Espira circular que entra en semiplano magnetizado sobre un veh

Espira circular que entra en semiplano
magnetizado sobre un vehı́culo
Ampliación de Fı́sica II
Un vehı́culo circula a una velocidad constante vi y porta una espira circular
de masa m, radio a y resistencia R que inicialmente se encuentra en el semiplano
x < 0 manteniendo su centro en el eje x. Se orientará el circuito que define la
espira en sentido antihorario desde el eje z. En el semiplano x > 0 existe una
inducción magnética prácticamente uniforme y constante, de valor B = Bk.
Se denominará x a la mayor abscisa de los puntos de la espira (x0 = 0) y 2ϕ
al ángulo central del arco de espira que se encuentra en el semiplano x > 0
(ϕ0 = 0). Se desprecia la autoinducción de la espira. Determine:
• El flujo magnético que atraviesa la espira en función de ϕ
1
Respuesta:
El área del cı́rculo que entra en x > 0 es
S=
1 2
a (2ϕ)
|2 {z }
sector circular
1 2
sen 2ϕ
2
− 2 a sen ϕ cos ϕ = a ϕ −
2
|2
{z
}
triángulo
por lo que el flujo resulta
2
Φ(ϕ) = Ba
sen 2ϕ
ϕ−
2
• La fuerza electromotriz definida sobre la espira en función del tiempo.
Respuesta:
Aplicando la ley de Faraday-Maxwell
f em = −
dΦ
2
= −Ba2 ϕ̇(1 − cos 2ϕ) = −2Ba2 sen ϕϕ̇
dt
y como
x = a(1 − cos ϕ) ⇒ ẋ = a sen ϕϕ̇
entonces
ϕ = arccos
y
vt
1−
a
v
a sen ϕ
ϕ̇ =
con lo que
s
vt vt
f em = −2Bva
2−
a a
• La intensidad que recorre la espira.
Respuesta:
Al aplicar la ley de Ohm, se tiene
2Bva
I=−
R
2
s
vt
2−
a
vt
a
• La fuerza según el eje x que se ejerce sobre la espira por parte del campo
magnético, en función del tiempo.
Respuesta:
En primer lugar obtendremos Qϕ y luego la relacionaremos con Fx , ya
que
∂x
Qϕ = Fx
∂ϕ
2
∂Φ
1
2
2Ba2 sen ϕ ϕ̇
Qϕ = I
=−
∂ϕ
R
con lo que,
1
3
Fx = − 4B 2 a3 sen ϕϕ̇
R
Mediante la relación
x = a(1 − cos ϕ) ⇒ ẋϕ = a sen ϕϕ̇
y
cos ϕ = 1 −
se tiene
x x2
x x2
x
2
⇒ cos2 ϕ = 1 − 2 + 2 ⇒ sen ϕ = 2 − 2
a
a
a
a
a
1
4B 2 (2ax − x2 )ẋ
R
1
Fx = − 4B 2 v 2 t(2a − vt)
R
Fx = −
• La potencia suministrada por el vehı́culo a la espira mientras ésta entra
en el campo, en función de t.
Respuesta:
Pv = −Fx v =
1
4B 2 v 3 t(2a − vt)
R
• La potencia disipada en la resistencia, en función de t.
Respuesta:
4B 2 v 3 t
vt
(2a − vt)
R
a
que coincide con la anterior, lo que significa que la potencia de tracción
del vehı́culo se disipa en la resistencia.
Pe = I 2 R =
3
• La energı́a que aporta el vehı́culo para penetrar totalmente en el campo
magnético.
Respuesta:
El tiempo que tarda es T =
Z
W =
0
T
2a
v ,
con lo que
1
1
1
4B 2 v 3 t(2a − vt)dt = 4B 2 v 3 (aT 2 − vT 3 )
R
R
3
1
1
1
4B 2 v 3 (4a3 2 − 8a3 2 )
R
v
3v
16 2 3
W =
B va
3R
que coincide, obviamente, con el calor disipado en la resistencia de la
espira.
W =
4