Exercicis resolts de probabilitat

10
CÀLCUL
DE PROBABILITATS
Pàgina 239
Càlcul de probabilitats
Calcula matemàticament quina és la probabilitat que una moneda d’1 cm de diàmetre “no toque ratlla” en la quadrícula de
3 cm × 3 cm.
De quina grandària ha de ser un disc perquè la probabilitat que “no toque ratlla”
en la quadrícula de 4 cm × 4 cm siga de
0,2?
En una quadrícula de 4 cm × 4 cm deixem
cuare 5 000 vegades una moneda i comptabilitzem que “no toca ratlla” en 1 341.
Estima quin és el diàmetre de la moneda.
Sobre un sòl de rajoles hexagonals regulars de 12 cm de costat es deixa caure
un disc de 10 cm de diàmete. Quina és la probabilitat que “no toque ratlla”?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1
Área del cuadrado grande = 32 = 9 cm2
Área del cuadrado pequeño = (3 – 1)2 = 4 cm2
P=
4
≈ 0,44
9
Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2
2
P = (4 – d ) = 0,2 ⇒ (4 – d )2 = 3,2 ⇒ 4 – d = ±1,8
16
4 – d = 1,8 → d = 2,2 cm
4 – d = –1,8 → d = 5,8 cm → No vale
Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2
P=
2
1 341
= 0,2682 = (4 – d )
5 000
16
(4 – d )2 = 4,2912 → d = 1,93 cm
Área del hexágono grande =
72 · 10,4
= 374,4 cm2
2
Perímetro = 72 cm
a
12 cm
a = √ 122 – 62 = 10,4 cm
12
Área del hexágono pequeño =
37,44 · 5,4
= 101,088 cm2
2
a' = a – r = 10,4 – 5 = 5,4 cm
a'
l
l l/2
2
2
l 2 – l = (a' )2; 3l = 29,16 → l = 6,24 cm → Perímetro = 37,44 cm
4
4
P=
101,088
= 0,27
374,4
Pàgina 240
1. Numerem amb 1, 2, 3 i 4 les quatre cares allargades d’una
regleta.
Deixem caure la regleta i n’anotem el nombre de la
cara superior.
a) Quin és l’espai mostral?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
2
b) Escriu un succés elemental i tres successos no elementals.
c) Quants successos té aquesta experiència?
a) E = {1, 2, 3, 4}
b) Elementales → {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales → {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}
c) 24 = 16 sucesos
Pàgina 239
2. Justifica gràficament la igualtat següent:
A U (B I C ) = (A U B ) I (A U C )
E
E
B
A
B
A
C
C
A U (B I C )
AUB
AUC
(A U B) I (A U C )
3. Justifica gràficament la igualtat següent:
A – B = A B'
E
E
A
B
B
A
A–B
A
B’
A I B’
Pàgina 245
1. Llancem un dau “sapastre” 1000 vegades. Obtenim f (1) = 117, f (2) = 302,
f (3) = 38, f (4) = 234, f (5) = 196, f (6) = 113. Estima les probabilitats de les diferentes cares. Quines són les probabilitats dels successos PARELL, MENOR QUE 6, {1, 2}?
P [1] =
117
= 0,117
1 000
P [4] = 0,234
P [2] = 0,302
P [3] = 0,038
P [5] = 0,196
P [6] = 0,113
P [PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649
P [MENOR
QUE
6] = 1 – P [6] = 1 – 0,113 = 0,887
P [{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
3
2. Quina és la probabilitat d’obtindre 12 en multiplicar els resultats de dos daus
correctes?
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
P=
4
1
=
36
9
3. Quina és la probabilitat que en llançar dos daus correctes la diferència dels
seus resultats siga 3?
Hacemos una tabla para la diferencia de resultados:
1er DADO
2o DADO


































–
1
2
3
4
5
6
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0
P [DIFERENCIA 3] =
6
1
=
36
6
Pàgina 247
1. Observa les boles que hi ha en l’urna.
2
1 1 1 1
1 2 2 2 1
a) Completa el quadre de doble entrada en què es reparteixen les boles segons
el color (V, R, N) i el número (1, 2).
b)Calcula la probabilitat de
sició de l’urna.
ROIG, NEGRE, VERD,
1 i 2, només observant la compo-
c) Comprova que les probabilitats obtingudes en b) es poden obtindre sumant
files o columnes del quadre format en a).
d) Calcula les probabilitats condicionades: P [1/ROIG], P [1/VERD], P [1/NEGRE ],
P [2/ROIG], P [2/VERD], P [2/NEGRE ].
e) Digues si algun dels caràcters ROIG, NEGRE, VERD és independent d’1 o de 2.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
4
a)
V
2
0
2
1
2
R
2
3
5
N
2
1
3
6
4
10
5
1
=
= 0,5
10
2
P [1] =
6
3
=
= 0,6
10
5
P [N] =
3
= 0,3
10
P [2] =
4
2
=
= 0,4
10
5
P [V] =
2
1
=
= 0,2
10
5
b) y c) P [R] =
d) P [1/R] =
2
2
; P [1/V] = 1; P [1/N] =
5
3
P [2/R] =
3
1
; P [2/V] = 0; P [2/N] =
5
3
e) No son independientes.
Pàgina 248
1. Calcula la probabilitat d’obtindre tres
P=
en llançar tres daus.
( ) = 2161 ≈ 0,0046
1 1 1
1
·
·
=
6 6 6
6
2. Calcula la probabilitat de
(quatre vegades NO SIS).
P=
QUATRES
3
CAP SIS
en llançar quatre daus
( ) = 0,48
4
5 5 5 5
5
·
·
·
=
6 6 6 6
6
3. Calcula la probabilitat d’obtindre
és el succés contrari de CAP SIS.)
ALGUN SIS
en llançar quatre daus. (ALGUN SIS
1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52
4. Calcula la probabilitat d’obtindre ALGUN SIS en llançar sis daus.
5
6
P [NO
SEIS
en un dado] =
P [NO
SEIS
en seis dados] =
( )
5 5 5 5 5 5
5
·
·
·
·
·
=
6 6 6 6 6 6
6
6
= 0,33
Por tanto:
P [ALGÚN
SEIS
en seis dados] = 1 – P [NO
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
SEIS
en seis dados] = 1 –
( )
5 6
= 0,67
6
5
Pàgina 249
5. Tenim un dau i les dues urne descrites més
amunt. Llancem el dau. Si ix 1 o 2, acudirem a
l’urna I. Si ix 3, 4, 5 o 6, acudim a l’urna II.
