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Estudiando Trigonometría
La idea es relacionar los segmentos de un triángulo rectángulo cualquiera con sus
respectivos ángulos interiores de modo que tras un tiempo se generalice a cualquier situación
def.: Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa
a +b = c
2
2
2
Definición:
Se llamarán como se indican a las siguientes razones:
seno ( ( ) =
cateto opuesto
cateto adyacente
coseno ( ( ) =
hipotenusa
hipotenusa
tan gente ( ( ) =
cateto opuesto
cateto adyacente
Ejemplificación
5
13
12
cos(α ) =
13
5
tan (α ) =
12
sin (α ) =
12
13
5
cos ( β ) =
13
12
tan ( β ) =
5
sen( β ) =
Del mismo modo se definen
Cosecante ( ( ) =
Hipotenusa
Cateto Opuesto
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Secante ( ( ) =
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Cotangente ( ( ) =
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
1
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Estudiando Trigonometría
Ejercicios: complete cada uno de los triángulos rectángulos y determine las razones
trigonométricas correspondientes
Casos particulares
Al analizar el caso de un triangulo equilátero, de lado
unitario, tal que una altura lo descomponga en dos
triángulos rectángulos, tendremos un cateto de medida ½ y
una hipotenusa de lado 1.
Basado en el ello, al aplicar el teorema de Pitágoras
llegaremos a que el valor buscado corresponde a lo
siguiente
2
⎛1⎞
x + ⎜ ⎟ = 12
⎝2⎠
1
x2 + = 1
4
1
x2 = 1 −
4
3
x=
4
2
x=
3
2
Por ende se podrá completar fácilmente la tabla de asignación para seno, coseno y tangente
sin ( 30° ) =
1
2
3
2
1
cos ( 60° ) =
2
sen(60°) =
3
2
1
tan ( 30° ) =
3
cos(30°) =
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tan ( 60° ) = 3
2
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Aplicando la misma estrategia para un cartabón, las
respectivas razones para 45° se simplifican de la siguiente
forma
x2 + x2 = 1
2 x2 = 1
1
x2 =
2
1
2
x=
=
2
2
Luego
La tabla se podra ampliar de la siguiente forma
sin ( 30° ) =
1
2
3
2
1
tan ( 30° ) =
3
cos(30°) =
2
2
2
cos(45°) =
2
tan ( 45° ) = 1
sin ( 45° ) =
3
2
1
cos ( 60° ) =
2
sen(60°) =
tan ( 60° ) = 3
Grafica de las funciones Trigonométricas
Si analizamos el comportamiento de los catetos de un
triangulo rectángulo tal que uno de sus vértices este
asociado al centro de la misma y el otro a la
circunferencia, tendremos una estructura tal que la
hipotenusa del mismo corresponde al radio.
Si la consideramos unitaria el proceso será el
siguiente:
La línea de color azul representara el cateto
opuesto, entonces al dividir su medida por el valor de
la hipotenusa (1) el valor obtenido será equivalente al
seno del ángulo.
Del mismo modo la línea de color rojo representara al cateto adyacente, luego su medida
representara la medida del coseno del ángulo.
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3
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Graficando dichas línea se puede obtener fácilmente las graficas
α
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Aplicaciones
¿Cuanto mide la altura del árbol, sabiendo que su
sombra a cierta hora del día es de 12 metros?
Sabemos que los segmentos relacionados son los catetos
opuesto y adyacente, luego, la razón trigonométrica a usar
es la tangente del ángulo.
Si llamamos h a la altura de dicho árbol, la razón se
escribirá de la siguiente forma
tan ( 30° ) =
12 m
s
etro
h
12
Entonces
h = 12 ⋅ tan(30°) =
12
=4 3
3
Un tablón de 15 metros esta apoyado con el borde de una muralla. Sabiendo que la
bases del tablón y del muro se encuentra a 3 metros de distancia. ¿Cuánto mide el alto
dicha muralla?
