Talba de funciones especiales y sus propiedades

Definiciones y propiedades útiles de
funciones ortogonales:
Funciones trigonométricas:
(para funciones de período T )
sen(kn x) y cos(kn x), con kn =
en (0, T )
2πn
T
y n entero son base de las funciones
T́
Ortogonalidad: sen(kn x)sen(kn0 x)dx =
0
T
0
2 δnn
T
0
2 δnn
T́
, cos(kn x)cos(kn0 x)dx =
0
T́
, cos(Kn x)sen(kn0 x)dx = 0
0
(para funciones cualquiera en R)
eikx es “base” de las funciones en R
´
0
Ortogonalidad: e−ik x eikx dx = 2πδ(k 0 − k)
Polinomios de Legendre:
l
1 dl
x2 − 1 son base de las funciones en (−1, 1) que no diPl (x) = 2!l!
dxl
vergen en ±1.
1
2
Primeros polinomios:P
0 (x) = 1 , P1 (x) = x , P2 (x) = 2 3x − 1 ,
P3 (x) = 12 5x3 − 3x , P4 (x) = 18 35x4 − 30x2 + 3
1́
Ortogonalidad:
Pl (x)Pl0 (x)dx =
−1
2
0
2l+1 δll
Otras propiedades:
l
Pl (1) = 1 , Pl (−x) = (−1) Pl (x) ,
d
dx Pl (x)|x=1
Algunas relaciones de recurrencia:
(l + 1)Pl+1 (x) = (2l + 1)xPl (x) − lPl−1 (x)
x2 −1 d
l dx Pl (x)
= xPl (x) − Pl−1 (x)
(2l + 1)Pl (x) =
d
dx
[Pl+1 (x) − Pl−1 (x)]
1
=
l(l+1)
2
∀l
Armónicos esféricos:
q
(l−m)! m
imφ
son una base de las funciones bien
Ylm (θ, φ) = 2l+1
4π (l+m)! Pl (cosθ)e
comportadas en [θ ∈ (0, π), φ ∈ (0, 2π)] y periódicas en φ. Donde:
l = 0, ..., ∞ , m = −l, ..., l enteros
m dm
0
Plm (x) = (−1)m 1 − x2 2 dx
m Pl (x) , en particular: Pl (x) = Pl (x)
Primeros armónicos:
Y00 (θ, φ) =
√1
4π
q
q
3
3
Y1±1 (θ, φ) = ∓ 8π
sen(θ)e±iφ , Y10 (θ, φ) = 4π
cos(θ)
q
q
±1
15
15
2
±i2φ
±iφ
sen
(θ)e
,
Y
(θ,
φ)
=
∓
,
Y2±2 (θ, φ) =
2
4π sen(θ)cos(θ)e
q 8π
5
Y20 (θ, φ) = 16π
3cos2 (θ) − 1
´ ´ m∗
0
Ortogonalidad:
Yl (θ, φ)Ylm
(θ, φ)dΩ = δll0 δmm0
0
Funciones de Bessel
2
d y
dy
2
2
1) Soluciones de la ecuación de Bessel x2 dx
2 + x dx + (x − α )y = 0
Si α no es entero Jα (x) y J−α (x) son soluciones linealmente independientes, donde:
∞
P
(−1)m
x 2m+α
Jα (x) =
, con Γ(x) es la generalización del facm!Γ(m+α+1) 2
m=0
torial, de modo que Γ(n + 1) = n! para enteros.
Si α = n entero, entonces Jn (x) y Nn (x) son soluciones independientes,
−α (x)
.
donde:Nn (x) = lim Jα (x)cos(απ)−J
sen(απ)
α→n
en este caso Jn (x) converge en 0 e Nn (x) diverge en 0
También suelen usarse como soluciones independientes las funciones de
Hankel:
(1)
Hα (x) = Jα (x) + iNα (x)
(2)
Hα (x) = Jα (x) − iNα (x)
2
d y
dy
2
2) Soluciones de la ecuación de Bessel modificada x2 dx
2 + x dx − (x +
(1)
α2 )y = 0 Iα (x) = i−α Jα (ix) y Kα (x) = π2 iα+1 Hα (ix) y por tanto Iα (x)
converge en 0 y Kα (x) diverge en 0.
1
x α
Desarrollos asintóticos: x 1 : Jα (x) → Γ(α+1)
, N0 (x) → π2 ln x2 + 0, 5772...
2
2 α
, Nα (x) → −Γ(α)
π
x q para α 6= 0
q
2
π
2
απ
π
x 1 : Jα (x) → πx
cos x − απ
2 − 4 , Nα (x) →
πx cos x − 2 − 4
2
á
Relaciones de ortogonalidad:
0
ρJα xαn0 aρ Jα xαn aρ dρ =
a2
2
donde Jα (xαn ) = 0. O sea, xαn es la reíz n-esima de la función Jα
3
2
[Jα+1 (xαn )] δnn0