2
6
Extraiem una bola de l’urna corresponent.
4
6
a) Completa lles probabilitats en el diagrama
d’arbre.
b) Troba: P [{3, 4, 5, 6} i
], P [
/1], P [
(1,2)
(3,4,5,6)
/5] i P [2 i
].
a) Ver el ejemplo en la propia página 249.
b)
4
3
12 6
3
·
=
,
,
6 10
60 10 10
y
2
6
12
2
·
=
=
6 10
60
10
Pàgina 251
1. Tenim dues urnes: Lexperiència consisteix a
extraure una bola de I, introduir-la en II, re- I
moure i extraure, finalment, una bola de II.
II
Calcula la probabilitat que la segona bola extreta siga:
a) Roja.
b) Verda.
c) Negra.
3/5
1/5
II
1/5
1/6
2/5
2/6
2/5
II
1/5
3/6
2/5
1/5
II
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
2/5
P[
y
3
] = —16 · —35 = —
30
P[
y
1
] = —16 · —15 = —
30
P[
y
1 1
1
·—=—
]=—
6 5 30
P[
y
4
] = —26 · —25 = —
30
P[
y
4
] = —26 · —25 = —
30
P[
y
2 1
2
·—=—
]=—
6 5 30
P[
y
6
] = —36 · —25 = —
30
P[
y
3 1
3
·—=—
]=—
6 5 30
P[
y
3 2
6
·—=—
]=—
6 5 30
6
a) P [2-ª
]=
1
4
3
8
4
+
+
=
=
30
30 30
30
15
b) P [2-ª
]=
1
2
6
9
3
+
+
=
=
30
30
30
30
10
c) P [2-ª
]=
3
4
6
13
+
+
=
30
30
30
30
Pàgina 253
1. En l’exercici proposat de l’apartat anterior, calcula:
a) Si sabem que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que
que la primera també ho fóra? P [ 1-ª /2-ª ]
b) P [ 1-ª
/2-ª
]
c) P [ 1-ª
/2-ª
]
a) P [1-ª
/2-ª
]=
P[ y ]
3/30
3
=
=
P [2-ª ]
13/30
13
b) P [1-ª
/2-ª
]=
P[ y ]
1/30
1
=
=
P [2-ª ]
8/30
8
c) P [1-ª
/2-ª
]=
P[ y ]
6/30
6
2
=
=
=
P [2-ª ]
9/30
9
3
Pàgina 257
EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS
PER A PRACTICAR
1
Llancem un dau i una moneda. Els possibles resultats són (1, C), (1, +),
(2, C)…
a) Descriu l’espai mostral amb els dotze elements de què consta.
Siguen els successos:
A = “Traure un o dos en el dau”
B = “Traure + en la moneda”
D = {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)}
b) Descriu els successos A i B mitjançant tots els elements.
c) Troba A U B, A I B, A U D '
a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C),
(6, +)}
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
7
b) A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
c) A U B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
A I B = {(1, +), (2, +)}
D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
A U D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
2 Siga U = {a1, a2, a3} l’espai de successos elementals d’un experiment aleatori.
Quines d’aquestes funcions defineixen una funció de probabilitat? Justifica la
resposta.
a) P [a1] = 1/2
b) P [a1] = 3/4
P [a2] = 1/3
P [a2] = 1/4
P [a3] = 1/6
P [a3] = 1/4
c) P [a1] = 1/2
d) P [a1] = 2/3
P [a2] = 0
P [a2] = 1/3
P [a3] = 1/2
P [a3] = 1/3
a) P [a1] + P [a2] + P [a3] =
1
1
1
+
+
=1
2
3
6
Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
b) P [a1] + P [a2] + P [a3] =
3
1
1
5
+
+
=
>1
4
4
4
4
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
c) P [a1] + P [a2] + P [a3] =
1
1
+0+
=1
2
2
Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
d) P [a1] + P [a2] + P [a3] =
2
1
1
4
+
+
=
>1
3
3
3
3
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
8
33
Determina si són compatibles o incompatibles els successos A i B :
P [A] = 1/4, P [B] = 1/2, P [A U B] = 2/3
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A I B ] = 0.
Como:
P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ]
2
1
1
1
=
+
– P [A I B ] ⇒ P [A I B ] =
≠0
3
4
2
12
los sucesos A y B son incompatibles.
4
S
Una experiència aleatòria consisteix a preguntar a tres personas distintes,
elegides a l’atzar, si són partidàries o no de consumir un producte determinant.
a) Escriu l’espai mostral asociat a aquest experiment utilizant la lletra “s” per
a les respostes afirmatives i la “n” per a les negatives.
b) Quins elements de l’espai mostral anterior constitueixen el succés “almenys” dues de les persones són partidàries de consumir el producte”?
c) Descriu el succés contrari de “més d’una persona és partidària de consumir el producte”.
a) E = {(s, s, s), (s, s, n), (s, n, s), (n, s, s), (s, n, n), (n, s, n), (n, n, s), (n, n, n)}
b) {(s, s, s), (s, s, n), (s, n, s), (n, s, s)}
c) El suceso contrario es “una persona, o ninguna, son partidarias de consumir el
producto”. Por tanto, estaría formado por:
{(s, n, n), (n, s, n), (n, n, s), (n, n, n)}.
Es el suceso contrario al del apartado b).
5
En famílies de tres fills, s’estudia la distribució dels seus sexes. Per exemple
(V, M, M) significa que el major és home i els altres dues dones. Quants elements té l’espai mostral E ?
Descriu els successos següents: A = “La menor és dona”, B = “El major és
home”. En què consisteix A U B ?
E tiene 23 = 8 elementos.
A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
A U B = “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” =
= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)}
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
9
6
Es llancen dos daus. Calcula la probabilitat que la major de les puntuacions siga un 1, un 2, un 3, un 4,
un 5, un 6.
☛ Completa aquesta taula i raona-hi.
