Chapter 1 Integrales racionales

Chapter 1
Integrales racionales
Son del tipo
Z
P (x)
dx donde P(x) y Q(x) son dos polinomios en x
Q(x)
Casos:
A) Si grado P (x) ≥ Q(x) . Efectuamos la división entre ambos polinomios y:
Z
P (x)
dx =
Q(x)
Z
C(x)dx +
Z
R(x)
dx
Q(x)
siendo C(x) y R(x) el cociente y resto de la división efectuada
B) Si grado R(x) < Q(x)
Para resolver este tipo de integrales, tendremos que utilizar el siguiente teorema de
Álgebra:
Si Q(x) = (x − α)t (x − β)(ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f )p
(con b2 − 4ac < 0 y e2 − 4df < 0) y gradoR(x) <grado Q(x) entonces:
A2
At−1
At
R(x)
A1
B
+
+ ....... +
+
=
+
+
Q(x)
(x − α)t
(x − α)t−1
(x − α)2
(x − α)
(x − β)
BP x + CP
B1 x + C1
B2 x + C2
Mx + N
+ ............... +
+
+
P
ax2 + bx + c dx2 + ex + f
(dx2 + ex + f )2
(dx2 + ex + f )
Nota: todas las integrales racionales, después de determinar los coeficientes adecuados,
quedarán
Z reducidas a la resolución de las siguientes integrales
B
1.
dx = B ln |x − β| + C
Z
Z (x − β)
B(x − α)−t+1
−B
B
dx
=
B
(x−α)−t dx =
+C
+C =
2.
t
(x − α)
−t + 1
(t
−
1)(x
− α)t−1
√
¶
µ
¶
µ
Z
¯
M ¯¯ 2
Mx + N
¯ + N − bM 2 H arctan 2axb
√
+
+
bx
+
c
dx
=
ln
ax
3.
ax2 + bx + c
2a
2a
H
H
C Z
Mx + N
4.
p dx →Se resuelve por Partes (Facultad)
(ax2 + bx + c)
Ejemplos
Z 3
Z
Z
x +2
−4x + 2
x2
a)
dx
=
x
dx
+
dx
=
+I
2
x2 + 4
Z
Z 2
Z
Zx + 4
x
1
2x
−4x + 2
dx = −4
dx + 2
dx = −2
dx +
I =
2+4
2+4
2+4
2+4
x
x
x
x
Z
1
2
dx
x2
4( + 1)
4
Z
¯ 1
¯
¯
¯
x
1
dx = −2 ln ¯x2 + 4¯ + arctan + C
I = −2 ln ¯x2 + 4¯ +
³ x ´2
2
2
+1
2
1
Chapter 1
Integrales racionales
Z
¯
¯ 2
x3 + 2
x2
¯x + 4¯ + arctan x + C
Por lo tanto
dx
=
−
2
ln
x2 + 4 Z 2
2
Z
Z
3x2 + 4x + 1
16x − 11
b)
dx = 3dx+
dx = 3x + J
x2 − 4x + 4
x2 − 4x + 4
16x − 11
16x − 11
=
Para resolver J tendremos que descomponer la fracción 2
x − 4x + 4
(x − 2)2
Por el teorema anterior
A
B
16x − 11
=
+
=⇒ 16x − 11 = A + B(x − 2)
(x − 2)2
(x − 2)2 x − 2
Si le damos a x el valor 2 tendremos 21 = A
Si le damos a x el valor 0Ztendremos −11 = 21
Z
Z − 2B → B = 16
16x − 11
1
1
−21
dx + 16
dx = 21
dx =
+ 16 ln |x − 2| + C
2 − 4x + 4
2
x
(x
−
2)
x
−
2
x
−2
Z
2
21
3x + 4x + 1
dx = 3x −
+ 16 ln |x − 2| + C
2
x−2
Zx − 4x + 4
3x − 1
dx. Como x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) entonces por el teorema anterior
c)
x2 + x − 2
3x − 1
A
B
=
+
=⇒ 3x − 1 = A(x − 1) + B(x + 2)
(x + 2)(x − 1)
(x + 2) (x − 1)
7
Si le damos a x el valor −2 tendremos −7 = −3A → A =
3
2
Si le damos a x el valor 1 tendremos 2 = 3B → B =
3
Z
Z
Z
3x − 1
7
1
2
1
7
2
dx =
dx +
dx = ln |x + 2| + ln |x − 1| + C
2
2
3
x+2
3
x−1
3
3
Zx + x −
3x2 − 3x − 1
3
2
3
d)
dx . Como x − 3x + 3x − 1 = (x − 1) entonces
x3 − 3x2 + 3x − 1
