NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. CURSO 10-11
ICA
FUNCIONES DE UNA VARIABLE – CONTROL A continuación se presentan 5 preguntas con 4 respuestas posibles. En cada pregunta hay una única respuesta correcta. Se debe marcar, sobre la raya situada a la izquierda de las letras A, B, C, D, la respuesta que se considere correcta. Cada pregunta acertada y bien justificada valdrá 1 punto. Las preguntas con más de una respuesta anotada o sin respuesta anotada puntúan con 0. 1
La derivada respecto de x de la función f (x)  sen2 (e 4 x ) es: __ A) f (x)  2sen  e 4 x  (cos e 4 x )(e 4 x  4) __ B) f (x)  (2sen  e 4 x   cos e 4 x )(e 4 x )(4) __ C) f (x)  2sen  e 4 x  (cos e 4 x e 4 x )  4 UN
__ D) Ninguna de las anteriores 2
Sea y una función implícita de x, definida por la ecuación x 2 y  e2 x  sen  y 2  , entonces la derivada de y respecto de x es: __ A) y 
2(xy  e2 x )
y cos y  x 2
__ B) y 
2(xy  e2 x )
y cos y  x 2
__ C) y 
2(xy  e2 x )
2y cos y  x 2
__ D) Ninguna de las anteriores. Pág. 1
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
3
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
El dominio de definición de la función f (x) 
es: __ B)  2,2 . __ C)  2, 1   1,2 . __ D) Ninguna de las anteriores. ICA
4
5
Determinar el polinomio de Taylor de tercer grado para la función f (x)  1  x en el punto 0. 2 x
__ A) x  2 . 2 x
x x2 x3
__ A) 1   
2 8 16
__ B) x x2 x3
1   2 8 16
x x2 x3
__ C) 1    2 8 16
__ D) Ninguna de las anteriores. Un infinitésimo del mismo orden que f  x  
(2 x)2 cos(x)
x
2 en el punto a=0 es: __ A) x 2 __ B) x3 __ C) x 4 __ D) Ninguna de las anteriores. UN
sen  x 2  arctg
PRUEBA 1 ‐ 22 NOVIEMBRE 2010 6


1
Se considera f  x   log 
 . Se pide:   x  1 2 x  1 
(a) Calcula la fórmula de Taylor de la función en el punto a  0 . (b) Calcula una cota del error cuando queremos aproximar 

1
 log  0.72   log 
 por el polinomio de grado 3.   0.1  1 2  0.1  1 
Justificar la respuesta. (c) ¿De qué grado se debe considerar el polinomio de Taylor de f  x  en a  0 si se quiere aproximar con él el valor de  log  0.72  con un error Pág. 2
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
menor que 10 1 ? Justificar la respuesta. 7
Dadas las curvas x 2  y 2  4 x  1 , x 2  y 2  2y  9 . Se pide ICA
(a) Representar las curvas y determinar los puntos de corte. (b) Calcular las rectas tangentes y normales en dichos puntos a ambas curvas. RECUPERACIÓN PRUEBA 1 ‐ 30 NOVIEMBRE 2010 Calcular, mediante la diferencial, una aproximación de cos(155º) y dar una cota del error cometido. Hacer una representación gráfica de la función y de la diferencial de la función en el punto que se considere. 8
9
2
(2) Justificar, utilizando el polinomio de Taylor, la razón por la que son máximos o mínimos relativos los puntos que se hayan obtenido en el apartado (1). UN
(1) Calcular los extremos relativos de la función f (x)  x 4  e  x . PRUEBA 2 – 24 ENERO 2011 ‐ EXAMEN FEBRERO 10
(1) Dadas las curvas y  x 2  1 e y   x 2 , una recta tangente a ambas curvas tiene por ecuación: __ A) 1
yx 2
__ B) y  2 x __ C) y  2x __ D) Ninguna de las anteriores. (2) Sea y una función implícita de x, definida por la ecuación x 2 y  e2 x  sen y , entonces la derivada de y respecto de x es: __ A) y  
2(xy  e2 x )
cos y  x 2
Pág. 3
__ B) y  
2(xy  e2 x )
cos y  x 2
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
__ C) y  
N
Asignatura: Cálculo I
2(xy  e2 x )
cos y  x 2
__ D) Ninguna de las anteriores. (3) Dada la función f  x   x log 1  x  , se pide: a) Calcular el polinomio de Taylor de grado n de la función ICA
f  x  en el punto 0 y escribir la expresión del resto enésimo de Lagrange.
b) Calcular el error que se comete al aproximar por la recta log 0.9
tangente el valor de f  0.1  
10
SEPTIEMBRE 2011 11


