Integrales trigonométricas racionales tagx t x arctgt dx dt t ademas

Integrales trigonométricas racionales
Protocolo:
Si todas las potencias del seno y del coseno son pares, o tenemo cualquier potencia
de la tangente aplicaremos el cambio siguiente:
dt
;
1 + t2
& tagx = t → senx = t cos x
ademas
tagx = t ⇒
x = arctgt ⇒
dx =
sen2x + cos2 x = 1 ⇒ t2 cos2 x + cos2 x = 1
1
t2
2
cos x (t + 1) = 1 ⇒ cos x = 2
⇒ sen x = 2
t +1
t +1
2
2
2
Si alguna potencia del seno o del coseno es impar se aplicará el cambio siguiente:
tag
x
= t⇒
2
x = 2 arctgt ⇒
dx =
2 dt
;
1 + t2
x
x
x
= t → sen = t cos
2
2
2
x
x
x
x
sen2 + cos 2 = 1 ⇒ t2 cos 2 + cos2 = 1
2
2
2
2
&
ademas
tag
x 2
x
1
( t + 1) = 1 ⇒ cos 2 = 2
2
2 t +1
x
x

sen2 + cos 2 = 1

2
2
2
2 x
= 1 + cos x ⇒ 2
= 1 + cos x
 ⇒ 2 cos
2
t +1
2 x
2 x

cos
− sen
= cos x
2
2

cos2
2
cos x = 2
−1
t +1
senx = sen 2
senx =
x
x
x
x
x
x
= 2 sen cos
= 2t cos cos
= 2t cos 2 ⇒
2
2
2
2
2
2
2t
t +1
2
1 − t2
⇒ cos x = 2
t +1