2
A
B
C
3x − 3x − 1
=
+
+
→ 3x2 − 3x − 1 = A + B(x − 1) +
3
3
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
x−1
C(x − 1)2
Si x = 1 → −1 = A
Si x = 0 → −1 = −1 − B + C → B = C
Si x = 2 → 5 = −1 + 2CZ → C = 3 ; B = 3Z
Z
Z
3x2 − 3x − 1
1
1
1
dx
=
−
dx
+
3
dx
+
3
dx =
3
3
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
x−1
=
Z
3
1
−
+ 3 ln |x − 1| + C
2(x − 1)2 x − 1
3x2 − 4
dx . Como x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2
− 5x2 + 8x − 4
3x − 4
A
B
C
=
+
+
(x − 1)(x − 2)2
(x − 2)2
x−2 x−1
3x2 − 4 = A(x − 1) + B(x − 2)(x − 1) + C(x − 2)2
Si x = 1 → −1 = C
e)
x3
2
2
Si x = 2 → 8 = A
Si
−4 = −8 + 2BZ − 4 → B = 4
Z
Z x=0→
Z
1
1
3x2 − 4
1
dx
=
8
dx
+
4
dx
−
dx =
2
2
(x − 1)(x − 2)
(x − 2)
x−2
x−1
=−
Z
f)
8
+ 4 ln |x − 2| − ln |x − 1| + C
x−2
x2 − x + 1
dx Como x3 + 2x2 − x − 2 = (x − 1)(x + 1)(x + 2)
x3 + 2x2 − x − 2
A
B
C
x2 − x + 1
=
+
+
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
x−1 x+1 x+2
x2 − x + 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)(x + 1)
1
Si x = 1 → 1 = 6A → A =
6
3
Si x = −1 → 3 = −2B → B = −
2
7
Si x = −2 → 7 = 3C → C =
3Z
Z
Z
Z
x2 − x + 1
1
1
1
1
3
7
=
dx −
dx +
dx =
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
6
x−1
2
x+1
3
x+2
3
7
1
= ln |x − 1| − ln |x + 1| + ln |x + 2| + C
6
2
3
Z
√
¡ 2
¢ 1√
x+3
4
2
1
g)
ln
(x
−
1)−
ln
x
+
2x
+
4
−
3
arctan
(2x
+
2)
3
dx
:
7
7
21
6
x3 + x2 + 2x − 4
3
2
2
Como x + x + 2x − 4 = (x − 1)(x + 2x + 4)
x+3
A
Mx + N
=
+
(x − 1)(x2 + 2x + 4)
x − 1 x2 + 2x + 4
x + 3 = A(x2 + 2x + 4) + (M x + N )(x − 1)
4
Si x = 1 → 4 = 7A → A =
7
16
5
Si x = 0 → 3 =
−N →N =−
7
7
12
5
4
Si x = −1 → 2 =
+ (−M − )(−2) → M = −
7
7
7
Z
Z
Z −4x − 5
x+3
4
1
7
7 dx = 4 ln |x − 1| − 1 J
dx =
dx +
(x − 1)(xZ2 + 2x + 4)
7
x−1
x2 + 2x + 4
7
7
4x + 5
siendo J =
dx Resuélvela tú (integral de tipo ln + arctag ).Comprueba
x2 + 2x + 4
que:
√
¯
¯ 2
x+1
3
¯
¯
arctan √ + C
J = 2 ln x + 2x + 4 +
3
3
3
Chapter 1
Por lo que
C
Z
Z
Integrales racionales
x+3
4
1
dx = ln |x − 1|−
(x − 1)(x2 + 2x + 4)
7
7
Ã
¯
¯
2 ln ¯x2 + 2x + 4¯ +
!
√
x+1
3
+
arctan √
3
3
x2 − x + 1
dx Como x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)entonces
x3 − 1
A
Mx + N
x2 − x + 1
=
+
(x − 1)(x2 + x + 1)
x − 1 x2 + x + 1
x2 − x + 1 = A(x2 + x + 1) + (M x + N )(x − 1)
1
Si x = 1 → 1 = 3A → A =
3
1
2
Si x = 0 → 1 = − N → N = −
3
3
7
2
2
Si x = 2 → 3 = + 2M − → M =
3
3
3
Z 2
Z
Z 2x − 2
x −x+1
1
1
3
3 dx = 1 ln |x − 1| + 2 J
dx =
dx +
x3 − 1 Z
3
x−1
x2 + x + 1
3
3
¯ √
2x
+
1
1 ¯¯ 2
x−1
+
dx = ln x + x + 1¯ − 3 arctan √
siendo J =
x2 + x + 1
2
3
C(Compruébalo)
¶
µ
Z 2
¯ √
x −x+1
1
2 1 ¯¯ 2
¯ − 3 arctan 2x√+ 1 + C
+
x
+
1
dx
=
ln
|x
−
1|
+
ln
x
x3 − 1
3
3 2
3
h)
1.1
1.