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
4
5
6
4
4
4
4
4
5
6
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
En la tabla vamos anotando la mayor puntuación obtenida. Así:
77
P [La mayor de las puntuaciones sea un 1] =
1
36
P [La mayor de las puntuaciones sea un 2] =
3
1
=
36
12
P [La mayor de las puntuaciones sea un 3] =
5
36
P [La mayor de las puntuaciones sea un 4] =
7
36
P [La mayor de las puntuaciones sea un 5] =
9
1
=
36
4
P [La mayor de las puntuaciones sea un 6] =
11
36
Una classe es compon de vint xics i deu xiques. La meitat de les alumnes i la
meitat dels alumnes aproven les matemàtiques. Calcula la probabilitat que,
en elegir una persona a l’atzar, resulte ser:
a) Alumna o que aprova les matemàtiques.
b) Alumne que suspenga les matemàtiques.
c) Sabent que és alumne, quina és la probabilitat que aprove les matemàtiques?
d) Són independents els successos ALUMNE i APROVA MATEMÀTIQUES?
☛ Fes-ne una taula de contingència.
Hacemos la tabla de contingencia:
APRUEBAN MAT.
SUSPENDEN MAT.
ALUMNOS
ALUMNAS
10
10
20
5
5
10
15
15
30
a) P [alumna U aprueba mat.] = P [alumna] + P [aprueba mat.] –
– P [alumna I aprueba mat.] =
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
10
15
5
20
2
+
–
=
=
30
30
30
30
3
10
b) P [alumno I suspende mat.] =
10
1
=
30
3
10
1
=
20
2
c) P [aprueba mat./alumno] =
d) Hay que ver si:
P [alumno I aprueba mat.] = P [alumno] · P [aprueba mat.]
Calculamos cada una:
P [alumno I aprueba mat.] =
P [alumno] =
10
1
=
30
3
20
2
=
30
3
P [aprueba mat.] =
15
1
=
30
2
Por tanto, sí son independientes.
8
Digues quin és l’espai mostral corresponent a les següents experiències aleatòries. Si és finit i té pocs elements, digues-los tots, i si en té molts, descriulo i digues-ne el nombre total.
a) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el número.
b) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el coll.
c) Extraien dues cartes d’una baralla espanyola i n’anotem el coll de cada
una.
d) Llancem sis monedes distintes i n’anotem el resultat.
e) Llancem sis monedes distintes i n’anotem el nombre de cares.
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
b) E = {OROS,
COPAS, ESPADAS, BASTOS}
c) Llamamos: O =
OROS;
C=
COPAS;
E=
ESPADAS;
B=
BASTOS.
Entonces:
E = {(O, O), (O, C ), (O, E ), (O, B), (C, O), (C, C ), (C, E ), (C, B), (E, O), (E, C ),
(E, E ), (E, B), (B, O), (B, C ), (B, E ), (B, B)}
d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por
seis resultados que pueden ser cara o cruz:
(x1, x2, x3, x4, x5, x6)
xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo:
(C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E.
e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
11
Pàgina 258
PER A RESOLDRE
9
En una caixa hi ha sis boles numerades, tres amb nombres positius y les altres tres amb nombres negatius. Se n’extrau una bola i després una altra,
sense reemplaçament.
a) Calcula la probabilitat que el producte dels nombre obtinguts siga positiu.
b) Calcula la probabilitat que el producte dels nombres obtinguts siga negatiu.
Hacemos un diagrama en árbol:
⊕
1 2
2
P [⊕ ⊕] = — · — = —
2 5 10
3/5
−
1 3
3
P [⊕ − ] = — · — = —
2 5 10
3/5
⊕
1 3
3
P [ − ⊕] = — · — = —
2 5 10
2/5
−
1 2
2
P [− −] = — · — = —
2 5 10
2/5
⊕
1/2
1/2
−
2
2
4
a) P [⊕ ⊕] + P [ – – ] =
+
=
= 0,4
10
10
10
b) P [⊕ – ] + P [ – ⊕] =
10
10
S
3
3
6
+
=
= 0,6
10
10
10
En una certa ciutat, el 40% de la població té els cabells castanys, el 25% té
els ulls castanys i el 15% té els cabells i els ulls castanys.
S’en tria una persona a l’atzar:
a) Si té els cabells castanys, quina és la probabilitat que també tinga els ulls
castanys?
b) Si té els ulls castanys, quina és la probabilitat que tinga els cabells castanys?
c) Quina és la probabilitat que no tinga ni els cabells ni els ulls castanys?
☛ Usa una taula com la següent:
ULLS CAT.
CAB. CAST.
ULLS NO CAST.
15
40
25
100
CAB. NO CAST.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
12
Hacemos la tabla:
OJOS CAST.
OJOS NO CAST.
15
10
25
25
50
75
CAB. CAST.
CAB. NO CAST.
a)
15
3
=
= 0,375
40
8
b)
15
3
=
= 0,6
25
5
c)
50
1
=
= 0,5
100
2
40
60
100
11 Dues persones juguen a obtindre la puntuació més alta llançant els seus
daus A i B. El dau A té quatre cares amb la puntuació 6 i les altres dues cares
amb la puntuació 6 i les altres dues cares amb la puntuació 10. El dau B té x
una cara, amb la puntuació 3, quatre cares amb puntuació 6 i l’altra amb
puntuació 12. Quin jugador té més probabilitat de guanyar?
☛ Fes una taula on apareguen les 6 possibilitats del dau A i les del dau B. En cada
una de les 36 caselles anota qui guanya en cada cas.
Formamos una tabla en la que
aparezcan todas las posibilidades
(las 6 del dado A y las 6 del B).
En cada casilla ponemos quién
gana en cada caso:
A
6
6
6
6
10
10
3
A
A
A
A
A
A
6
—
—
—
—
A
A
A gana en 14 casos.
6
—
—
—
—
A
A
B gana en 6 casos.
6
—
—
—
—
A
A
En 16 casos hay empate.
6
—
—
—
—
A
A
En una tirada, la probabilidad de
que gane A es:
12
B
B
B
B
B
B
P [A] =
B
14
7
=
36
18
La probabilidad de que gane B es:
P [B] =
6
1
=
36
6
Por tanto, A tiene mayor probabilidad de ganar.
12
S
Dels successos A i B se sap que:
P [A] =
2,
1
1
P [B] =
i P [A' I B' ] = .
5
3
3
Halla P [A U B ] i P [A I B ].
