problemas resueltos - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL
{
}
Problema 1: Sea el conjunto A = u , v, w , donde u = ( 2,1) , v = ( 2, 4 ) y w = ( 5, 4 ) .
Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v .
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de combinacion lineal:
w = α1 u + α 2 v
• Sustituyendo valores:
( 5, 4 ) = α1 ( 2,1) + α 2 ( 2, 4 )
( 5, 4 ) = ( 2α1 , α1 ) + ( 2α 2 , 4α 2 )
( 5, 4 ) = ( 2α1 + 2α 2 , α1 + 4α 2 )
• Igualando terminos:
2α1 + 2α 2 = 5
α1 + 4α 2 = 4
• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⎛2 2
⎜
⎝1 4
5⎞ ⎛ 1 4
⎟→⎜
4 ⎠ ⎝ 0 −6
4 ⎞ ⎛1 4
4 ⎞
⎟→ ⎜
⎟
−3 ⎠ ⎝ 0 1 1/ 2 ⎠
α2 =
1
2
α1 + 4α 2 = 4 → α1 = 4 − 2 → α1 = 2
• Por tanto:
1
w = 2u + v
2
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
Combinación lineal pedida
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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Norma Patricia López Acosta
PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
A = {( −1,0, 2 ) , ( 0, − 4, 2 ) , ( 2,0, − 4 )}
es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de dependencia lineal:
α u + βv + γ w = 0
• Sustituyendo valores:
α ( −1,0, 2 ) + β ( 0, − 4, 2 ) + γ ( 2,0, − 4 ) = 0
( −α + 2γ, − 4β, 2α + 2β − 4γ ) = ( 0,0,0 )
• Igualando terminos:
− α + 2γ = 0
− 4β = 0
2α + 2β − 4γ = 0
• Resolviendo el sistema anterior matricialmente:
⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛ 1 0 − 2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 − 4 0 ⎟ →⎜ 0 1 0 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 2 2 − 4⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
• De donde se obtiene:
0γ = 0 →
γ = a∈R
β=0
α − 2γ = 0 →
α = 2a
• Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es
linealmente dependiente (es un conjunto generador).
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
Problema 3: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
B = {(1,0, − 2 ) , ( −4, 2,0 ) , ( 0, 2, − 4 )}
es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de dependencia lineal:
α1 b1 + α 2 b 2 + α 3 b3 = 0
• Sustituyendo valores:
α1 (1,0, − 2 ) + α 2 ( −4, 2,0 ) + α 3 ( 0, 2, − 4 ) = ( 0,0,0 )
( α1 − 4α 2 , 2α 2 + 2α3 , − 2α1 − 4α3 ) = ( 0,0,0 )
• Igualando terminos:
α1 − 4α 2 = 0
2α 2 + 2α 3 = 0
− 2α1 − 4α 3 = 0
• Resolviendo el sistema anterior matricialmente:
⎛ 1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 2 2 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1⎟
⎜ −2 0 − 4 ⎟ ⎜ 0 − 8 − 4 ⎟ ⎜ 0 0 4 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
• De donde se obtiene:
α3 = 0
α 2 + α3 = 0 →
α2 = 0
α1 − 4α 2 = 0 → α1 = 0
• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es
linealmente independiente (es una base).
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Tema 2. Espacios Vectoriales
Problema 4: Para el conjunto: A = {( k − 5 ) x 2 + x, 2 x 2 − 2 x + 3, 2 x 2 + 3 x − 3}
Obtener el valor de k ∈ R , tal que “A” sea linealmente dependiente.
SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de dependencia lineal:
α a1 + β a 2 + γ a 3 = 0
• Sustituyendo valores:
α ⎡⎣( k − 5 ) x 2 + x ⎤⎦ + β ( 2 x 2 − 2 x + 3 ) + γ ( 2 x 2 + 3 x − 3 ) = 0
• Aplicando isomorfismo y realizando operaciones:
α ( k − 5,1, 0 ) + β ( 2, − 2,3 ) + γ ( 2,3, − 3 ) = ( 0, 0, 0 )
( αk − 5α + 2β + 2 γ , α − 2β + 3γ ,3β − 3γ ) = ( 0, 0, 0 )
• Igualando terminos:
α ( k − 5 ) + 2β + 2 γ = 0
α − 2β + 3 γ = 0
3β − 3 γ = 0
• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
3 ⎞
3 ⎞
− 2 3 ⎞ ( −k + 5) ⎛1
−2
⎛1
⎛1 − 2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
→ ⎜ 0 2 k − 8 − 3k + 17 ⎟
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟
⎜ k − 5 2 2⎟
⎜0
⎜0
3 − 3 ⎟⎠
1
− 1 ⎟⎠ ( − 2 k + 8 ) ⎜⎝ 0 0 − k + 9 ⎟⎠
⎝
⎝
• Del ultimo renglon de la matriz escalonada anterior se observa que:
( −k + 9 ) γ = 0
• Donde se debe cumplir que:
γ≠0
A es linealmente dependiente
y −k +9 = 0
• Por tanto, para que A sea linealmente dependiente: k = 9 .
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
{
}
Problema 5: Sea A = u, v, w un conjunto de vectores linealmente independiente de un
{
}
espacio vectorial “V”. Determinar si el conjunto de vectores B = u − 2v + w, u + v, u − v
es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
• Ecuacion de dependencia lineal para la base "B":
αb1 + βb 2 + γ b3 = 0
• Sustituyendo valores:
(
) (
) (
)
α u − 2v + w + β u + v + γ u − v = 0
αu − 2α v + α w + βu + βv + γ u − γ v = 0
• Factorizando:
( α + β + γ ) u + ( −2α + β − γ ) v + ( α ) w = 0
← se obtiene la ecuacion de
dependencia lineal para A
• "A" es linealmente independiente, por tanto:
α+β+ γ = 0
− 2α + β − γ = 0
α=0
• Resolviendo matricialmente:
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
2
1
1
0
3
1
0
1
1
0
1
1
−
−
→
→
→
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
• De la matriz escalonada anterior, se obtiene que:
γ=0
β+γ = 0 → β = 0
α+β+ γ = 0 →
α=0
• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es
linealmente independiente (es una base).
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