Ortogonalidad - Docencia DIM

Semana 12 [1/17]
Ortogonalidad
20 de octubre de 2007
Ortogonalidad
Semana 12 [2/17]
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales
Queremos asociar a un conjunto de vectores, de forma “canónica”, una base
ortonormal del subespacio que genera.
Conjunto ortonormal
Un conjunto {v1, . . . , vk } ⊆ Rn es ortogonal si hvi , vj i = 0 i 6= j.
1
Si además kvi k = hvi , vi i 2 = 1, el conjunto es ortonormal.
Si {v1, ...vk } es además base de Rn , se trata de una base ortonormal.
Ortogonalidad
Semana 12 [3/17]
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales
Queremos asociar a un conjunto de vectores, de forma “canónica”, una base
ortonormal del subespacio que genera.
Conjunto ortonormal
Un conjunto {v1, . . . , vk } ⊆ Rn es ortogonal si hvi , vj i = 0 i 6= j.
1
Si además kvi k = hvi , vi i 2 = 1, el conjunto es ortonormal.
Si {v1, ...vk } es además base de Rn , se trata de una base ortonormal.
Ortogonalidad
Semana 12 [4/17]
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales
Queremos asociar a un conjunto de vectores, de forma “canónica”, una base
ortonormal del subespacio que genera.
Conjunto ortonormal
Un conjunto {v1, . . . , vk } ⊆ Rn es ortogonal si hvi , vj i = 0 i 6= j.
1
Si además kvi k = hvi , vi i 2 = 1, el conjunto es ortonormal.
Si {v1, ...vk } es además base de Rn , se trata de una base ortonormal.
Ortogonalidad
Semana 12 [5/17]
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales
Queremos asociar a un conjunto de vectores, de forma “canónica”, una base
ortonormal del subespacio que genera.
Conjunto ortonormal
Un conjunto {v1, . . . , vk } ⊆ Rn es ortogonal si hvi , vj i = 0 i 6= j.
1
Si además kvi k = hvi , vi i 2 = 1, el conjunto es ortonormal.
Si {v1, ...vk } es además base de Rn , se trata de una base ortonormal.
Ortogonalidad
Semana 12 [6/17]
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales
Proposición
Sea {v1, . . . , vk } ⊆ Rn \ {0} ortogonal, entonces {v1, . . . , vk } es l.i.
Ortogonalidad
Semana 12 [7/17]
Ortogonalidad
Método Gram-Schmidt
Teorema (Gram-Schmidt)
Dado un conjunto {v0, . . . , vm } ⊆ Rn , existe un conjunto {u0, . . . , uk } tal que
h{v0, . . . , vm }i = h{u0, . . . , uk }i .
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Semana 12 [8/17]
Ortogonalidad
Método Gram-Schmidt
1:
2:
3:
4:
w0
Definir w0 = v0 y u0 = ||w
0 ||
j=1
for i ∈ {1, . . . , m} do
j−1
P
hvi , uk i uk
Definir wj = vi −
k =0
5:
6:
7:
8:
9:
10:
if wj = 0 then
Ir a línea 3, a continuar con la iteración i + 1 del ciclo.
end if
w
Definir uj = ||wj ||
j
j =j +1
end for
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Semana 12 [9/17]
Ortogonalidad
Ejemplo
Construir una base ortogonal del subespacio generado por:
       
1
1
1 
 0
0,1,1,0


1
1
1
0
Ortogonalidad
Semana 12 [10/17]
Ortogonalidad
Ejemplo
Construir una base ortogonal del subespacio generado por:
       
1
1
1 
 0
0,1,1,0


1
1
1
0
Ortogonalidad
Semana 12 [11/17]
Ortogonalidad
Subespacio ortogonal
Subespacio ortogonal
W un subespacio de Rn .
S.e. ortogonal:
W ⊥ = {u ∈ Rn | ∀w ∈ W
Ortogonalidad
hw , ui = 0}.
Semana 12 [12/17]
Ortogonalidad
Subespacio ortogonal
Subespacio ortogonal
W un subespacio de Rn .
S.e. ortogonal:
W ⊥ = {u ∈ Rn | ∀w ∈ W
Ortogonalidad
hw , ui = 0}.
Semana 12 [13/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Lema
(i) W ⊥ es un subespacio de Rn .
(ii)
Rn = W ⊕ W ⊥ .
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Semana 12 [14/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Lema
(i) W ⊥ es un subespacio de Rn .
(ii)
Rn = W ⊕ W ⊥ .
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Semana 12 [15/17]
Ortogonalidad
Producto Hermítico
Producto Hermítico
Dados u =
u1
...
u
n
,v =
v1
...
v
∈ Cn ,
n
hu, v iH =
n
X
uj vj .
j=1
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Semana 12 [16/17]
Ortogonalidad
Producto Hermítico
Producto Hermítico
Dados u =
u1
...
u
n
,v =
v1
...
v
∈ Cn ,
n
hu, v iH =
n
X
uj vj .
j=1
Ortogonalidad
Semana 12 [17/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Propiedades
∀λ ∈ C, u, v , w ∈ Cn
1
hu, v iH = hv , uiH .
2
hλu + v , w iH = λ hu, w iH + hv , w iH .
3
hu, uiH ∈ R, más aún hu, uiH ≥ 0 y hu, uiH = 0 ⇐⇒ u = 0.
De 1 y 2, se deduce que
hu, λv + w iH = λ̄ hu, v iH + hu, w iH .
Ortogonalidad
Semana 12 [18/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Propiedades
∀λ ∈ C, u, v , w ∈ Cn
1
hu, v iH = hv , uiH .
2
hλu + v , w iH = λ hu, w iH + hv , w iH .
3
hu, uiH ∈ R, más aún hu, uiH ≥ 0 y hu, uiH = 0 ⇐⇒ u = 0.
De 1 y 2, se deduce que
hu, λv + w iH = λ̄ hu, v iH + hu, w iH .
Ortogonalidad
Semana 12 [19/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Propiedades
∀λ ∈ C, u, v , w ∈ Cn
1
hu, v iH = hv , uiH .
2
hλu + v , w iH = λ hu, w iH + hv , w iH .
3
hu, uiH ∈ R, más aún hu, uiH ≥ 0 y hu, uiH = 0 ⇐⇒ u = 0.
De 1 y 2, se deduce que
hu, λv + w iH = λ̄ hu, v iH + hu, w iH .
Ortogonalidad
Semana 12 [20/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Propiedades
∀λ ∈ C, u, v , w ∈ Cn
1
hu, v iH = hv , uiH .
2
hλu + v , w iH = λ hu, w iH + hv , w iH .
3
hu, uiH ∈ R, más aún hu, uiH ≥ 0 y hu, uiH = 0 ⇐⇒ u = 0.
De 1 y 2, se deduce que
hu, λv + w iH = λ̄ hu, v iH + hu, w iH .
Ortogonalidad
Semana 12 [21/17]
Ortogonalidad
Propiedades
Propiedades
∀λ ∈ C, u, v , w ∈ Cn
1
hu, v iH = hv , uiH .
2
hλu + v , w iH = λ hu, w iH + hv , w iH .
3
hu, uiH ∈ R, más aún hu, uiH ≥ 0 y hu, uiH = 0 ⇐⇒ u = 0.
De 1 y 2, se deduce que
hu, λv + w iH = λ̄ hu, v iH + hu, w iH .
Ortogonalidad