Solucions a “Ejercicis i problemes”

10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
PÀGINA 220
Pàg. 1
■Practica
Relacions entre successos
  1
En un sorteig de loteria observem la xifra en què acaba la “grossa”.
a)Quin n’és l’espai mostral?
b)Escriu els successos: A = menor que 5; B = parell.
c)Troba els successos A « B, A » B, A', B', A' » B'.
a)El espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b)A = “menor que 5” = {0, 1, 2, 3, 4}
B = “par” = {0, 2, 4, 6, 8}
c)A « B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
A' = {5, 6, 7, 8, 9}
  2
A » B = {0, 2, 4}
B' = {1, 3, 5, 7, 9}
A' » B' = {5, 7, 9}
Escrivim cada una de les lletres de la paraula premi en una fitxa i les posem en
una bossa. N’extraiem una lletra a l’atzar.
a)Escriu els successos elementals d’aquest experiment. Tenen tots la mateixa probabilitat?
b)Escriu el succés “obtindre-hi vocal” i calcula’n la probabilitat.
c)Si la paraula triada fóra sort, com respondries als apartats a) i b)?
a)Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}.
Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez.
b)V = “obtener vocal” 8 V = {E, I, O}; P[V] = 3 = 1
6 2
c)Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T}; P [V] = 3 = 1
6 2
En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por aparecer
dos veces.
  3
Llancem un dau roig i un altre verd. N’anotem el resultat. Per exemple, (3, 4)
significa 3 en el roig i 4 en el verd.
a)Quants elements té l’espai mostral?
b)Descriu els successos següents:
A: la suma de punts és 6; A = {(5, 1), (4, 2), …}
B: En un dels daus ha eixit 4; B = {(4, 1), …}
C: En els daus va eixir el mateix resultat.
c)Descriu els successos A « B, A » B, A » C.
d)Calcula la probabilitat dels successos dels apartats b) i c).
e)Calcula la probabilitat de A', B' i C'.
a)Como tenemos dos dados, cada uno con 6 caras, tenemos 6 resultados en uno para
cada uno de los 6 resultados del otro. Es decir, en total, 36 elementos en el espacio
muestral.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
b)A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}
Pàg. 2
B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
c)A « B 8 E
n uno de los dados ha salido un 4 o la suma de los dos es 6.
A»B 8 H
abiendo salido un 4, la suma de los dos es 6, es decir, {(4, 2), (2, 4)}.
A » C 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}.
  4
d)P [A ] = 5 36
P [B] = 11 36
P [A « B] = 14 = 7 36 18
e)P [A' ] = 1 – P [A ] = 31 36
P [A » B ] = 2 = 1 36 18
P [B' ] = 1 – P [B] = 25 36
P [C ] = 6 = 1
36 6
P [A » C ] = 1
36
P [C' ] = 1 – P [C ] = 5
6
El joc del dòmino consta de 28 fitxes. En traiem una a l’atzar i anotem la suma
(x) de les puntuacions.
a)Quin n’és l’espai mostral? Digues la probabilitat de cada un dels 13 casos que
poden donar-se.
b)Descriu els successos:
A: x és un nombre primer. B: x és major que 4. A « B, A » B, A'.
c)Calcula les probabilitats dels successos descrits en l’apartat b).
a)E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12}
P [0] = 1 ; P[1] = 1 ; P[2] = 2 ; P[3] = 2 ; P[4] = 3 ; P[5] = 3 ; P[6] = 4 ;
28
28
28
28
28
28
28
P [7] = 3 ; P[8] = 3 ; P[9] = 2 ; P[10] = 2 ; P[11] = 1 ; P[12] = 1
28
28
28
28
28
28
b)A = {2, 3, 5, 7, 11}
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A » B = {5, 7, 11}
A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}
c)P [A] = P [2] + P [3] + P [5] + P[7] + P[11] = 11
28
P [B] = 19
P[A « B] = 23
P[A » B ] = 7 = 1
28
28
28 4
P[A' ] = 1 – P [A] = 17
28
Experiències simples
  5
En la loteria primitiva s’extrauen boles numerades de l’1 al 49. Calcula la probabilitat que la primera bola extreta siga un nombre…:
a)… d’una sola xifra.
b) … múltiple de 7.
c) … major que 25.
a)P [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] = 9
49
c)P [26, 27, 28, …, 49] = 24
49
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
b) P [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49] = 7 = 1
49 7
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
  6
S’extrau una carta d’una baralla espanyola. Digues quina és la probabilitat
que siga:
b) figura i oros.
c) no siga espases.
a)rei o as.
a)P [rey o as] = 8 = 1
40 5
b) P [figura y oros] = P [figura de oros] = 3 = 1
40 10
c)P [no sea espadas] = 30 = 3
40 4
  7
Llancem dos daus i anotem la puntuació del major
(si coincidixen, la d’un d’ells).
a)Completa la taula i digues les probabilitats dels sis successos elementals 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
b)Troba la probabilitat dels successos:
A: nre. parell, B: nre. menor que 4, A » B.
1
2
2
5
4
6
6
a)
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
3
3
3
4
5
6
4
4
4
4
5
6
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
P [1] = 1 ; P[2] = 3 = 1 ; P[3] = 5
36
36 12
36
P[4] = 7 ; P[5] = 9 = 1 ; P[6] = 11
36
36 4
36
b)P [A ] = 3 + 7 + 11 = 21 = 7 ; P[B ] = 1 + 3 + 5 = 9 = 1 ;
36 36 36 36 12
36 36 36 36 4
P [A » B] = P [2] = 1
12
Experiències compostes
  8
a) Tenim dues baralles de 40 cartes. Traiem una carta de cada una. Quina és la
probabilitat que ambdues siguen 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguen
figures (sota, cavall o rei)?
b)Tenim una baralla de 40 cartes. En traiem dues cartes. Quina és la probabilitat
que ambdues siguen un 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguen figura?
a)P [7 y 7] = 4 · 4 = 1 ; P [figura y figura] = 12 · 12 = 9
40 40 100
40 40 100
b)P [7 y 7] = 4 · 3 = 12 = 1 ; P [figura y figura] = 12 · 11 = 132 = 11
40 39 1 560 130
40 39 1 560 130
  9
Llancem tres daus. Quina és la probabilitat que les tres puntuacions siguen menors que 5?
P [las tres menores que 5] = P [< 5] · P [< 5] · P [< 5] = 4 · 4 · 4 = 8
6 6 6 27
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
Pàg. 3
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
10
Traiem una bola de cada urna. Calcula la probabilitat que:
a)Ambdues siguen roges.
b)Ambdues siguen negres.
c)Alguna siga verda.
a)P [roja y roja] = 3 · 2 = 6
5 5 25
b)P [negra y negra] = 2 · 2 = 4
5 5 25
c)P[alguna verde] = P [verde] + P [verde] = 0 + 1 = 1
5 5
11
Una urna té 3 boles roges i 2 verdes. N’extraiem dues. Calcula P[2 roges] i
P[2 verdes].
a)P [2 rojas] = 3 · 2 = 3
5 4 10
b)P [2 verdes] = 2 · 1 = 1
5 4 10
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
Pàg. 4