En este caso tenemos una relación entre el
cateto adyacente y la hipotenusa, pretendiendo
encontrar el cateto opuesto. Claramente lo
podemos resolver usando el teorema de
Pitágoras, pero usaremos una relación
trigonométrica para plantearlo
Sabemos que
h
3
y que cos (α ) =
15
15
2
2
Y sabemos que sen (α ) + cos (α ) = 1
sen (α ) =
Entonces
2
2
⎛h⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠
h2
9
225
+
=
225 225 N
225
1
h 2 = 225 − 9
h = 216
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Desde un acantilado se ve un barquito flotando en el mar, con un ángulo de declinación
de 20°. Sabiendo que el observador se encuentra a 80 metros de altura en relación al
nivel del mar. A que distancia se encuentra el barco?
Si la distancia proyectada desde el
punto del observador sobre el suelo
tendremos dos catetos para trabajar
tg ( 20° ) =
80 metros
luego
80
d
Luego
d=
20°
80
tg ( 20° )
Altura
Desde de una cierta distancia
se observa una cruz en la cima
de un cerro. Sabiendo que
dicha cruz mide exactamente
30 metros de altura.¿Cuál es la
altura del cerro?
10°
Relacionando
tg ( 45° ) =
35°
h
h + 30
y tg ( 35° ) =
d
d
Despejando de la primera expresión
Y de la segunda
d ⋅ tg ( 45° ) = h + 30 ⇒ h = d ⋅ tg ( 45° ) − 30
h = d ⋅ tg ( 35° )
Igualando
d ⋅ tg ( 45° ) − 30 = d ⋅ tg ( 35° )
d ⋅ tg ( 45° ) − d ⋅ tg ( 35° ) = 30
entonces, bastará reemplazar en la segunda relación
h = d ⋅ tg ( 35° )
d ⋅ ⎡⎣tg ( 45° ) − tg ( 35° ) ⎤⎦ = 30
d=
h=
30
tg ( 45° ) − tg ( 35° )
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30
⋅ tg ( 35° )
tg ( 45° ) − tg ( 35° )
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Dos observadores notan un platillo volador sobrevolando, con siniestras intenciones, el
centro de Santiago. Ambas personas se comunican por celular y confirman su
posición, lo cual les da como dato que están separados por 6 kilómetros, y los
respectivos ángulos de elevación con que notan dicha amenaza. ¿A qué altura se
encuentra?
h
40°
6000-X
60°
X
6000- X
Sabemos que las relaciones se basan en los catetos mostrados en la figura. Por ende al
aplicar las tangentes pertinentes tendremos que
tg (40) =
h
6000 − x
y
tg (60°) =
h
x
Entonces, despejando e igualando tendremos que
( 6000 − x ) ⋅ tg (40°) = x ⋅ tg (60°)
6000 ⋅ tg (40°) − x ⋅ tg (40°) = x ⋅ tg (60°)
6000 ⋅ tg (40°) = x ⋅ tg (60°) + x ⋅ tg (40°)
6000 ⋅ tg (40°) = x ⋅ [tg (60°) + tg (40°) ]
x=
6000 ⋅ tg (40°)
tg (60°) + tg (40°)
Por ende, evaluando en la expresión tg (60°) =
h=
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h
tendremos h = x ⋅ tg (60°) , por ende
x
6000 ⋅ tg (40°)
⋅ tg (60°)
tg (60°) + tg (40°)
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Desde tres puntos alejados entre si, tres observadores se sorprenden al notar un
impresionante bicho en el cielo. Dos de ellos saben exactamente a que distancia se
encuentran y, afortunadamente, todos pueden medir el ángulo de elevación en que se
encuentra el fenómeno
h
40°
30°
10
50°
b
a
¿A qué distancia se encuentran entre si y a qué altura sobrevuela la misteriosa ave?
Por tangentes se observa que
tg ( 30° ) =
h
10 + a + b
tg ( 40° ) =
h
a+b
tg ( 50° ) =
h
b
Despejando h en cada una de ellas se llega a
h
10 + a + b
h = (10 + a + b ) tg ( 30° )
tg ( 30° ) =
h = 10 ⋅ tg ( 30° ) + a ⋅ tg ( 30° ) + b ⋅ tg ( 30° )
De la segunda expresión
h = ( a + b ) ⋅ tg ( 40° )
h = a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° )
Y de la tercera
h = b ⋅ tg ( 50° )
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Igualando convenientemente en pares de estas ecuaciones se llega a un sistema.
