Funciones de varias variables. Extremos
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Funciones de varias variables. Extremos
Práctica de Cálculo, E.U.A.T, Grupos 1ºA y 1ºB, 2005
En esta práctica veremos cómo derivar funciones de varias variables y hallar extremos con Mathematica.
à Derivación
Derivadas parciales
Como se ha estudiado en teoría, las derivadas parciales de una función de varias variables son las derivadas con respecto a
una de las variables, considerando fijas las demás. En Mathematica, la orden D calcula derivadas de cualquier orden en las
variables que elijamos (en particular calcula derivadas de funciones de una sola variable, claro). Esta orden toma como
argumentos la función que uno quiere derivar, las variables en las que se quiere derivar y el orden de la derivación (cuántas
veces queremos derivar con respecto a cada variable):
In[1]:= f@x_, y_D := E ^ H-Hx ^ 2 + y ^ 2L 2L;
In[2]:= H* Primera derivada respecto a x *L
D@f@x, yD, xD
1
Out[2]= -ã 2
H-x2 -y2 L
x
In[3]:= H* Primera derivada respecto a y *L
D@f@x, yD, yD
1
Out[3]= -ã 2
H-x2 -y2 L
y
In[4]:= H* Segunda derivada respecto a x *L
D@f@x, yD, 8x, 2<D
1
Out[4]= -ã 2
H-x2 -y2 L
1
+ ã 2
H-x2 -y2 L
x2
In[5]:= H* Parcial respecto a x y respecto a y *L
D@f@x, yD, x, yD
1
Out[5]= ã 2
H-x2 -y2 L
xy
Ejercicio
Calcula el gradiente y la matriz hessiana de la función anterior .
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Derivadas direccionales
Una vez que tenemos el gradiente de una función podemos calcular su derivada direccional en cualquier dirección que
elijamos. Veámoslo en un ejemplo:
In[6]:= g@x_, y_D := x Cos@yD + y Cos@xD
In[7]:= gradg = 8D@g@x, yD, xD, D@g@x, yD, yD<
Out[7]= 8Cos@yD - y Sin@xD, Cos@xD - x Sin@yD<
In[8]:= H* Derivada direccional en la dirección 81,-1< *L
gradg.81, -1<
Out[8]= -Cos@xD + Cos@yD - y Sin@xD + x Sin@yD
In[9]:= H* La misma derivada direccional, evaluada en el punto 82,0< *L
gradg.81, -1< . 8x ® 2, y ® 0<
Out[9]= 1 - Cos@2D
Interpretación gráfica de la derivada direccional
Una derivada direccional no es más que la derivada de la función de una variable que resulta al "cortar" la gráfica de ua
función de varias variables con un plano vertical orientado en una dirección dada (de ahí el nombre). Es útil ver gráficamente lo que esto significa.
In[10]:= grafg = Plot3D@g@x, yD, 8x, -Pi, Pi<, 8y, -Pi, Pi<, AspectRatio ® Automatic, Mesh ® FalseD
General::spell1 : Possible spelling error: new symbol name "grafg" is similar to existing symbol "gradg".
Out[10]=
SurfaceGraphics
Para ver lo que significa la derivada parcial en la dirección del vector {1,1} en el punto {0,0}, dibujemos sólo el corte de la
gráfica con un plano que va en esa dirección:
In[11]:= H* La recta que pasa por H2,0L y va en la dirección de H1,1L *L
recta = 80, 0< + t 81, 1<;
H* La función g dibujada sobre esa recta *L
corte =
ParametricPlot3D@8recta@@1DD, recta@@2DD, g@recta@@1DD, recta@@2DDD<, 8t, -Pi, Pi<D
Out[12]=
Graphics3D
2
3
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In[13]:= Show@8grafg, corte, Graphics3D@[email protected], Point@80, 0, 0<D<D<D
Out[13]=
Graphics3D
5
0
2
-5
0
-2
0
-2
2
Si recta es la recta que definimos antes, entonces la derivada direccional no es más que la derivada usual de la función
g[recta[[1]],recta[[2]]] (que depende de t) en el punto 0. Hemos dibujado esta función sobre la gráfica de g para que se vea
que es la función g "vista en una cierta dirección"; la curva sobre la gráfica se recorre con distinta velocidad y sentido
dependiendo del tamaño y el sentido del vector según el cual calculamos la derivada direccional.
à Extremos de funciones derivables
En muchas situaciones se desea calcular el máximo o el mínimo valor de una función. Como calcular el mínimo de una
función f es lo mismo que calcular el máximo de −f, aquí hablaremos siempre de máximos (se entiende que los resultados
sirven también para mínimos cambiando f por −f).
En principio, un ordenador no puede decirnos si una función definida en todo el plano (o en la recta real, o en todo el
espacio) alcanza un valor máximo; esto es algo que debemos deducir de nuestra comprensión de la función (tal vez ayudándonos de su representación gráfica u otros cálculos).
