1.3 Problema del valor inicial En una ecuación diferencial de orden

1.3 Problema del valor inicial
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1.3 Problema del valor inicial
En una ecuación diferencial de orden n del tipo
F ( x, y ,
dy d 2 y d n y
,
...
)=0
dx dx 2 dx n
(1)
Se entiende como problema de valor inicial, cuando se encuentra una solución que
satisfaga dichas condiciones iniciales, o sea y ( xo ) = yo , y´( xo ) = y1 , y n −1 ( xo ) = yn −1 .
[11]
Donde las condiciones iniciales son constantes dadas en el intervalo I , dependiendo del
orden de la ecuación es el número de las condiciones iniciales, si es una ecuación de
primer orden tenemos una condición inicial xo , yo , si es de segundo orden tendremos un
par de condiciones iniciales.
)
(
1
2 x3 − 16
3
Bajo la condición inicial y (4) = 0 , es una solución para la ecuación diferencial
Ejemplo 1.3.1 Revisar que la función y ( x) =
dy
= x
dx
(2)
(
)
1
2 x3 − 16 , obtenemos (2) o bien y´( x) = x , sustituyendo la
3
1
condición inicial en la función , y (4) = 2 43 − 16 , observamos que satisface y (4) = 0
3
Derivando y ( x) =
(
)
En la figura 1.3.1 tenemos la gráfica de la solución y ( x)
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17
10
6
1
3
(2
3
)
x − 16
2
2 0
1
2
3
4
5
6
10
x
Figura 1.3.1 y ( x) =
(
1
2 x3 − 16
3
)
Ejemplo 1.3.2 Siendo f ( x) = sen ( x ) − cos ( x ) , figura 1.3.2, comprobar que sea una
solución del problema con valores iniciales
d2 y
+y=0
dx 2
(3)
para y (0) = −1 y y´(0) = 1
Obteniendo
f ´( x) = cos ( x ) + sen ( x )
(4)
f ´´( x) = − sen ( x ) + cos ( x )
(5)
Las cuales están definidas ∀ x ∈ \ (para toda x que pertenece a los reales) y
sustituyendo en (3), observamos que sí satisface la ecuación, por lo que sí es una solución.
d2 y
+ y = − senx ( + ) cos ( x ) +  sen ( x ) − cos ( x )  = 0
dx 2
Ahora sustituyendo las condiciones iniciales en f ( x) y (4), tenemos que
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f (0) = sen(0) − cos(0) = −1
(6)
f ´(0) = c os(0) + sen(0) = 1
(7)
Lo cual satisface las ecuaciones.
2
1
sin( x) − cos( x)
12.57
6.28
0
6.28
12.57
1
2
x
Figura 1.3.2 Solución f ( x) = sen ( x ) − cos ( x )
Ejemplo 1.3.3 Siendo y = ce x una familia de soluciones (ya que c puede tomar cualquier
valor) de la ecuación diferencial y´= y en el intervalo de (−∞, ∞) , la siguiente figura
muestra la gráfica de la familia de funciones para valores de c = 1 , c = 2 , c = 3 .
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19
30
30
x
e
20
x
2e
x
10
3e
−3
6.738×10
5
3
−5
1
1
x, x
3
5
5
figura 1.3.3 y = ce x para valores de c = 1 , c = 2 , c = 3
Comprobando que sea una solución
Reacomodando la ecuación diferencial quedaría
y´− y = 0
(8)
Derivando la solución y = ce x obtenemos
y´= ce x
(9)
Sustituyendo y = ce x y su derivada (9), en la ecuación (8), nos queda
ce x − ce x = 0
(10)
Lo cual se satisface.
Si especificamos una condición inicial y (0) = 4 , y lo sustituimos en la solución tenemos
que 4 = ce0 o sea c = 4 , por lo que una solución particular sería y = 4e x .
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