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
13
• P [A' I B' ] = P [(A U B)'] = 1 – P [A U B ]
1
2
= 1 – P [A U B ] ⇒ P [A U B ] =
3
3
• P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ]
2
2
1
=
+
– P [A I B ]
3
5
3
P [A I B ] =
13
S
1
15
Siguen A i B dos successos d’un espai de probabilitat, de manera que:
P [A] = 0,4, P [B] = 0,3 i P [A I B ] = 0,1
Calcula raonadament:
a) P [A U B ]
b) P [A' U B']
c) P [A/B ]
d) P [A' I B' ]
a) P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
b) P [A' U B' ] = P [(A I B)' ] = 1 – P [A I B ] = 1 – 0,1 = 0,9
0,1
1
c) P [A/B ] = P [A I B ] =
=
0,3
3
P [B ]
d) P [A' I B' ] = P [(A U B )' ] = 1 – P [A U B ] = 1 – 0,6 = 0,4
14
A, B i C són tres successos d’un mateix espai mostral. Expressa en funció
d’aquests els successos:
a) Se’n realitza algun dels tres.
b) No se’n realitza cap dels tres
c) Se’n realitzen els tres.
d) e’n realitzen dos dels tres.
e) Se’n realitzen, almenys, dos dels tres.
a) A U B U C
b) A' I B' I C'
c) A I B I C
d) (A I B I C' ) U (A I B' I C ) U (A' I B I C )
e) (A I B I C' ) U (A I B' I C ) U (A' I B I C ) U (A I B I C )
15
S
Un examen consisteix a elegir a l’atzar dos temes d’entre els deu del programa i desenvolupar-ne un.
a) Un alumne sap 6 temes. Quina probabilitat té d’aprovar l’examen?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
14
b) Quina probabilitat té el mateix alumne de saber-se un dels temes elegits i
l’altre no?
a) P[APROBAR] = P[SABE 1-º Y 2-º] + P[SABE 1-º Y NO 2-º] + P[NO SABE 1-º Y SÍ 2-º] =
=
6
5
6
4
4
6
30
24
24
78
13
·
+
·
+
·
=
+
+
=
=
≈ 0,87
10 9
10 9
10 9
90
90
90
90
15
b) P[SABE 1-º Y NO 2-º] + P[NO SABE 1-º Y SÍ 2-º] =
=
6
4
4
6
24
24
48
8
·
+
·
=
+
=
=
≈ 0,53
10 9
10 9
90
90
90
15
16 Es llança un dau dues vegades. Calcula la probabilitat que en la segona tirada
s’obtinga un valor major que en la primera.
En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son iguales; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo
es mayor que el primero (con la misma probabilidad).
Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el
de la primera.
Por tanto, la probabilidad pedida es:
P=
15
5
=
36
12
(NOTA: también se puede resolver el problema haciendo una tabla como la del ejercicio número 6 y contar los casos).
17 Un estudiant fa dues proves en un mateix dia. La probabilitat que passe la
17
S primera prova és 0,6. La probabilitat que passe la segona és 0,8 i la que passe ambdues és 0,5. Es demana:
a) Probabilitat que passe almenys una prova.
b) Probabilitat que no passe cap prova.
c) Són les proves successos independents?
d) Probabilitat que passe la segona prova en cas de no haver superat la primera.
Tenemos que:
P [pase 1-ª] = 0,6; P [pase 2-ª] = 0,8; P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5
a) P [pase 1-ª U pase 2-ª] = P [pase 1-ª] + P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª] =
= 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1
c) P [pase 1-ª] · P [pase 2-ª] = 0,6 · 0,8 = 0,48
P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5 ≠ 0,48
No son independientes.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
15
d) P [pase 2-ª/no pase 1-ª] =
18
P [pase 2-ª I no pase 1-ª]
=
P [no pase 1-ª]
=
P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª]
=
P [no pase 1-ª]
=
0,8 – 0,5
0,3
3
=
=
= 0,75
1 – 0,6
0,4
4
En una comarca hi ha dos periòdics: El Progressista i El Liberal. Se sap que
el 55% de les persones d’aquesta comarca llig El Progressista (P), el 40%
llig El Liberal (L) i el 25% no en llig cap.
Expressa en funció de P i L aquests successos:
a) Llegir els dos periòdics.
b) Llegir només El Liberal.
c) Llegir només El Progressista.
d) Llegir algun dels dos periòdics.
e) No llegir-ne cap dels dos.
f) Llegir-ne només un dels dos.
g) Calcula les probabilitats de: P, L, P I L, P U L, P – L, L – P, (L U P)', (L I P)'.
h) Sabem que una persona llig El Progressista. Quina probabilitat hi ha
que, a més, llija El Liberal? I que no el llija?
Tenemos que:
P [P] = 0,55; P [L ] = 0,4; P [P' I L' ] = 0,25
a) P [P' I L' ] = P [(P U L )' ] = 1 – P [P U L ]
0,25 = 1 – P [P U L ] ⇒ P [P U L ] = 1 – 0,25 = 0,75
P [P U L ] = P [P] + P [L ] – P [P I L ]
0,75 = 0,55 + 0,4 – P [P I L ] ⇒ P [P I L ] = 0,2
P [leer los dos] = P [P I L ] = 0,2
b) P [L ] – P [P I L ] = 0,4 – 0,2 = 0,2
c) P [P] – P [P I L ] = 0,55 – 0,2 = 0,35
d) P [P U L ] = 0,75
e) P [P' I L' ] = 0,25
f) P [P I L' ] + P [P' I L ] = 0,35 + 0,2 = 0,55
g) P [P] =0,55; P [L ] = 0,4; P [P I L ] = 0,2; P [P U L ] = 0,75
P [P – L ] = P [P] – P [P I L ] = 0,35
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
16
P [L – P] = P [L ] – P [P I L ] = 0,2
P [(L U P )' ] = P [L ' I P ' ] = 0,25
P [(L I P )' ] = 1 – P [L I P ] = 1 – 0,2 = 0,8
h) P [L/P ] =
P [L'/P ] =
P [L I P ]
0,2
20
4
=
=
=
≈ 0,36
P [P ]
0,55
55
11
P [L ' I P ]
0,35
35
7
=
=
=
≈ 0,64
P [P ]
0,55
55
11
(o bien: P [L'/P ] = 1 – P [L/P ] = 1 – 114 = 117 )
Pàgina 259
19
Una urna A té 3 boles blanques i 7 de negres. Una altra urna B té 9 boles
blanques i 1 de negra. Triem una de les urnes a l’atzar i n’extraiem una bola.