2.
3.
4.
5.
Ejercicios de integrales racionales
Z
Z
Z
Z
Z
1
2
3
4
x+1
1
2
3
dx =1 − ln x −
ln (x + 3) +
ln(x − 2) + C
2
+ x − 6x
6
15
10
3
x+3
dx =2 − − 2 ln x + 2 ln(x + 1) + C
3
2
x +x
x
x2 + 3x − 4
dx =3 = x + ln(x + 2) + 4 ln(x − 4) + C
x2 − 2x − 8
x2 − 3x − 1
1
3
dx =4 ln x + ln(x + 2) − ln(x − 1) + C
3
2
x + x − 2x
2
2
x2 + 4
2
25
dx = − 3 ln x + 20
39 ln (3x + 2) + 78 ln (2x − 3)
6x3 − 5x2 − 6x
x3
Z
Z ³
´
x+1
1
2
3
dx
− 15(x+3)
+ 10(x−2)
dx =
− 6x
2
+ x − 6x Z ³
Z
´
x+3
3
2
dx =
− x2 + x+1
x2
3
2
Z x2 + x
Z ³
´
x + 3x − 4
1
4
dx =
1 + x+2
dx
+ x−4
2
Z x 2− 2x − 8
Z
Z
Z
x − 3x − 1
1
3
1
dx =
dx +
dx −
dx
2x
2(x+2)
x−1
3
2
x + x − 2x
x3
4
Section 1.1
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Ejercicios de integrales racionales
Z
4x2 − 5x + 2
16
dx =5 41 ln (2x − 1) + 11
36 ln (2x + 1) − 45 ln (5x − 2) + C
2
Z (4x − 1)(5x − 2)
3x + 5
4
dx =6 21 ln (x + 1) −
− 12 ln (x − 1) + C
2
(x
+
1)(x
−
1)
x
−
1
Z
Z
Z
x
2
1
2
dx
=
2 dx +
x−2 dx = − x−2 + ln (x − 2) + C
(x−2)
(x − 2)2
Z
x4
1
4
dx =7 12 x2 + 3x − 2(−1+x)
2 − −1+x + 6 ln (−1 + x) + C
(x − 1)3
Z
Z 4
¡
¢
3
x − x3 − x + 1
dx
=
x − x12 dx = 12 x x+2 + C
3
2
x −x
Z
1
1
dx =8 ln x +
− ln(1 + x) + C
2
x(x + 1)
1+x
Z 4
4
3
x − 6x3 + 12x2 + 6
+4x2 +10−16x
+C
dx =9 12 x −4x (x−2)
2
x3 − 6x2 + 12x − 8
Z
2
x − 5x + 9
dx =10
(x − 3)2 (x + 1)2
Z 3
√
¡ 2
¢ √
x + x2 + x + 3
1
11
x
+
ln
x
+
ln
x
−
2x
+
3
+
2
arctan
(x
−
1)
2+C
dx
=
2
3
2 + 3x
Z x − 2x
2
√
√
x +4
dx =12 23 arctan x − 16 3 arctan 13 x 3 +C
2
2
(x + 1)(x + 3)
Z
¡
¢
x2 + 1
dx =13 23 ln (x − 3) + 16 ln x2 + x + 3 +
2
(x − 3)(x + x + 3) √
√
1
1
11 arctan 11
(2x + 1) 11 + C
Z33
Z
x+1
1
1
dx
=
3x−5 dx = 3 ln (3x − 5) + C
3x2 − 2x − 5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z ³
´
4x2 − 5x + 2
1
11
16
dx
=
+ 18(2x+1)
− 9(5x−2)
2(2x−1)
(4x2 − 1)(5x − 2)
Z ³
´
3x + 5
1
4
1
dx
dx
=
+
−
2
2(1+x)
2(−1+x)
2
(−1+x)
(x + 1)(x − 1)Z
³
´
x4
1
4
6
dx =
x + 3 + (x−1)
3 + (x−1)2 + x−1
(x − 1)3
Z ³
´
1
1
1
1
dx
dx =
− (1+x)
2 − 1+x
x
x(x + 1)2
Z ³
´
4
3
2
x − 6x + 12x + 6
22
8
dx =
x + (x−2)
