Solucions a “Ejercicis i problemes”

10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
PÀGINA 223
28
Pàg. 1
Xavier té 4 monedes de cinc cèntims, 3 de vint i 2 d’un euro. Si n’agafa dues a
l’atzar, troba la probabilitat d’aquests successos:
a)Que les dues siguen de cinc cèntims. b)Que cap siga d’un euro.
c)Que traga 1,20 €.
d)Que traga més de 30 cèntims.
En el diagrama de árbol, las monedas aparecen en céntimos. 1 € = 100 cént.
1.ª MONEDA
5
3/8
3/8
5
2/8
4/9
3/9
100
5
2/8
20
2/8
20
100
5
4/8
3/8
100
(
20
4/8
2/9
a)P [dos de 5 cént.] = 4 · 3 = 1
9 8 6
b)P [ninguna de 1 €] = 4 3 + 3 + 3 4 + 2 =
9 8 8
9 8 8
=7·6= 7
9 8 12
c)P [sacar 1,20 €] = P [100,20 cént.] =
=3·2+2·3=1
9 8 9 8 6
d)P [> 30 cént.] = 4 · 2 + 3 · 2 + 2 + 2 = 36 = 1
9 8 9 8 8
9 72 2
2.ª MONEDA
1/8
20
) (
(
100
)
)
nota. Elegir “al azar” no significa que todos los casos tengan la misma probabilidad.
¿Cómo se elige al azar una moneda de un conjunto de 9? Si la elección se hace “por insaculación” (es decir, metiéndolas en una bolsa y sacando la primera que se toque), entonces
es posible que las monedas grandes tengan mayor probabilidad de ser extraídas que las
pequeñas. En la resolución se ha supuesto que la probabilidad es la misma para todos los
tipos de monedas.
29
En una bossa hi ha 4 boles, dues estan marcades amb un 1 i les altres dues amb un
2. Se’n fan tres extraccions i se n’anoten els resultats en ordre.
Calcula la probabilitat que el nombre format siga el 121, suposant que l’experiència
siga:
a)Amb reemplaçament.
b)Sense reemplaçament.
a) 1.ª EXTRAC.
2.ª EXTRAC.
1
1/2
1/2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
a)P [121] = 1 · 1 · 1 =
2 2 2
b)P [121] = 1 · 2 · 1 =
2 3 2
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1
2
1
2
1
8
1
6
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3.ª EXTRAC.
b) 1.ª EXTRAC.
1
2
1
1
2
1/2
1
2
1/2
1
2
2.ª EXTRAC.
1/3
2/3
2
2/3
1/3
1
2
1
2
0
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1
0
3.ª EXTRAC.
1
2
1
2
1
2
1
2
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
30
Un joc consistix a tirar a cistella des de la línia de personal consecutivament fins
que es comet un error. S’anoten tants punts com encistellades. Per exemple: encertencert-encert-error són tres punts.
Per a un jugador que habitualment encistella el 75% de les personals, calcula la probabilitat que hi obtinga:
a)0 punts
b)1 punt
c)2 punts
d)3 punts
P [acertar] = 0,75
1.er TIRO
0,75
0,25
ACIERTA
3.er TIRO
2.º TIRO
0,75
0,25
ACIERTA
NO ACIERTA
0,75
0,25
ACIERTA
NO ACIERTA
4.º TIRO
0,75
0,25
ACIERTA
NO ACIERTA
NO ACIERTA
a)P [0 puntos] = 0,25
b)P [1 punto] = 0,75 · 0,25 = 0,19
c)P [2 puntos] = 0,75 · 0,75 · 0,25 = 0,14
d)P [3 puntos] = 0,75 · 0,75 · 0,75 · 0,25 = 0,105
31
Maties i Elena juguen amb una moneda. La llancen tres vegades i si ix dues vegades cara i una vegada creu o dues vegades creu i una vegada cara, guanya Maties. Si ix
tres vegades cara o tres vegades creu, guanya Elena.
Calcula la probabilitat que té cada un de guanyar.
1.er LANZAMIENTO
3.er LANZAMIENTO
2.º LANZAMIENTO
1/2
C
C
1/2
1/2
1/2
1/2
+
1/2
+
C
+
1/2
C
1/2
+
1/2
C
1/2
+
1/2
C
1/2
+
1/2
C
1/2
+
P [gane matías] = P [C, C, +] + P [C, +, C] + P [+, C, C] + P [+, +, C] +
+ P [+, C, +] + P [C, +, +]= 1 · 1 · 1 · 6 = 6 = 3
2 2 2
8 4
P [gane elena] = P [C, C, C] + P [+, +, +] = 2 = 1
8 4
32
Una família té 4 fills. Si la probabilitat de nàixer xiqueta és 0,51 i la de ser xiquet 0,49:
a)Quina és la probabilitat que siguen tots homes?
b)Quina probabilitat hi ha que hi haja alguna dona?
c)Calcula la probabilitat que totes siguen dones.
d)Quina probabilitat hi ha que hi haja dos xics i dues xiques?