Calcula:
a) P [ BLANCA /A ]
b) P [ BLANCA /B ]
c) P [ A i BLANCA ]
d) P [ B i BLANCA ]
e) P [ BLANCA ]
f) Sabent que la bola obtinguda ha sigut blanca, quina és la probabilitat
d’haver triat l’urna B ?
a) P [BLANCA/A] =
3
= 0,3
10
b) P [BLANCA/B] =
9
= 0,9
10
c) P [A y
BLANCA]
=
1
3
3
·
=
= 0,15
2 10
20
d) P [B y
BLANCA]
=
1
9
9
·
=
= 0,45
2 10
20
e) P [BLANCA] = P [A y
f) P [B/BLANCA] =
20
BLANCA]
+ P [B y
BLANCA]
=
3
9
12
3
+
=
=
= 0,6
20
20
20
5
P [B y BLANCA]
9/20
9
3
=
=
=
= 0,75
P [BLANCA]
12/20
12
4
Tenim les mateixes urnes de l’exercici anterior. Traiem una bola de A i la
tirem a B i, a continuació, traiem una bola de B.
a) Quina és la probabilitat que la segona bola siga negra?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
17
b) Sabent que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que
també la primera fóra negra?
a) P [2-ª
NEGRA]
= P [1-ª
=
b) P [1-ª
BLANCA
NEGRA]
+ P [1-ª
NEGRA
y 2-ª
NEGRA]
=
3
1
7
2
3
14
17
·
+
·
=
+
=
10
11
10
11
110
110
110
NEGRA/2-ª NEGRA]
P [1-ª
=
=
21
y 2-ª
NEGRA
y 2-ª
P [2-ª
NEGRA]
NEGRA]
=
7/10 · 2/11
=
17/110
14/110
14
=
17/110
17
Tenim dues urnes amb aquestes composicions:
Extraiem una bola de cada urna. Quina és la probabilitat que siguen del mateix color? I la probabilitat que siguen de color diferent?
P [mismo color] =
6
5
4
6
2
7
30
24
14
68
17
·
+
·
+
·
=
+
+
=
=
12 18
12 18
12 18
216
216
216
216
54
P [distinto color] = 1 – P [mismo color] = 1 –
22
S
17
37
=
54
54
Un aparell elèctric està constituït per dos components A i B. Sabent que hi
ha una probabilitat de 0,58 que no falle cap dels components i que en el
32% dels casos falla B no havent fallat A, determina, justificant la resposta,
la probabilitat que en un d’aquests aparells no falle el component A.
Llamamos A = “falla A”; B = “falla B”.
Tenemos que:
A
B
P [A' I B'] = 0,58; P [B I A'] = 0,32
0,32
Así:
0,58
P [A'] = P [A' I B'] + P [B I A'] = 0,58 + 0,32 = 0,90
(A' I B') U (B I A') = A'
La probabilidad de que no falle A es de 0,90.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
18
23
Dos jugadors tiren a la vegada dues monedes cada un. Quina és la probabilitat que ambdós n’obtinguen el mateix nombre de cares (zero, una o dues)?
Raona-ho.
Para cada jugador tenemos que:
P [0] = P [0
CARAS]
P [1] = P [1
CARA]
P [2] = P [2
CARAS]
=
( )
=2·
=
2
1
2
1
4
1 1
1
·
=
2 2
2
( )
1
2
=
2
=
1
4
Los resultados de los dos jugadores son sucesos independientes. La probabilidad
de que ambos obtengan el mismo número de caras es:
(P [0])2 + (P [1])2 + (P [2])2 =
=
24
( ) ( ) ( )
1
4
2
+
1
2
2
+
1
4
2
=
1
1
1
6
3
+
+
=
=
= 0,375
16
4
16
16
8
Es llança un dau repetides vegades i estem interessats en el nombre de tirades necessàries per a obtindre un 6 per primera vegada.
a) Quin n’és l’espai mostral?
b) Quina és la probabilitat que el primer 6 s’obtinga en la setena tirada?
a) E = {1, 2, 3, …}
b) P [7-ª
25
TIRADA]
=
( )
5
6
6
·
1
15 625
=
≈ 0,558
6
279 936
Un producte està format de dues parts: A i B. El procés de fabricació és tal,
que la probabilitat d’un defecte en A és 0,06 i la probabilitat d’un defecte en
B és 0,07. Quina és la probabilitat que el producte no siga defectuós?
P [ningún defecto] = P [no defecto en A] · P [no defecto en B] =
= (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742
26
26
S
Una urna conté 10 boles blanques, 6 de negres i 4 de roges. Si se n’extrauen
tres boles amb reemplaçament, quina és la probabilitat d’obtindre’n 2 de
blanques i una de roja?
P [BBR] + P [BRB] + P [RBB] = 3 · P [BBR] = 3 ·
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
10 10
4
3
·
·
=
= 0,15
20 20 20
20
19
27
S
Una urna A conté 6 boles blanques i 4 de negres. Una altra urna B en té 5 de
blanques i 9 de negres. Elegim una urna a l’atzar i n’extraiem dues boles, que
resulten ser blanques.
Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la A.
Hacemos un diagrama en árbol:
A 6b 4n
1/2
1/2
B 5b 9n
6 ·—
5
—
10 9
5 ·—
4
—
14 13
P [2b] =
2b
1 ·—
6 ·—
5 =—
1
P [A y 2b] = —
2 10 9 6
2b
1 ·—
5 ·—
4 =—
5
P [B y 2b] = —
2 14 13 91
1
5
121
+
=
6
91
546
La probabilidad pedida será:
P [A/2b] =
28
S
P [A y 2b]
1/6
91
=
=
= 0,752
P [2b]
121/546
121
Es disposa de tres urnes: la A que conté dues boles blanques i quatre de roges, la B amb tres de blanques i tres de roges; i la C amb una de blanca i cinc
de roges.
a) S’elegeix una urna a l’atzar i se n’extrau una bola. Quina és la probabilitat
que aquesta bola siga blanca?
b) Si la bola extreta resulta ser blanca, quina és la probabilitat que procedisca de l’urna B?
A
B
C
a) Hacemos un diagrama en árbol:
2/6
b
4/6
r
3/6
b
3/6
r
1/6
b
5/6
r
A
1/3
1/3
B
1/3
C
P [b] =
1 ·—
2 =—
2
P [A y b] = —
3 6 18
1 ·—
3 =—
3
P [B y b] = —
3 6 18
1 ·—
1 =—
1
P [C y b] = —
3 6 18
2
3
1
6
1
+
+
=
=
≈ 0,33
18
18
18
18
3
b) P [B/b] =
P [B y b]
3/18
3
1
=
=
=
= 0,5
P [b]
6/18
6
2
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
20
Pàgina 260
29
S
Siguen A i B dos successos tals que: P [ A U B] =
Troba P [ B ], P [ A ], P [ A' I B ].