dx
3 + (x−2)2
3
2
x − 6x + 12x − 8 Z
³
2
x − 5x + 9
3
1
15
dx =
− 32(x−3)
+ 16(x+1)
2 +
16(x−3)2
(x − 3)2 (x + 1)2
Z
´
³
3
2
x +x +x+3
x
dx
dx =
1 + x1 + 2 x2 −2x+3
x3 − 2x2 + 3x
µ
¶
Z
2
x +4
3
1
−
dx =
dx
2(x2 +1)
2(x2 +3)
(x2 + 1)(x2 + 3)
Z
´
³
2
x +1
2
dx
+ 13 x2x+1
dx =
3(x−3)
+x+3
(x − 3)(x2 + x + 3)
5
1
32(x+1)
´
dx
Chapter 1
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Integrales racionales
Z
2x + 4
3
+C
dx =14 12 ln (x + 1) − 12 ln (x + 1) − x−1
3 − x2 − x + 1
x
Z
x−3
1
ln (x − 4) +C
dx =15 − 34 ln x + 23 ln (x − 1) + 12
x3 − 5x2 + 4x
Z
x3 − x − 1
1
dx =16 x + 59 ln (x − 2) − 3(x+1)
− 59 ln (x + 1) + C
x3 − 3x − 2
Z
¡
¢
x2 − 2
dx =17 12 ln (x − 3) + 14 ln x2 + x + 2 +
3
2
x − 2x − x − 6 √
√
3
7 arctan 17 (2x + 1) 7 + C
14
Z
2x − 3
dx =18 12 ln (x − 1) + 32 ln (x − 3) + C
2 − 4x + 3
x
Z
x+1
2
3
ln (x + 3) + 10
ln (x − 2) + C
dx =19 − 16 ln x − 15
x3 + x2 − 6x
Z 3
√
√ ¢
¡
¢
¡
x + x2 + 2x − 5
dx =20 x− 16 ln(x−1)+ 16 12 ln x2 + 2x + 3 + 4 2 arctan 12 (x + 1) 2 +
x3 + x2 + x − 3
C
Z
¡
¢
3x − 2
dx =21 41 ln (−1 + x) + 54 ln (1 + x) − 34 ln x2 + 1 + arctan x + C
x4 − 1
Z
x4 + x2
x2 20
2
dx ==22
+ 16
+ 9 ln (x − 2) + 3(x+1)
9 ln (x + 1) + C
2
(x − 2)(x + 1)
2
Z 3
x − 2x + 1
1 2
1
44
1
x + 36
x − 135
ln (3x + 1) + 40
ln (2x − 1) + C
dx =23 12
6x2 − x − 1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z ³
´
2x + 4
1
3
1
dx ==
+ (x−1)
dx
2 − 2(x−1)
2(x+1)
2
−x −x+1
Z ³
´
x−3
3
2
1
dx
+ 3(x−1)
+ 12(x−4)
dx =
− 4x
x3 − 5x2 + 4x
Z ³
´
3
x −x−1
5
1
5
dx
+ 3(x+1)
dx =
1 + 9(x−2)
2 − 9(x+1)
3
x − 3x − 2
Z ³
´
2
x −2
1
dx =
+ 12 x2x+2
dx
2(x−3)
+x+2
x3 − 2x2 − x − 6 Z ³
´
2x − 3
1
3
dx
+ 2(x−3)
dx =
x2 − 4x + 3
Z ³2(x−1)
´
x+1
1
2
3
dx
dx =
− 6x − 15(x+3) + 10(x−2)
3
2
x + x − 6x
¶
Z
Z µ
x3 + x2 + 2x − 5
9+x
1
1
+
dx
dx =
dx
=
1
−
2
6(x−1)
6
x +2x+3
x3 + x2 + xZ− ³
3
´
3x − 2
1
5
dx
+ 4(x+1)
− 12 3x−2
dx =
4(x−1)
x2 +1
x4 − 1
Z ³
´
4
2
x +x
20
2
16
dx
dx =
x + 9(x−2)
− 3(x+1)
2 + 9(x+1)
2
(x − 2)(x + 1)
Z ³
´
3
x − 2x + 1
1
1
44
1
dx =
dx
x + 36
− 45(3x+1)
+ 20(2x−1)
6
6x2 − x − 1
x3
6