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
Pàg. 2
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
a)P [4 hombres] = 0,494 = 0,058
b)P [alguna mujer] = 1 – P [ninguna mujer] = 1 – P [4 hombres] = 2 – 0,058 = 0,942
c)P [4 mujeres] = 0,514 = 0,068
d)P [mmhh] = 0,51 · 0,51 · 0,49 · 0,49 = 0,0624
Pero hay 6 formas posibles de conseguir 2 hombres y 2 mujeres:
mmhh mhmh mhhm hmmh hmhm hhmm
Por tanto, la probabilidad pedida es:
P [2 mujeres y 2 hombres] = 6 · 0,0624 = 0,374
33
Es fa girar cada una d’aquestes ruletes, i guanya la que aconseguisca la puntuació més alta.
Calcula la probabilitat que guanye A i la que guanye B.
A
B
1
7
8
2
1-2
7-2
8-2
3
1-3
7-3
8-3
9
1-9
7-9
8-9
P[gane A] = 4
9
P[gane B] = 5
9
■Problemes “+”
34
En una urna marcada amb la lletra A hi ha una bola roja i una negra. En una altra
urna, que porta la lletra B, hi ha una bola blava, una verda i una blanca.
Es llança un dau; si ix parell, es trau una bola de l’urna A, i si ix imparell, de l’urna B.
a)Escriu tots els resultats possibles d’aquesta experiència aleatòria.
b) Té la mateixa probabilitat el succés parell i roja que imparell i verda?
c) Calcula la probabilitat de tots els successos elementals i troba’n la suma. Què hi
obtens?
a)El espacio muestral es: E = {(par, roja), (par, negra), (impar, azul), (impar, verde),
(impar, blanca)}
°
b)P [par, roja] = 1 · 1 = 1 §
2 2 4
¢ 8 Son distintas.
P [impar, verde] = 1 · 1 = 1 §
2 3 6£
°
c)P [par, roja] = 1
§
4
§
§
P [par, negra] = 1 · 1 = 1
§
2 2 4
§
§
1
1
1
P [impar, azul] = · = ¢ 8 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 = 1
2 3 6 §
6 6 6 4 4 2 2
§
§ Se obtiene P[E ] = 1.
P [impar, verde] = 1
6
§
§
P [impar, blanca] = 1 · 1 = 1 §
2 3 6£
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
Pàg. 3
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
35
Quina és la probabilitat d’obtindre bola blanca en triar a l’atzar una d’aquestes
bosses i extraure’n una bola?
A
B
C
Blanca 1— · 3— = 1—
3 6 6
3
—
6
No blanca
A
3
—
6
1
—
3
1
—
3
B
1
—
3
4
—
6
1 ·—
4 =—
2
Blanca —
3 6 9
2
—
6
No blanca
5
—
6
5
Blanca 1— · 5— = —
3 6 18
C
1
—
6
36
P [blanca] = 1 + 2 + 5 = 12 = 2
6 9 18 18 3
No blanca
Llancem tres daus i n’anotem la major puntuació. Calcula la probabilitat que
siga 5.
Al tirar 3 dados, el número de posibilidades (casos posibles) es 63 = 216. Vamos a contar
en cuántas de ellas la mayor puntuación es 5 (hay algún 5 pero ningún 6). He aquí los
resultados:
puntuacions
1
1
5
1
2
5
1
3
5
1
4
5
1
5
5
2
2
2
2
3
5
2
4
5
2
5
5
3
3
5
3
4
5
3
5
5
4
4
5
4
5
5
5
5
5
possibilitats
3
6
6
6
3
3
6
6
3
3
6
3
3
3
1 total: 61
El recuento lo hemos organizado ordenando las tres puntuaciones de menor a mayor. A
cada combinación le hemos asignado el número de ordenaciones que se pueden dar con
esos resultados. Por ejemplo:
1 1 5°
§
1 5 1 ¢ Son 3 posibilidades.
5 1 1 §£
Esto ocurre siempre que haya dos puntuaciones iguales y otra distinta. Si las tres puntuaciones son distintas, hay 6 ordenaciones:
125
152
215
251
512
521
Si las tres puntuaciones coinciden, obviamente solo hay una posible ordenación.
El total de posibilidades es 61. Por tanto, la probabilidad de que al lanzar tres dados la
mayor puntuación sea 5 es:
P [la mayor es un 5] = 61
216
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
Pàg. 4
10 Solucions a “Ejercicis i problemes”
37
Llancem tres daus i n’anotem la puntuació mitjana. Calcula la probabilitat
que siga 5.
Procedemos de forma similar a como lo hemos hecho en el ejercicio anterior.
puntuacions
1
5
5
2
5
5
3
5
5
4
5
5
5
5
5
1
5
6
2
5
6
3
5
6
4
5
6
5
5
6
possibilitats
3
3
3
3
1
6
6
6
6
3 total: 40
P [el mediano es 5] = 40 = 5
216 27
38
Tenim tres cartolines. La primera té una cara roja (R), i l’altra, blava (B); la
segona B i verda (V), i la tercera, V i R.
Les deixem caure sobre una taula. Què és més probable, que dues siguen del mateix
color o que les tres siguen de colors diferents?
Hacemos un diagrama en árbol:
1/2
A
R
1/2
1/2
1/2
1/2
A
1/2
V
A
V
P [2 iguales] = 6 = 3
8 4
P [Todas distintas] = 2 = 1
8 4
Es más probable que salgan dos colores iguales.
Unitat 10. Càlcul de probabilitats
1/2
V
RAV
1/2
R
RAR
1/2
V
RVV
1/2
R
RVR
1/2
V
AAV
1/2
R
AAR
1/2
V
AVV
1/2
R
AVR
Pàg. 5