10 ⋅ tg ( 30° ) + a ⋅ tg ( 30° ) + b ⋅ tg ( 30° ) = a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° )
El cual, al ser ordenado se simplifica en lo siguiente
10 ⋅ tg ( 30° ) + a ⋅ tg ( 30° ) + b ⋅ tg ( 30° ) = a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° )
Despejando
Ordenando
10 ⋅ tg ( 30° ) = a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° ) − a ⋅ tg ( 30° ) − b ⋅ tg ( 30° )
10 ⋅ tg ( 30° ) = a ⋅ tg ( 40° ) − a ⋅ tg ( 30° ) + b ⋅ tg ( 40° ) − b ⋅ tg ( 30° )
Lo cual queda como
10 ⋅ tg ( 30° ) = a ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ + b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
De otro par tendemos un desarrollo similar
a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° ) = b ⋅ tg ( 50° )
Ordenando se tendrá que
0 = − a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 50° ) − b ⋅ tg ( 40° )
Y factorizando
0 = − a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎡⎣tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎤⎦
Ordenando estas ideas en un sistema tendremos que
a ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ + b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ = 10 ⋅ tg ( 30° )
− a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎡⎣tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎤⎦ = 0
Si aplicamos el método de reducción en torno a la variable a tendremos lo siguiente
a ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ + b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ = 10 ⋅ tg ( 30° )
− a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎡⎣tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎦⎤ = 0
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a ⋅ tg ( 40° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
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Es decir
a ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) = 10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
− a ⋅ tg ( 40° ) ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ + b ⋅ ⎡⎣tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ = 0
Lo cual se reduce a
b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) = 10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
b ⋅ ⎣⎡tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎦⎤ ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎦⎤ = 0
Entonces
b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) = 10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
b ⋅ ⎣⎡tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎦⎤ ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎦⎤ = 0
Adicionando ambas ecuaciones
b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) = 10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
Factorizando por b
{
}
b ⋅ ⎣⎡tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎦⎤ ⋅ tg ( 40° ) + ⎣⎡tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) = 10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
Despejando b
b=
10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° ) + ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° )
Reduciendo
b=
10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅ tg ( 40° )
2 ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅ tg ( 40° )
Simplificando
b=
5
10 ⋅ tg ( 30° ) ⋅tg ( 40° )
2 ⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦ ⋅tg ( 40° )
Se tendrá que
b=
Profesor Eduardo Flores
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
10
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Reemplazando este valor en cualquiera de las otras ecuaciones, como por ejemplo la
segunda, se llegará a que
a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ tg ( 40° ) = b ⋅ tg ( 50° )
Reemplazando
a ⋅ tg ( 40° ) +
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
Ordenando
a ⋅ tg ( 40° ) =
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
Reduciendo
a ⋅ tg ( 40° ) =
Y despejando
a=
⋅ tg ( 40° ) =
⋅ tg ( 50° ) −
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
⋅ tg ( 50° )
⋅ tg ( 40° )
5 ⋅ tg ( 30° )
⋅ ⎡⎣tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎤⎦
⎣⎡tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎦⎤
⎡tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎤⎦
⋅⎣
tg ( 40° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
5 ⋅ tg ( 30° )
¿Y el valor de h?
Bastará reemplazar en la ecuación más simple h = b ⋅ tg ( 50° ) , es decir
h = b ⋅ tg ( 50° )
h=
5 ⋅ tg ( 30° )
⎡⎣tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎤⎦
⋅ tg ( 50° )
¿Complicado?
Trabajemos con números. Eso le simplificará la idea.
Veamos el sistema, pero evaluando las expresiones
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
a ⋅ tg ( 40° ) − tg ( 30° ) + b ⋅ tg ( 40° ) − tg ( 30° ) ⎥ = 10 ⋅ tg ( 30° )
⎥
⎥
⎢
⎢
0,8390
0,5773 ⎦
0,8390
0,5773 ⎦
0,5773
⎣
⎣
0,2617
0,2617
⎡
⎤
− a ⋅ tg ( 40° ) + b ⋅ ⎢tg ( 50° ) − tg ( 40° ) ⎥ = 0
⎥
⎢
0,8390
1,1917
0,8390 ⎦
⎣
0,3526
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Es decir
0, 2617 ⋅ a ⋅ +0, 2617 ⋅ b = 5, 773
−0,8390 ⋅ a + 0,3526 ⋅ b = 0
¿Lo encontró más simple?
Precisamente ese es el punto.