A) Se considera la función f  x   log  3  x  2  x  en x  2 . Calcula la derivada enésima de f  x  .  
B) Considera la función f  x   sen x 2 en el intervalo  0, 2 . Escribe el código Matlab necesario para: 
 f  x  si x   0, 2
 f  x  si x   1, 0
Representar la función g  x   
UN

Determinar el punto x en el que f  x  alcanza el valor máximo dentro del intervalo  0, 2 . Pág. 4
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. CURSO 11-12
ICA
CONTROL – 17 OCTUBRE 2011 1
2
Indica que instrucciones Matlab permitirían dibujar la gráfica de la función 1  2x
f x 
en el intervalo  3,3 .
3  x2
Determina simetría y periodicidad  1  xy
Halla la ecuación de la recta normal a la curva log 
 1  xy
UN
3
dominio, de la función f  x   sen 3x  sen 3x . Representa también su gráfica.
el 
x
  arc tg   , en un y

punto  a, b  de la curva. 4
Selecciona las respuestas correctas justificando la respuesta: __ B) La función y  tg  x  tiene inversa en todo su dominio. __ C) La gráfica de la función y  log  x  a   b con a, b números reales positivos es la traslación de a unidades hacia la derecha y b unidades a la izquierda de la gráfica de la función y  log  x  Pág. 5
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
BLOQUE 1‐ 15 NOVIEMBRE 2011 5
(A) Dibuja la gráfica de la función f1  x   sen 3x   2 . 

x sen  2 x  
2

(B) Considera la función f2  x  
. Encuentra un infinitésimo x 9
equivalente de la función para x  0 . Justifica la respuesta. (C) Determina si la función f3  x   x 20 sen  2 x  tg  x 3  tiene un máximo o ICA
un mínimo en el punto 0. Justifica la respuesta. (D) Demuestra la expresión que permite obtener la derivada de la función f4  x   arcsen  x  6
Considera la función f  x   1  2 x (A) Representa la gráfica de esta función y la diferencial de f en el punto a  0 para x  1 . (B) Da una cota del error que se comete al aproximar f  1 por el polinomio de Taylor de f de grado n en el punto 0. UN
RECUPERACIÓN BLOQUE 1‐ 25 NOVIEMBRE 2011 7
Para aproximar el valor de a , se utiliza la recta tangente a la función f ( x )  x en el punto x  1 y se obtiene a  1.05 . ¿Cuál será el punto a? __ A) __ C) a  1.20 a  1.10 __ B) __ D) a  1.15 Ninguna de las anteriores 8
Dados los infinitésimos para x   3
f  x    sen    x
g  x   1  e3/ x h  x    log  e3/ x  k  x   arctg 1  e3/ x  podemos afirmar que: Pág. 6
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
__ A) Todos son equivalentes. __ B) Sólo son equivalentes g y k. __ C) Sólo son equivalentes f y h. __ D) No se cumple ninguna de las afirmaciones anteriores ICA
La derivada de la función implícita y  f ( x ) , definida por la ecuación 9
 x2  y 2
 y
arctg    log 

a
x


 

es 10
__ A) dy x  y

dx x  y
__ C) dy
x

dx x  y
__ D) __ B) dy x  y

dx x  y
Ninguna de las anteriores a) Representar gráficamente la función f  x   cos  2 x   3 . UN
b) Calcular la derivada enésima de f ( x ) 
1
. x 1
2
c) Enunciar el Teorema de Taylor para polinomios de Taylor de una función f ( x ) en un punto a. 11
Escribe el código Matlab para a) Dada la función f  x  
x3
x2  1
a.1) Representar la gráfica de la función f  x  y de la recta tangente en el punto 0 en el intervalo  2, 2 . a.2) Obtener la diferencial de f en el punto 0 para un incremento de ‐0.1. a.3) Calcular la aproximación de f en el punto ‐0.1 por el polinomio de Pág. 7
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
Taylor en el origen de grado 1, 3, 30. 
b) Saber si la serie: n3
es convergente y calcular su suma. 3
1
n
n 1
FEBRERO 2012 ICA
12
a) Calcula los puntos en los que la tangente a la curva x 2  y 2  2 xy  y es horizontal.  
b) Calcula un infinitésimo equivalente a f  x   x 5 sen x 2 para x  0 . c) Representa la gráfica de la función f  x   sen  2 x   sen  2 x  y determina su periodicidad. d) Escribe la fórmula de Taylor de grado f  x 
1
1  x  x  2 
n de la función en el punto a  0 . SEPTIEMBRE 2012 UN
13
a) Usar el teorema de Taylor con n=2 para obtener una aproximación de 3 considerando una función y un punto adecuado. B) Encontrar un infinitésimo equivalente a la función f  x   2  tgx  senx   x para x=0. Justificar que el infinitésimo encontrado es realmente equivalente a f  x   2  tgx  senx   x 3 en x=0. 3
Pág. 8
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
CURSO 12-13
CONTROL 1 ‐ OCTUBRE 1
A)
ICA
x
x
Determinar el periodo de la función f  x   sen    sen   y si presenta 3
4
alguna simetría. Representar la gráfica de la función g  x     x  1  3 . Escribir las 2
B)
órdenes Matlab que permitirían dibujar su gráfica en el intervalo  4,5 . CONTROL 2 – NOVIEMBRE NOTA: A los alumnos se les facilitó, días antes de la prueba, un listado con 10 preguntas teóricas y se les notificó que este control estaría formado únicamente por alguna de ellas. 2
Definición de función inversa. Calcular la función inversa de y  sen  x  indicando el dominio donde ambas funciones son inversas. Justificar la fórmula que permite obtener la derivada de una función inversa y  f 1  x  conocida la de y  f  x  . UN
3

