Ejercicios resueltos Bloque4. Cálculo

Bloque 4. Cálculo
Tema 6 Integración básica
Ejercicios resueltos
4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de
linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
2
a )   x  2  dx
b)
c)
d)
e)
1
x

4
dx
x2  x  5
dx
x
  3e  senx  dx
 x dx
x
3
2
f)
 5x
g)

Solución
a)
3
dx
5
2
4
dx
9  9 x2
  x  2
2


dx   x 2  4 x  4 dx   x 2 dx  4  xdx  4  dx 
x3
x2
x3
4
 4x C 
 2 x2  4 x  C
3
2
3
3
1
x
1 1
b )  4 dx   x 4 dx 
C  
C
x
3
3 x3
x2  x  5
5
1

c) 
dx    x  1   dx   xdx   dx  5  dx 
x
x
x


x2
 x  5 ln x  C
2
3e x  senx dx  3 e x dx   senxdx  3e x  cos x  C

d)


x5 3
3
3
3
 C  x5 3  C  3 x5  C  x 3 x2  C

53
5
5
5
3
3
1
3
f)  2
dx   2
dx  arctagx  C
5x  5
5 x 1
5
4
4
1
4
1
2
g) 
dx  
dx 
dx  arcsenx  C
2
2

9  9x
9 1 x
9 1  x2
3
e)
G3w
3
x 2 dx   x 2 3dx 
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de
variable apropiado:
a )  x x  1dx
senx
b)

c)

d)
 e
e)
1 x
dx
cos x
x2
dx
x3  2
x
 3  e x dx
4
2x
4
dx
ln x
dx
x
e tagx
g) 
dx
cos2 x
f)

Solución
a)
x
 t  x 1
x  1dx  
    t  1 tdt   t tdt   tdt 
 dt  dx 
t5 2 t3 2
12
12
32
12
  t  t dt   t dt   t dt   t dt 

C 
52 32
2 52 2 32
2
2
52
32
t  t  C   x  1   x  1  C
5
3
5
3
 t  cos x 
1
senx
dt
dx  
   1 2 dt    t 1 2 dt 

t
cos x
t
 dt   senxdx 

b)


c)
d)

t1 2
 C  2t 1 2  C  2 t  C  2 cos x  C
12
 t  x 3  2  1 dt 1
x2
1
3
dx


    ln t  C  ln x  2  C
3
2
x 2
3
 dt  3 x dx  3 t 3


ex 3
 t  ex 3
t5
4
x
x
e  3 e dx  
   t dt   C 
x
5
5
 dt  e dx 

4

5
C
 t  x2 
2x
1
e) 
dx  
dt  arctagt  C  arctag x 2  C

4
2
1 x
1 t
 dt  2 xdx 
 
2
 t  ln x 
2
ln
x


ln x
t
  tdt   C 
C
f) 
dx  
 dt  1 dx  
x
2
2
x 

 t  tagx 
e tagx
  e t dt  e t  C  e tagx  C
g) 
dx  
 dt  1 dx  
cos2 x
cos2 x 

G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
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MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos
2
4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de
integración por partes:
a )  ln xdx
 x ln xdx
c )  xe dx
d )  x e dx
e )  arcsenxdx
f )  e senxdx
g )  x senxdx
b)
x
2
x
x
2
Solución
dx 

u  ln x  du 
dx

a )  ln xdx 
 x ln x   dx 
x   x ln x   x


x
 dv  dx  v  x 
 x ln x  x  C
dx 

 u  ln x  du  x  x 2
1
dx

ln x   x 2

b)  x ln xdx  
2
2
x
x  2

 dv  xdx  v 

2 

1
1 x2
x2
x2
x2
x2
ln x   xdx 
ln x 
ln x 

C 
C
2
2
2
2 2
2
4
c)
 xe
x
 du  dx 
 u x
 xe x   e x dx  xe x  e x  C
dx  
x
x 
 dv  e dx  v  e 
 u  x2
d )  x e dx  
x
 dv  e dx
 u x

x
 dv  e dx
2
x
 du  2 xdx 
2 x
x
  x e  2 xe dx 
x
ve


 du  dx 
 x 2 e x  2  xe x   e x dx  
x 
 ve 
 x 2 e x  2 xe x  2 e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos 3
dx 

u  arcsenx  du 
x


e ) arcsenxdx  
dx 
1  x 2   xarcsenx  
1  x2
 dv  dx


vx


1 2
 t  1  x2 
2
 xarcsenx   x 1  x
dx  

 dt  2 xdx 
1
1 t1 2
 xarcsenx   t 1 2 dt  xarcsenx 
C 
2
21 2



 xarcsenx  1  x 2
 u  ex
f ) e senxdx  
 dv  senxdx
 u  ex

 dv  cos xdx
x

12
 C  xarcsenx  1  x 2  C
du  e x dx 
x
x
  e cos x   e cos xdx 
 v   cos x 
 du  e x dx 

 v  senx 

 e x cos x  e x senx   e x senxdx
 2 e x senxdx  e x cos x  e x senx
  e x senxdx 
 u  x2
g ) x 2 senxdx  
 dv  senxdx
u x


