Problema del ½ punto. entregar en hoja aparte Considere el

Estadística 1.
FIB
12/01/04
Normativa de l’examen:
NO ES PERMÈS DE DUR LLIBRES O APUNTS.
ES POT DUR CALCULADORA I TAULES ESTADÍSTIQUES
Problema 1 resolt a l’enunciat
Problemes 2, 3 i 4 en fulls separats
Poseu el nom a tots els fulls
Les respostes han de estar escrites amb bolígraf
Durada de l’examen:
3 hores 00 minuts
(11:30 ... 14:30)
La data de la publicació de notes i revisió de problemes es precisarà al Racó de l’estudiant
Distribució d'aules d'examen alfabèticament per cognoms:
A5201
A5202
A5203
A5E01
A5E02
DE
DE
DE
DE
DE
Abraham
Bravo
Gifre
López
Quirós
A
A
A
A
A
Bosch
Gibal
Loan
Quesada
Zamora
Problema del ½ punto.
entregar en hoja aparte
Considere el siguiente fragmento de programa:
z=0
for (i=0; i<100; i++) {
for (j=0; j<100; j++) {
x=uniforme(-1,1);
y=uniforme(-1,1);
if (x*y > 0.0) z++;
}
}
uniforme(a,b) es una función que retorna un número real uniformemente distribuido
entre a y b. Llamadas sucesivas proporcionan resultados independientes.
Hemos hecho una ejecución del programa y se observa que, al final del fragmento, el
valor que guarda la variable z es 4500. Inmediatamente sospechamos que algo no ha ido
bien. Explique las razones de índole estadística que justifican esta conclusión.
Estadística 1.
FIB
12/01/04
PROBLEMA 2 (2,5 Punts)
Considere un sistema en el que el número de procesos es una variable X con la
siguiente función de probabilidad:
PX(k) = (1–α)· αk, para k=0, 1, 2, 3, ...; α es un número real positivo y menor que 1
Se implementa una estructura basada en un array de dimensión 3, en la que se quiere
incluir información de los tres procesos (si es que existen) que están en las primeras
posiciones entre todos los presentes. Es decir, algunas posibilidades serían:
A B C
(había al menos tres procesos)
A B
(sólo había dos)
(no había ninguno)
Definimos la variable aleatoria Y como el número de posiciones de este array que
están vacías en un momento determinado. Responda a las siguientes preguntas.
1. Obtenga la distribución de probabilidad de la variable Y. Conteste calculando
la función de probabilidad en función de α y describiendo claramente el
procedimiento por el que llega a este resultado, incluyendo cálculos
intermedios.
2. Halle y represente gráficamente la función de probabilidad y la función de
distribución de Y, suponiendo que α vale ¾.
Estadística 1.
FIB
12/01/04
3. Sabiendo que han transcurrido 30mn de concierto sin ninguna tos, calculen la
probabilidad de que acabe todo el concierto con una sola perturbación.
4. En el inicio del concierto, ¿qué intervalo de tiempo sin toses puede esperar el
director de orquesta?
5. Al final del concierto, suele haber bises cuya duración se puede considerar normal
de media 15mn y desviación tipo 5mn. Calculen la duración máxima del concierto
con un error del 5%:
a. suponiendo que la duración del descanso es igual a 15mn sin ninguna
variabilidad
b. suponiendo que la duración del descanso se puede considerar como una variable
normal de media 15mn y desviación tipo 3 mn, y que esta duración es
independiente de la duración de los bises.
PROBLEMA 4 (2,5 Punts– 0,5 Punts per apartat)
El dispositiu automàtic d’obertura d’un paracaigudes de càrrega ha estat dissenyat per
portar a llindars acceptables els danys als materials llençats: només en el 9,18% dels
llançaments els paracaigudes s’obren a una alçada que excedeixi els 240 metres i
només en el 4,75% s’obren a una alçada inferior a 150 m. En termes generals,
s’estableix que hi ha danys sobre la càrrega si el paracaigudes s’obre a una alçada
inferior a 100 m.
3. Calcule el número esperado de posiciones vacías en el array, asumiendo el
mismo valor de α del apartado anterior. Calcule también la desviación
estándar.
