕ
∂ϕ
1
3
4B 2 a3 sen ϕϕ̇
R
• La fuerza Fx en función de x, ẋ.
Respuesta:
Mediante la relación
x = a(1 − cos ϕ) ⇒ ẋϕ = a sen ϕϕ̇
y
cos ϕ = 1 −
x
x x2
x x2
2
⇒ cos2 ϕ = 1 − 2 + 2 ⇒ sen ϕ = 2 − 2
a
a
a
a
a
se tiene
Fx = −
1
4B 2 (2ax − x2 )ẋ
R
• La ecuación que determina la evolución de x.
Respuesta:
Aplicando la segunda ley de Newton, se escribe
mẍ = −
4B 2
(2axẋ − x2 ẋ)
R
• La evolución ẋ(t) de la velocidad.
Respuesta:
Integrando
ẋ = v0 −
4B 2
x3
4B 2 2
x
(ax2 − )= v0 −
x (a − )
R
3
R
3
• La relación entre la velocidad inicial y la xM máxima de penetración.
Respuesta:
Haciendo ẋ = 0
v0 =
4B 2 2
xM
x (a −
)
R M
3
3
lo que sólo tiene lugar si
v0 ≤
8B 2 3
a
3R
• Potencias mecánica de la fuerza que el campo ejerce sobre la espira y
eléctrica disipada por efecto Joule en la misma.
Pm = Fx ẋ = −
1
4B 2 (2ax − x2 )(ẋ)2
R
y sustituyendo en función de ϕ
Pm = −
1
2
(2Ba2 sen ϕϕ̇)2
R
1
2
(2Ba2 sen ϕϕ̇)2
R
lo que indica que la energı́a mecánica perdida por el freno del campo se
disipa en la resistencia.
Pe = f emI =
4