 dv  cos xdx
e x  senx  cos x 
2
C
 du  2 xdx 
2
   x cos x  2  x cos xdx 
 v   cos x 
 du  dx 

 v  senx 
  x 2 cos x  2 xsenx  2 senxdx 
  x 2 cos x  2 xsenx  2 cos x  C
G3w
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Ejercicios resueltos 4
4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:
x2  1
a)  3
dx
x  x2  2 x
x2  1
b)  3
dx
x  6 x 2  12 x  8
4
c)  3
dx
2
x 5x  7x  3
x2  3 x  2
d) 
dx
x2  9
x2  x  8
e)  3
dx
x  4 x2
2 x2  x  1
f)  2
dx
x  8 x  16
x 4  3 x3  2 x2  1
g) 
dx
x 5
Solución
a)

x2  1
dx  x 3  x 2  2 x  x x 2  x  2  x  x  1 x  2 
3
2
x  x  2x


x2  1
A
B
C
 

3
2
x  x  2 x x x 1 x  2
x 2  1  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1
x  0 : 1  2 A A   1 2

x  1 : 2  3B   B  2 3
x  2 : 5  6C 
C 5 6

b)

x2  1
1 dx 2 dx 5 dx
dx     


3
2
x  x  2x
2 x 3 x 1 6  x  2
1
2
5
  ln x  ln x  1  ln x  2  C
2
3
6
x2  1
3
dx  x 3  6 x 2  12 x  8   x  2 
3
2
x  6 x  12 x  8
x2  1
 x  2
3

A
B
C


2
x  2  x  2   x  2 3
x 2  1  A  x  2   B  x  2   C  Ax 2  4 Ax  4 A  Bx  2 B  C
2
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos 5

A
A 1

4 A  B   B  4
0
x : 1  4 A  2 B  C  C  5
x2 : 1 
x1 : 0 

x2  1
dx
dx
dx
dx  
 4
 5

2
3
3
2
x  6 x  12 x  8
x 2
 x  2
 x  2
 ln x  2 
c)
x
3
4
5

C
x  2 2  x  2 2
4
2
dx  x 3  5 x 2  7 x  3   x  1  x  3 
 5x  7x  3
2
4
 x  1  x  3 
2

A
B
C


2
x  1  x  1
x 3
4  A  x  1 x  3   B  x  3   C  x  1
x 1: 4 
2
 A  1

4C
x  3: 4 
  B  2
x  0 : 4  3 A  3B  C 
C 1
x
3
2 B
4
dx
dx
dx
 2


dx   
2
 5x  7x  3
x 1
x 3
 x  1
2
  ln x  1 
d)
2
 ln x  3  C
x 1

x2  3 x  2
dx  x 2  3 x  2  1  x 2  9   3 x  11
2
x 9

x2  3 x  2
3 x  11
dx   dx   2
dx  x 2  9   x  3  x  3 
2
x 9
x 9


3 x  11
A
B


 3 x  11  A  x  3   B  x  3 
2
x 9
x 3 x 3
x  3: 2  6A 
A 1 3

x  3 : 20  6 B  B   10 3

G3w
x2  3 x  2
3 x  11
1 dx 10 dx
dx   dx   2
dx  x  


2
x 9
x 9
3 x 3 3  x 3
1
10
 x  ln x  3  ln x  3  C
3
3
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Ejercicios resueltos 6
e)
x2  x  8
dx  x 3  4 x 2  x 2  x  4 
3
2
x  4x

x2  x  8 A B
C
  2
3
2
x  4x
x x
x4
x 2  x  8  Ax  x  4   B  x  4   Cx 2  Ax 2  4 Ax  Bx  4 B  Cx 2
AC 
A 1 4

x : 1  4 A  B   B  2
x 0 : 8 
4 B  C  3 4
x2 :
1 
1
1 1
1
3
1
x2  x  8
dx   dx  2 2 dx  
dx 
3
2
4 x
4  x  4
x  4x
x


f)
1
2 3
ln x   ln x  4  C
4
x 4
2 x2  x  1
dx  2 x 2  x  1  2   x 2  8 x  16    17 x  31
x 2  8 x  16

2 x2  x  1
17 x  31
2
dx  2  dx   2
dx  x 2  8 x  16   x  4 
2
x  8 x  16
x  8 x  16

17 x  31
 x  4
2

A
B
 17 x  31  A  x  4   B

x  4  x  4 2
 A  17

B  37
x : 31  4 A  B 
x1 : 17 
A
0

2 x2  x  1
1
1
dx  2 dx  17 
dx  37 
dx 
2
2
x  8 x  16
x4
 x  4
 2 x  17 ln x  4 
g)

37
C
x4
x 4  3 x3  2 x2  1
dx
x 5
x 4  3 x 3  2 x 2  1   x 3  2 x 2  8 x  40    x  5   201

G3w
x 4  3 x3  2 x2  1
201
dx    x 3  2 x 2  8 x  40  dx  
dx 
x 5
x 5
x4
x3
x2

 2  8  40 x  201 ln x  5  C
4
3
2
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Ejercicios resueltos 7