Definición de diferencial de una función en un punto a para un incremento  x . Interpretación geométrica considerando la función y   x  1 en el punto 1 con x  1 . 2

Justificar por qué aproximar por la diferencial, por la recta tangente o por el polinomio de Taylor de grado 1 es exactamente lo mismo. 4
Dados n puntos equidistantes x1 , x2 ,..., xn de los que se conoce el valor de una función en ellos, justificar por qué la aproximación de la derivada mediante diferencia regresiva es peor aproximación que utilizando diferencia central. Pág. 9
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
BLOQUE 1 – NOVIEMBRE 5
x
x
(a) Determinar el periodo de la función f  x   sen    sen   y si presenta 3
4
alguna simetría. Escribe el código Matlab que permitiría representar esta función f  x  y la función g  x   x 2 sen  3x  en el intervalo [‐10,10] en una misma figura. Obtener el valor aproximado de 3 7,94 usando la diferencial primera de la ICA
(b)
función apropiada. Acotar el error cometido en la aproximación. 2
2
(c) Dada la curva x  y  2x  6 y  6  0 , se pide representarla y calcular la 

recta tangente y normal a dicha curva en el punto P 2, 3  3 . (d) Encontrar un infinitésimo equivalente a f  x  
x log 1  3t gx 
3
sen  x 2 
(e) Calcular el polinomio de Taylor grado n de la función sen 2 x 
para x=0. 1  cos 2 x
en 2
el punto 0 y escribirlo en forma de sumatorio. Escribe las órdenes matlab para obtener el polinomio de Taylor de grado 5 y evaluarlo en el punto 0.5. RECUPERACIÓN BLOQUE 1 6
Dada la función f  x   1 
UN
x
2
a)
Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f en el punto a= 0. Obtener, mediante el polinomio anterior, un valor aproximado de 0,5 . b)
Escribe el código Matlab necesario para calcular la aproximación de 0,5 mediante la diferencial de la función f . 7
Dar la definición de extremo y de punto crítico. Demostrar que si una función tiene derivada nula hasta el orden n‐1 en un punto a y la primera derivada no nula en dicho punto es la enésima, entonces,  Si n es par y la derivada enésima es positiva entonces en el punto a hay un mínimo local  Si n es par y la derivada enésima es negativa entonces en el punto a hay un máximo local Pág. 10
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ing. Tec. Telecomunicación
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
N
Asignatura: Cálculo I
FEBRERO 2013 8


Dada la función f  x   tg log 1  x 2   1  cos x  se pide: 2
ICA
(a) Analizar si el punto 0 es un máximo o mínimo de f. Justificar la respuesta utilizando polinomios de Taylor. (b) Escribir el código Matlab que permite representar la función en el intervalo [‐1,1) junto con la recta tangente en el punto  0.5, f  0.5   . Dados n puntos equidistantes x , x ,..., x de los que se conoce el valor de una 1
2
n
9
función en ellos, justificar mediante polinomios de Taylor por qué la aproximación de la derivada utilizando diferencia regresiva es peor aproximación que utilizando diferencia central. 10
Dada la función f  x   1  x , se pide: a) Calcular el valor aproximado de 1
, utilizando la diferencial primera en 2
el punto 0. UN
b) Hallar una cota del error cometido en la aproximación anterior. c) Escribir el código Matlab que permita obtener la aproximación de
con el polinomio de Taylor de grado 20 en el punto 0. Pág. 11
1
2