1. Un bon model probabilista per l’alçada d’obertura del paracaigudes és el normal
Indiqueu acuradament els seus paràmetres amb les dades subministrades.
4. Halle el valor de α que corresponde, sabiendo que la probabilidad de que el
array esté ocupado en una posición como máximo es 0.36.
2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que hi hagi dany de càrrega en
un llançament? I almenys en un de 5 paracaigudes llençats independentment?
PROBLEMA 3 (2,5 Punts)
Se deben justificar los resultados finales indicando las pautas seguidas, las
justificaciones teóricas y los resultados intermedios.
En el concierto de Año Nuevo interpretado por la Orquesta Filarmónica de Viena, los
espectadores evitan toser, como en todos los conciertos. No obstante, algunos ataques
de tos suelen perturbar a los espectadores y a los músicos. Está establecido que el
número de ataques de tos sigue una distribución de Poisson de parámetro 2 por hora.
El concierto consta de dos partes: la primera parte dura 45mn y la segunda parte dura
50mn, con un descanso de 15 mn.
Calculen:
1. La probabilidad de que no haya ningún ataque de tos en la primera parte.
2. La probabilidad de que haya entre 3 y 5 ataques de tos en todo el concierto
(excluyendo el intermedio).
Se sap que un 30% dels paracaigudes que venen de fàbrica estan fora
d’especificacions i requereixen d’algun petit ajust per tal que s’obrin convenientment
al ser llençats fora de l’avió. Considereu una mostra aleatòria de 200 paracaigudes.
Justifiqueu detalladament les lleis de probabilitat emprades per respondre a les
preguntes formulades a continuació.
3. Calculeu quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que entre 55 i 70
paracaigudes requereixin d’un ajust?
4. Quin és el nombre esperat de paracaigudes que cal examinar fins trobar-ne
exactament 1 al que calgui fer algun ajust?
5. Els avions de subministrament poden llençar, en condicions meteorològiques
favorables, un promig de 45 paracaigudes cada mitja hora. Quina és la probabilitat
que hi hagi un interval entre 2 llançaments consecutius de més de 2 minuts? Quina
és la probabilitat que en el llançament de 200 paracaigudes revisats, hi hagi menys
de 5 intervals entre llançaments de durada superior a 2 minuts?
Estadística 1.
FIB
12/01/04
Nom i cognoms:
PROBLEMA 1 (2,5 Punts)
Contestar al mateix enunciat
Un científic ha de realitzar un cicle de conferències passant per diverses universitats europees en
pocs dies. A un mes vista d’iniciar el seu viatge, decideix consultar una pàgina Web que busca i ven
bitllets de vol per Internet; està interessat en vols de línies aèries econòmiques i que permeten el
bitllet senzill (només d’anada) sense sobrecost. La taula següent indica com es distribueixen els vols
de dues d’aquestes companyies en les diferents franges horàries :
Companyia
R
E
Matí
(5am-11am)
0,45
0,10
Migdia
(11am-3pm)
0,05
0,40
Tarda
(3pm-5pm)
0,05
0,40
Vespre
(5pm-12pm)
0,45
0,10
La probabilitat que el buscador trobi un vol de la companyia R entre les ciutats M i L és 0,2; que en
trobi un operat per la companyia E, és de 0,5. Considereu que R i E són companyies que no
cobreixen cap trajecte en comú.
a) Quina és la probabilitat de trobar un vol de la companyia R per al trajecte buscat entre 3 i 5
de la tarda?
b) Calculeu ara la probabilitat que el científic trobi amb aquest buscador un vol per al trajecte
buscat entre 3 i 5 de la tarda, tenint en compte que la probabilitat que el buscador trobi en
aquesta franja horària altres companyies cobrint aquest trajecte és 0,15.
Estadística 1.
FIB
12/01/04
c) Sabent que el científic necessita viatjar en aquesta franja per poder ajustar adequadament la
seva agenda, quina és la probabilitat que pugui fer-ho amb la companyia E?
d) I, sabent que el buscador ha trobat trajectes d’altres companyies, quina és la probabilitat que
hagi trobat vols per aquest trajecte entre 3 i 5 de la tarda?