P [B] = 1 – P [B' ] = 1 –
3
2
1
P [ B' ] =
P [ A I B] =
4
3
4
2
1
=
3
3
P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ]
3
1
1
2
= P [A] +
–
⇒ P [A] =
4
3
4
3
P [A' I B ] = P [B ] – P [A I B ] =
30
S
1
1
1
–
=
3
4
12
En cert país on la malaltia X és endèmica, se sap que un 12% de la població
pateix aquesta malaltia. Es disposa d’una prova per a detectar la malaltia,
però no és totalment fiable, ja que dóna positiva en el 90% dels casos de
persones realment malaltes i també dóna positiva en el 5% de persones sanes.
Quina és la probabilitat que estiga sana una persona a qui la prova li ha donat positiva?
0,9
0,12
ENFERMO
0,88
NO ENFERMO
0,05
POSITIVO
P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108
POSITIVO
P [NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044
P [POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152
La probabilidad pedida será:
P [NO
31
S
ENF./POSITIVO]
=
P [NO ENF. Y POSITIVO]
0,044
=
= 0,289
P [POSITIVO]
0,152
En tres màquines, A, B i C, es fabriquen peces de la mateixa naturalesa. El
percentatge de peces que resulten defectuoses en cada màquina és, respectivament, 1%, 2% i 3%.
Es mesclen 300 peces, 100 de cada màquina, i es tria una peça a l’atzar, que
resulta ser defectuosa. Quina és la probabilitat que haja sigut fabricada en la
màquina A?
A
1/100
B
2/100
C
3/100
DEFECTUOSA
P [A y
DEF.]
1
1
1
=—·—=—
3 100 300
DEFECTUOSA
P [B y
DEF.]
1
2
2
=—·—=—
3 100 300
DEFECTUOSA
P [C y
DEF.]
1
3
3
=—·—=—
3 100 300
1/3
1/3
1/3
P [DEF.] =
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1
2
3
6
+
+
=
300
300
300
300
21
La probabilidad pedida será:
P [A/DEF.] =
32
S
P [A y DEF.]
1/300
1
=
=
P [DEF.]
6/300
6
Una caixa A conté dues boles blanques i dues de roges, i una altra caixa B
en conté tres de blanques i dues de roges. Es passa una bola de A a B i després s’extrau una bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilitat
que la bola traslladada haja sigut blanca.
b
B
4b 2r
4/6
2/4
2 4 1
b; P [1-ª b y 2-ª b] = — · — = —
4 6 3
2/4
r
B
3b 3r
3/6
2 3 1
b; P [1-ª r y 2-ª b] = — · — = —
4 6 4
A 2b 2r
P [2-ª b] =
1
1
7
+
=
3
4
12
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P [1-ª b/2-ª b] =
33
S
P [1-ª b y 2-ª b]
1/3
4
=
=
P [2-ª b]
7/12
7
Una urna A conté 5 boles blanques i 3 de negres. Una altra urna B, 6 de
blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l’atzar i n’extraiem dues boles, que
resulten ser negres. Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la B.
1/2
1/2
A 5b 3n
B 6b 4n
3 2
—·—
8 7
4 3
—·—
10 9
2n
1 3 2
3
P [A y 2n] = — · — · — = —
2 8 7 56
2n
1 4 3
1
P [B y 2n] = — · — · — = —
2 10 9 15
P [2n] =
3
1
101
+
=
56
15
840
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P [B/2n] =
34
S
P [B y 2n]
1/15
56
=
=
P [2n]
101/840
101
Tinc dues urnes, dues boles blanques i dues boles negres. Es desitja saber
com he de distribuir les boles en les urnes perquè, en elegir una urna a
l’atzar i extraure’n una bola a l’atzar, siga màxima la probabilitat d’obtindre bola blanca. L’única condició exigida és que cada urna tinga almenys
una bola.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
22
Hay cuatro posibles distribuciones. Veamos cuál es la probabilidad de obtener
blanca en cada caso:
a)
II
I
1
P [I y 앪] = —
2
1
1/2
I
0
1/2
1 1 1
P [II y 앪] = — · — = —
2 3 6
1/3
II
1
1 2
P [앪] = — + — = —
2
6 3
2/3
b)
II
I
1
1
P [I y 앪] = — · 1 = —
2
2
1
1/2
I
0
1/2
P [II y 앪] = 0
0
II
1
P [앪] = —
2
1
c)
II
I
P [I y 앪] = 0
0
1/2
I
1
1/2
1 2 1
P [II y 앪] = — · — = —
2 3 3
2/3
II
1
P [앪] = —
3
1/3
d)
II
I
1/2
1/2
1/2
I
1 1
1
P [I y 앪] = — · — = —
2 2
4
1/2
1/2
II
1 1 1
P [II y 앪] = — · — = —
2 2 4
1
1 1
P [앪] = — + — = —
4
4 2
1/2
Para obtener la máxima probabilidad de obtener una bola blanca, deberemos colocar una bola blanca en una de las urnas y las otras tres bolas en la otra urna.
35
S
Siguen A i B dos muntons de cartes. En A hi ha 8 oros i 5 espases i, en B,
4 oros i 7 espases. Traiem dues cartes del mateix muntó i resulta que ambdues
són espases. Troba la probabilitat que les hàgem tretes del muntó B.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
23
1/2
A(8o, 5e)
1/2
B(4o, 7e)
5
4
—·—
13 12
7
6
—·—
11 10
2e
2e
P [A y 2e] =
1
5
4
5
·
·
=
2 13 12
78
P [B y 2e] =
1
7
6
21
·
·
=
2 11 10
110
P [2e] =
5
21
547
+
=
78
110
2 145
Así, tenemos que:
P [B/2e] =
36
P [B y 2e]
21/110
819
=
=
≈ 0,749
P [2e]
547/2 145
1 094
Una urna conté 25 boles blanques sense marcar, 75 boles blanques marcades, 125 boles negres sense marcar i 175 boles negres marcades.
a) Se n’extrau una bola. Calcula la probabilitat que siga blanca.
b) Se n’extrau una bola i està marcada. Quina és la probabilitat que siga
blanca?
c) Se n’extrau una bola. Quina és la probabilitat que siga negra i estiga marcada?
d) Són independents els successos “traure bola marcada” i “traure bola blanca”?