Usted puede desarrollar las ideas en forma ordenada y llegar a conclusiones interesantes sólo
si mantiene un orden en su proceso. El objetivo de esta técnica de estudio es precisamente
invitarlo a plantear las estrategias necesarias para relacionar los segmentos en su libre
albedrío. Usted ha de decidir como resolver y, por ende, la aplicación de las herramientas en
una forma de definir su procedimiento personal.
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Algunos ejercicios
Ejercicio nº 1.a.) Calcula x e y en el triángulo:
b.) Halla el seno, el coseno y la tangente de
los ángulos α y β
Ejercicio nº 2.Sabiendo que 0° < α < 90°, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales:
sen α
0,8
cos α
tg α
0,75
Ejercicio nº 3.Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual
entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el
ángulo que hay entre la rampa y el suelo.
Ejercicio nº 4.Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del
triángulo rectángulo siguiente:
Ejercicio nº 5.Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de
la antena bajo un ángulo de 30°.
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Ejercicio nº 6La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo
que se forma entre los lados iguales es de 40°. Calcula el
perímetro y el área del triángulo.
Ejercicio nº 7.Hallar las razones trigonométricas de los ángulos α y
β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.
Ejercicio nº 8.Calcular el sen(α) y cos(α) de un ángulo agudo,α, sabiendo que tg α =
4
3
Ejercicio nº 9.Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55 º.
a.) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b.) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
Ejercicio nº 10Dos ambulancias, distanciadas 8 km
en línea recta, reciben una llamada de
urgencia de una casa. Observa la
figura y calcula la distancia que separa
a cada ambulancia de la casa:
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Ejercicio nº 11Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol
de 21 m. proyecta una sombra de 24 m.
Sol: 49 m
Autoevaluación
1.
Los valores según la figura de senα , cos α y tgα , respectivamente son:
a)
4 4
,
3 5
4 3
,
5 5
3 4
,
5 3
4 3
,
3 5
4 4
,
5 3
b)
c)
d)
e)
2.
y
y
y
y
y
3
5
4
3
4
5
4
5
3
5
De acuerdo al esquema
I Determinar el valor de x, redondeando al
entero.
a)
b)
c)
d)
e)
35,9
35,8
36
35,58
36,1
II
Determinar la altura del edificio
redondeando a dos cifras decimales
a)
b)
c)
d)
e)
21,44
21,45
21
21,4
21,5
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3.
Los catetos del siguiente triángulo miden a = 8 cm. y c = 24 cm. Encontrar todos los
valores que faltan
a)
b)
c)
d)
e)
α = 90º,
β =25º,
b = 18 cm
α = 18,43º, β =71,56º, b = 25,29 cm
α = 18,43cm, β =71,56cm, b = 25,29º
α = 71,56º, β =18,43º, b = 25,29 cm
α = 25,29º, β =18,43º, b = 71,56 cm
4.
Calcular el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 m de alto cuando el sol
se encuentra a 30º por encima del horizonte.
a)
b)
c)
d)
e)
3,84 cm
3,84 m
250 cm
259,81 m
259,81 cm
5.
Desde lo alto de un faro de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de elevación desde
un bote es de 15º. ¿A qué distancia está el bote del faro?
a)
b)
c)
d)
e)
447,84 cm
447,84 m
447 cm
447m
446 m
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6.
En la azotea de un edificio se instala una torre de transmisión de ondas de la radio
USACH de 32 m de alto. Desde la cumbre de la torre se dirige una visual a un punto P
del suelo situado a una cierta distancia a la pared del edificio obteniéndose un ángulo
de depresión de 48º. A su vez desde la azotea del edificio la visual para el mismo punto
P se obtiene con un ángulo de depresión de 35º. Determinar la altura del edificio y la
distancia del punto P a la pared de este mismo.
a) h = 54,55m;
d =77,9m
b) h = 54,55cm; d =77,9cm
32
c) h = 77,9m;
d =54,55m
d) h = 77,9cm;
d =54,55cm
e) h = 77m;
d =54m
h
48° 35°
P
7.
Dado el triángulo DEF, rectángulo en F,
encontrar las medidas del ángulo ε
a)
b)
c)
d)
e)
8.
d
ε = 90º
ε = 180º
ε =45º
ε =360º
ε =40º
Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, la hipotenusa vale 15 cm. y ∠ACB = 20º.
