ANÁLISIS SENOIDAL

ANÁLISIS SENOIDAL
1
Ecuaciones características
Ecuación:
v(t) = R ⋅ i(t)
v(t)
i(t)
R[!]
dv(t)
i(t) = C ⋅
dt
i(t)
v(t)
C[F]
di(t)
v(t) = L ⋅
dt
2
i(t)
v(t)
L[H]
Ejemplo
Determinar v(t) si i(t)=Amaxsen(ωt)
R
v(t)
3
i(t)
L
Ejemplo
Determinar v(t) si i(t)=Amaxsin(ωt)
R
v(t) = vR (t) + vL (t)
v(t)
vR (t) = R ⋅ i ( t ) = RAmax ⋅ sin(ω t)
di(t)
vL (t) = L ⋅
= ω LAmax ⋅ cos(ω t)
dt
v(t) = Amax { Rsin (ω t ) + ω L cos (ω t )}
i(t)
⎧ 2
⎛
2
−1 ⎛ ω L ⎞ ⎞ ⎫
v(t) = Amax ⎨ R + (ω L ) sin ⎜ ω t + tg ⎜
⎬
⎟
⎟
⎝ R ⎠⎠ ⎭
⎝
⎩
4
L
REPRESENTACIÓN
FASORIAL
5
Fasores
Onda senoidal se representa como una vector en
el plano complejo:
Módulo: valor efectivo de la señal.
∢ fase : corte con el eje horizontal en t=0.
x(t) = Amax sin(ω t + ϕ )
Amax
Módulo: | x(t) |=
2
Fase:
ϕ
6
Fasores
Representación de Fasores:
x(t) = Amax sin(ω t + ϕ )
Módulo-argumento
Amax
X=
ϕ
•
2
Complejo
Euler
Amax
X=
cos (ϕ ) + j sin (ϕ )}
{
•
2
7
Amax jϕ
X=
e
•
2
RELACIÓN FASORIAL
8
Funciones características
v(t) = R ⋅ i(t)
i(t) = I ef 2 sin (ω t + ϕ )
v(t) = Vef 2 sin (ω t + ϕ )
Vef = R ⋅ I ef
9
I = I ef ϕ
•
V = Vef ϕ
•
Funciones características
v(t) = R ⋅ i(t)
6
v(t)
4
i(t)
2
2
4
6
8
!2
!4
!6
I = I ef ϕ
V = Vef ϕ
•
•
10
10
Funciones características
dv(t)
i(t) = C ⋅
dt
v(t) = Vef 2 sin (ω t + ϕ )
i(t) = ω CVef 2 cos (ω t + ϕ )
i(t) = ω CVef
V = Vef ϕ
•
π
π
+ϕ
⎛
⎞ I = I ef
2 sin ⎜ ω t + + ϕ ⎟ •
2
⎝
⎠
2
11
Funciones características
dv(t)
i(t) = C ⋅
dt
6
v(t)
4
2
2
4
6
8
!2
i(t)
!4
!6
π
I = I ef + ϕ
•
2
V = Vef ϕ
12
•
10
Funciones características
di(t)
v(t) = L ⋅
dt
i(t) = I ef 2 sin (ω t + ϕ )
v(t) = ω LI ef 2 cos (ω t + ϕ )
v(t) = ω LI ef
I = I ef ϕ
•
π
π
+ϕ
⎛
⎞ V = Vef
2 sin ⎜ ω t + + ϕ ⎟ •
2
⎝
⎠
2
13
Funciones características
di(t)
v(t) = L ⋅
dt
6
4
2
i(t)
2
4
6
8
10
!2
v(t)
!4
!6
I = I ef ϕ
•
14
π
V = Vef + ϕ
•
2
IMPEDANCIAS
15
Impedancias
Definición:
I
Sistema
Eléctrico
C
Impedancia es la relación
matemática entre el fasor de
V
Z
Voltaje y Corriente de un
Sistema Eléctrico
V = Z⋅I
•
Z =| Z | ϕ
•
16
Impedancias
Z es una propiedad del sistema
eléctrico.
Indica la relación que existe entre
los valores efectivos y el ángulo
de desfase entre el voltaje y
corriente de interés.
Sistema
Eléctrico
C
Z representa la impedancia del
sistema de la figura.
I
V
Z
V = Z⋅I
•
•
Las impedancias se pueden
sumar en paralelo o en serie.
17
Impedancias Componentes Básicas
Resistencia:
I = I ef ϕ
V = Vef ϕ
•
•
Vef = R ⋅ I ef
Reemplazando:
V = R 0 ⋅ I ef ϕ
V = R 0⋅I
•
•
Finalmente:
ZR = R 0
18
•
Impedancias Componentes Básicas
Condensador:
π
I = I ef + ϕ
•
2
V = Vef ϕ
•
I ef = ω ⋅ C ⋅Vef
Reemplazando:
π
I = ω CVef + ϕ
•
2
Finalmente:
π
I = ω C ⋅V
•
2 •
1
π
ZC =
−
ωC 2
19
1
π
V=
− ⋅I
•
ωC 2 •
Impedancias Componentes Básicas
Inductancia:
π
V = Vef + ϕ
•
2
I = I ef ϕ
•
Vef = ω ⋅ L ⋅ I ef
Reemplazando:
π
V = ωL ⋅ I
•
2 •
π
V = ω LI ef + ϕ
•
2
Finalmente:
π
ZL = ω L
2
20
Impedancias Componentes Básicas
Resumen
Relación I ,V según la impedancia del componente:
•
•
j
ZR = R 0
j
π
Z L = ω L = jω L
2
I
V
!
j
1
π
1
ZC =
− = −j
ωC 2
ωC
I
!
V
21
I
V
!
PROCEDIMIENTO
ANÁLISIS FASORIAL
22
Procedimiento
Convertir el circuito original (que depende de
señales en el tiempo), en un circuito que sólo tenga
Fasores e impedancias (es decir, que depende sólo
de la frecuencia y el desfase entre las señales)
Utilizar técnicas conocidas de redes eléctricas
vistas en el curso para determinar las variables
eléctricas. La única diferencia es que se deben
utilizar números complejos.
Finalmente, convertir la solución fasorial en una
señal que dependa del tiempo.
23