Resumimos la información en una tabla:
MARCADAS
a) P [BLANCA] =
MARCADA]
75
25
100
NEGRAS
175
125
300
250
150
400
75
3
=
250
10
=
175
7
=
400
16
d) P [BLANCA] · P [MARCADA] =
P [BLANCA y
BLANCAS
100
1
=
400
4
b) P [BLANCA/MARCADA] =
c) P [NEGRA y
SIN MARCAR
MARCADA]
=
1 250
1 5
5
·
=
·
=
4 400
4 8
32
75
3
5
=
≠
400
16
32
No son independientes.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
24
37
Dues persones s’enfronten en un joc en què serà vencedor el primer que
guanye 5 partides. Però abans de finalitzar el joc, aquest s’interromp en el
moment en què un ha guanyat 4 partides i l’altre 3.
Com s’han de repartir els 4 200 euros que van apostar?
☛ Descriu en un diagrama d’arbre les possibles continuacions de la partida.
Llamamos A al jugador que lleva 4 partidas ganadas y B al de 3. Las posibles
continuaciones del juego son:
1/2
(gana A)
A
(A5, B3)
1/2
1/2
B
(A4, B4)
1/2
A
(A5, B4)
B
(A4, B5)
Por tanto, A debe llevarse
A →
38
1
1 1 1
1 3
P [gana A] = — + — · — = — + — = —
2
2
2
2
4 4
(gana A)
1 1 1
P [gana B] = — · — = —
2 2 4
(gana B)
3
1
del total y B,
; es decir:
4
4
3
4 200 = 3 150 €; B →
4
1
4 200 = 1 050 €
4
En un centre escolar hi ha tres grups de Batxillerat. El primer està compost
per 10 alumnes dels quals 7 prefereixen la música moderna, 2 prefereixen
la clàssica i 1 que no li agrada la música. En el segon, compost per 12 alumnes, la distribució de preferències és 5, 7, 0, respectivament; i, en el tercer,
format per 14 alumnes, la distribució de preferències és 6, 6, 2, respectivament.
S’elegeix un grup a l’atzar i es regalen 2 entrades per a un concert de música
clàssica a dos alumnes seleccionats a l’atzar.
a) Troba la probabilitat que els dos alumnes elegits siguen aficionats a la
música clàssica.
b) Si els dos alumnes agraciats són, efectivament, aficionats a la música clàssica, quina és la probabilitat que siguen del primer grup?
☛ Organitza les dades en una taula.
Organizamos los datos en una tabla:
MODERNA
CLÁSICA
NO
TOTAL
1-º
7
2
1
10
2-º
5
7
0
12
3-º
6
6
2
14
La probabilidad de elegir un grupo cualquiera es
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1
.
3
25
a) P [2
ALUMNOS DE CLÁSICA]
b) P [2
ALUMNOS DEL
=
1-º/AMBOS
1
2
1
1
7
6
1
6
5
·
·
+
·
·
+
·
·
= 0,168
3 10 9
3 12 11
3 14 13
DE CLÁSICA]
=
P [DOS DE 1-º DE CLÁSICA]
=
P [DOS DE CLÁSICA]
=
(1/3) · (2/10) · (1/9)
≈ 0,044
0,168
Pàgina 261
QÜESTIONS TEÒRIQUES
39
S
Siguen A i B dos successos tals que P [A] = 0,40; P [B/A] = 0,25 i P [B] = b.
Troba:
a) P [A I B].
b) P [A U B] si b = 0,5.
c) El menor valor possible de b.
d) El major valor possible de b.
a) P [A I B ] = P [A] · P [B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1
b) P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8
c) El menor valor posible de b es P [B ] = P [A I B ], es decir, 0,1.
d) El mayor valor posible de b es: 1 – (P [A] – P [A I B ]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7
40
Si la probabilitat que ocórreguen dos successos al mateix temps és p, quina
és la probabilitat que almenys un dels dos no ocórrega? Raona-ho.
Si P [A I B ] = p, entonces:
P [A' U B' ] = P [(A I B )' ] = 1 – P [A I B ] = 1 – p
41
Raona l’afirmació següent: si la probabilitat que ocórreguen dos successos a
la vegada és menor que 1/2, la suma de les probabilitats d’ambdós (per separat), no pot excedir de 3/2.
P [A] + P [B ] = P [A U B ] + P [A I B ] < 1 +
pues P [A U B ] ≤ 1 y P [A I B ] <
42
1
3
=
2
2
1
.
2
Siguen A i B dos successos d’un experiment aleatori. És possible que p
2
1
3
siga una probabilitat si: P [A] = , P [B] =
i P [A' I B ' ] =
?
5
5
10
P [A' I B' ] = P [(A U B )' ] = 1 – P [A U B ) =
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
3
7
⇒ P [A U B ] =
10
10
26
Por otra parte:
P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ]
7
2
1
–1
=
+
– P [A I B ] ⇒ P [A I B ] =
10
5
5
10
Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa.
43
Siga A un succés amb 0 < P [A] < 1.
a) Pot ser A independent del seu contrari A'?
b) Siga B un altre succés tal que B ⊂ A. Seran A i B independents?
c) Siga C un succés independent de A. Seran A i C ' independents?
Justifica les respostes.
a) P [A] = p ≠ 0; P [A' ] = 1 – p ≠ 0
P [A] · P [A' ] = p (1 – p) ≠ 0
P [A I A' ] = P [Ø] = 0
No son independientes, porque P [A I A' ] ≠ P [A] · P [A' ].
b) P [A I B ] = P [B]
¿P [A] · P [B ] = P [B ]? Esto solo sería cierto si:
• P [A] = 1, lo cual no ocurre, pues P [A] < 1.
• P [B ] = 0. Por tanto, solo son independientes si P [B ] = 0.
c) A independiente de C ⇒ P [A I C ] = P [A] · P [C ]
P [A I C' ] = P [A – (A I C )] = P [A] – P [A I C ] =
= P [A] – P [A] · P [C ] = P [A] (1 – P [C ]) = P [A] · P [C' ]
Por tanto, A y C' son independientes.
44
Si A i B són dos successos d’experiment aleatori i P [A] = 0:
a) Què podem dir de P [A I B]?
b) I de P [A U B]?
c) Respon les mateixes preguntes si P [A] = 1.
a) P [A I B] = 0
b) P [A U B] = P [B]
b) P [A I B] = P [B]; P [A U B] = P [A] = 1
45
En tirar tres daus, podem obtindre suma 9 de sis formes diferents:
126, 135, 144, 225, 234, 333
I altres sis d’obtindre suma 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
27
No obstant això, l’experiència ens diu que és més fàcil obtindre suma 10 que
suma 9. Per què?