Calcular α , a y c
a) α =70º c = 5,13cm
a = 14,09cm
b) α =70º c = 14,09cm a = 5,13cm
c) α =90º c = 5,13cm
a = 14,09cm
d) α =70º c = 5,13m
a = 14,09m
e) α =70º c = 5,13m
a = 14,09m
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ITEM : DESARROLLO
1. Dado el triángulo rectángulo ABC:
A
a) Hallar c
b) Hallar a
4 cm
c
39°
C
a
B
2. Dado el triángulo rectángulo EFG hallar el ángulo EFG.
3. Si sen α =
13
hallar el valor de
5
a) cos α
b) tan α
c)
2 − 3 ⋅ cot gα
4 − 9 sec 2 α − 1
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
( Teorema Seno y Coseno)
1. Dos vigilantes de incendios están ubicados en sus torres A y
B. Ambos divisan fuego en un punto C. Si las torres de
observación están a 1,5 Km. una de la otra. ¿Cuán lejos se
encuentra el fuego de la Torre A?
46°
2. Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de
10 metros de altura. Si el ángulo de elevación del sol en
relación al observador es de 30°, calcular la distancia entre el
hombre y la torre.
95°
3. Hasta la cima un risco de 60 metros de altura sobre el nivel del mar el ángulo de elevación desde
un bote de pesca es de 15°. ¿Cuán lejos de la base del risco se encuentra el bote?
4. Un octágono regular se inscribe en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular el perímetro del
octágono.
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ITEM: SELECCIÓN MULTIPLE
1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura, se tiene que c=5 cm y = 3cm. Con respecto a él, no es
verdad que:
a)
b)
c)
d)
e)
sen α = cos β
cos α = 0,6
cos β = 0,8
tan α = 1,3
cosec α = 1,25
B
β
c
a
α
C
A
2. En el triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de tan α + tan β , en función de los lados es:
a)
c
ab
b)
ab
c
c)
a2
bc
d)
b2
ac
e)
c2
ab
3. Encuentra la altura del árbol de la figura adjunta sabiendo que tg(β) =
a)
b)
c)
d)
e)
8m
6m
3/8 m
8/3 m
24 m
1
4
h
β
24 m
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Estudiando Trigonometría
4. ¿Cuál de los siguientes valores no puede corresponder a sen α ?
a)
2
3
b) 0,9
c) 0,6
d)
e)
3
2
2
5. Al reducir al primer cuadrante sen 160° se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e)
sen 20°
– sen 20°
– cos 70°
–cos 20°
Ninguna de las anteriores.
6. Es un ejemplo de identidad trigonométrica:
a)
b)
c)
d)
sen2α + cos2α = -1
sen2 - cos2α = -1
sen α = cos α
sec α = 1
cosα
e) tg2 α = 1 + sec2 α
7. El valor de tangente 135° es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
–1
0
∞
otro valor
8. Sabiendo que tan(α + β ) =
tan α + tan β
, entonces tan 105°=?
1 − tan α ⋅ tan β
a) –2
b) − 2 − 3
3
2
d) − 1 − 3
e)
3+2
c) 1 +
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Estudiando Trigonometría
9. Un barco se encuentra frente a un acantilado de 954 metros sobre el nivel del mar. Al dirigir la
visual desde la proa del barco hasta la cumbre del acantilado se obtiene un ángulo de elevación de
25°30’. Entonces el barco se encuentra de la orilla aproximadamente a :
a)
b)
c)
d)
e)
455 m
440 m
2 km
0,93 km
otro valor
10. Si x = cos α , y = 3sen²α , entonces la expresión 3 x ² + y equivale a:
a)
b)
c)
d)
1
3
4
6
e)
1
3
ITEM : DEMOSTRACIONES
Demuestra las siguientes identidades:
cos 2 α
+ senα
senα
a)
= c osec α
b) tg α ( sen α + cot g α · cos α ) = sec α
c)
cos α
1 + senα
−
=0
1 − senα
cos α
Pregunta inocente. ¿Qué opinas de agregar
•
•
•
•
•
•
•
Identidades,
Teorema del Seno,
Teorema del coseno
Teorema de la tangente
Razones de ángulos dobles, medios o múltiplos
Razones de suma y/o diferencia de ángulos
Teorema de Moivre ?
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