1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 → cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir:
3 · 3! = 3 · 6 = 18
1, 4, 4; 2, 2, 5 → cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6
18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9.
25
P [suma 9] = 25 =
216
63
1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 → 6 · 3 = 18 formas
2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 → 3 · 3 = 9 formas
18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10.
P [suma 10] =
27
216
Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9].
PER A APROFUNDIR
46
Un home té temps per a jugar a la ruleta 5 vegades, com a màxim. Cada
aposta és d’1 euro. L’home comença amb 1 euro i deixarà de jugar quan perda l’euro o guanye 3 euros.
a) Troba l’espai mostral dels resultats possibles.
b) Si la probabilitat de guanyar o perdre és la mateixa en cada aposta, quina
és la probabilitat que guanye 3 euros?
a) Hacemos un esquema:
1(3) FIN
1(2)
GGG
1(2)
–1(1)
–1(0)
1
1(2)
1(1)
–1(0)
–1(0)
–1(–1) FIN
–1(–1) FIN
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1(3) FIN → GGPGG
–1(1) FIN → GGPGP
1(1) FIN → GGPPG
–1(–1) FIN → GGPPP
1(3) FIN → GPGGG
–1(1) FIN → GPGGP
1(1) FIN → GPGPG
–1(–1) FIN → GPGPP
GPP
P
28
El espacio muestral sería:
E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG,
GPGPP, GPP, P}
donde G significa que gana esa partida y P que la pierde.
b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con:
1 1 1
1
·
·
=
2 2 2
8
GGG → probabilidad =
( 12 ) = 321
1
1
GPGGG → probabilidad = ( ) =
2
32
5
GGPGG → probabilidad =
5
Por tanto:
P [gane 3 euros] =
47
S
1
1
1
3
+
+
=
= 0,1875
8
32
32
16
En una baralla de 40 cartes, s’agafen tres cartes distintes. Calcula la probabilitat que les tres siguen nombres distints.
P [3 números distintos] = 1 · P [2-ª dist. de la 1-ª] · P [3-ª dist. de la 1-ª y de la 2-ª] =
=1·
48
S
36 32
192
·
=
39 38
247
Triades cinc persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys dues
hagen nascut en el mateix dia de la setmana (és a dir, en dilluns, dimarts,
etc.)?
P [ninguna coincidencia] = 1 · P [2-ª en distinto día que la 1-ª] · …
… · P [5-ª en distinto día que 1-ª, 2-ª, 3-ª y 4-ª] =
=1·
6 5 4 3
360
·
·
·
=
= 0,15
7 7 7 7
2 401
P [alguna coincidencia] = 1 – P [ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85
49
S
En una competició de tir amb arc, cada tirador disposa, com a màxim, de
tres intents per a fer diana. En el moment en què ho aconsegueix, deixa de
tirar i supera la prova i, si no ho assoleix en cap dels tres intents, en queda
eliminat. Si la probabilitat de fer blanc amb cada fletxa, per a un determinat
tirador, és 0,8:
a) Calcula la probabilitat de no quedar eliminat.
b) Si sabem que ha superat la prova, quina és la probabilitat que ho haja
aconseguit en el segon intent?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
29
a) 1-ª forma
P [NO
ELIMINADO]
= P [AC 1-ª] + P [NO
AC
1-ª y
AC
2-ª] + P [NO
AC
1-ª y
NO AC
2-ª y
AC
3-ª] =
= 0,8 + 0,2 · 0,8 + 0,2 · 0,2 · 0,8 = 0,992
2-ª forma
P [NO
ELIMINADO]
= 1 – P [ELIMINADO] = 1 – P [NO
AC
1-ª y
NO AC
2-ª y
NO AC
3-ª] =
= 1 – 0,23 = 1 – 0,008 = 0,992
b) P [AC 2-ª/NO
50
S
ELIMINADO]
=
P [NO AC 1-ª y AC 2-ª]
0,2 · 0,8
=
≈ 0,1613
P [NO ELIMINADO]
0,992
Siga A el succés “una determinada persona A resol un determinat problema” i B el succés “el resol la persona B”. Se sap que la probabilitat que el
resolguen les dues és d’1/6; i, la que no el resolga cap de les dues és d’1/3.
Sabent que la probabilitat que el resolga una persona és independent que el
resolga l’altra, calcula P (A) i P (B).
Llamamos P [A] = x; P [B] = y. Como A y B son independientes:
P [A I B] = P [A] · P [B] → x · y =
1
6
Además, tenemos que:
P [A' I B' ] = P [(A U B)' ] =
1
3
→ P [A U B ] = 1 –
1
2
=
3
3
Pero:
P [A U B ] = P [A] + P [B] – P [A I B ] = x + y –
1
2
5
= , es decir: x + y =
6
3
6
Uniendo las dos condiciones anteriores:
1 
5
y=
–x
6 
6

5 
5
1 5x
1
x+y=
x
–x = ;
– x 2 = ; 5x – 6x 2 = 1
6 
6
6
6
6
x·y=
(
)
5 ± √ 25 – 24
5±1
6x 2 – 5x + 1 = 0; x =
=
12
12
6
1
x=—=—
12
2
4
1
x=—=—
12
3
Hay dos soluciones:
x=
1
2
→ y=
1
3
→
 P [A] = 1/2

 P [B] = 1/3
x=
1
3
→ y=
1
2
→
 P [A] = 1/3

 P [B] = 1/2
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
30
51
Què és més probable, obtindre alguna vegada un 6 llançant un dau 4 vegades o un doble 6 llançant dos daus 24 vegades?
P [AL
MENOS UN
P [DOBLE 6
(*)
CON
P [DOBLE 6
6
EN
2
DADOS EN
4
TIRADAS]
24
EN UNA TIRADA]
=
= 1 – P [NINGÚN 6
EN
4
TIRADAS]
=1–
(*)
( )
( )
TIRADAS]
= 1 – P [NINGÚN
DOBLE
6] = 1 –
( )
1
36
DOBLE
6] = 1 –
1
6
2
=
→ P [NO
5
6
4
35
36
≈ 0,5177
24
≈ 0,4914
1
35
=
36
36
Por tanto, es más probable sacar al menos un 6 lanzando 4 veces un dado.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
31