Cuando tengamos motivos para pensar que la función de la que se trate tiene un máximo, sabemos que dicho máximo tiene
que ser un extremo relativo (un punto donde la función es siempre mayor o siempre menor que en los puntos cercanos). Si
además dicha función es derivable, en un extremo relativo todas sus derivadas primeras deben anularse (porque, intuitivamente, la cima de una montaña suave tiene que ser plana). Esta es una forma de buscar extremos de una función: primero
busquemos los puntos donde las derivadas primeras se anulen (se llaman puntos críticos; esperamos que no sean muchos) y
de entre ellos seleccionemos aquél donde la función es mayor. Esto nos dará el mayor valor de la función (suponiendo que
lo haya).
Por ejemplo, calculemos el máximo de la siguiente función (puedes pensar por qué sabemos que esta función debe tener un
máximo):
In[14]:= h@x_, y_D := -x ^ 4 - y ^ 4 + 2 x ^ 2 + y ^ 2 + 2;
Primero, hallamos los puntos donde el gradiente se anula (o sea, donde todas sus derivadas primeras se anulan):
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In[15]:= gradh = 8D@h@x, yD, xD, D@h@x, yD, yD<
General::spell1 : Possible spelling error: new symbol name "gradh" is similar to existing symbol "gradg".
Out[15]= 84 x - 4 x3 , 2 y - 4 y3 <
In[16]:= criticos = Solve@gradh 0, 8x, y<D
Out[16]= 98x ® -1, y ® 0<, 9x ® -1, y ® -
!!!! =, 9x ® -1, y ®
!!!! =, 8x ® 0, y ® 0<, 9x ® 0, y ® -
!!!! =,
1
2
1
2
1
1
1
9x ® 0, y ®
!!!! =, 8x ® 1, y ® 0<, 9x ® 1, y ® -
!!!! =, 9x ® 1, y ®
!!!! ==
2
2
2
1
2
Entre estos puntos, miramos dónde h es mayor:
In[17]:= Table@N@h@x, yD . criticos@@iDDD, 8i, 1, 9<D
Out[17]= 83., 3.25, 3.25, 2., 2.25, 2.25, 3., 3.25, 3.25<
Vemos que los puntos 2º, 3º, 8º y 9º de la lista anterior son máximos de h.
Ejercicio
Representa la función h (en una región adecuada para poder ver sus extremos "a ojo"). Calcula sus mínimos relativos.
¿Tiene la función h un mínimo absoluto?
Cómo distinguir entre máximos y mínimos relativos
Una vez que hemos calculado los puntos críticos de una función, algunos de ellos pueden ser máximos relativos, otros
mínimos relativos y otros ninguna de las dos cosas (estos últimos se llaman puntos de silla). La matriz hessiana de una
función puede ayudarnos a distinguir entre los tres casos si es definida negativa, definida positiva o indefinida.
Calculemos la matriz hessiana de h:
88D@h@x, yD, 8x, 2<D, D@h@x, yD, x, yD<, 8D@h@x, yD, y, xD, D@h@x, yD, 8y, 2<D<<;
In[18]:= hessiana@x, yD =
Veamos cuál es en algunos puntos críticos:
In[19]:= hessiana@x, yD . criticos@@1DD
Out[19]= 88-8, 0<, 80, 2<<
In[20]:= hessiana@x, yD . criticos@@2DD
Out[20]= 88-8, 0<, 80, -4<<
In[21]:= hessiana@x, yD . criticos@@4DD
Out[21]= 884, 0<, 80, 2<<
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El que una matriz sea definida positiva, negativa o indefinida depende de sus valores propios, aunque hay formas más
sencillas de verlo a simple vista que funcionan en muchos casos. Por ejemplo, cuando la matriz es diagonal (como las
anteriores) resulta especialmente fácil, como se ha estudiado en teoría.
Ejercicio
En cada uno de los puntos donde la hemos calculado, ¿la matriz hessiana de h es definida negativa, definida positiva,
indefinida o de ninguno de estos tipos? Los puntos anteriores, ¿son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de silla?
à Ejercicios
1− Calcula los extremos relativos de f(x, y) = (x + y^2)*E^(1 − x^2). ¿Cuáles de ellos son mínimos relativos? ¿Cuáles
máximos relativos? ¿Cuáles puntos de silla? ¿Alcanza esta función un máximo absoluto? ¿Alcanza un mínimo absoluto?
2−Calcula los extremos relativos de f(x,y) = cos(x) sin(y). ¿Tiene esta función máximo o mínimo absoluto?
3−Calcula los extremos absolutos de la función f(x,y)=E^(−(x+1)^2−y^2)−E^(−(x−1)^2−y^2).
4−Calcula la matriz Hessiana de la función f(x,y)=a x^2+c y^2+2 b x y. Determina qué han de cumplir a,b y c para que esta
matriz sea siempre definida positiva.
5− Queremos ir desde Granada hasta Madrid en coche. Sabemos, en general, que a velocidades altas el coche gasta más
cuanto más rápido vayamos. Para ser exactos, supondremos que si vamos a v kilómetros por hora el coche gasta v^3/500000
+ 5 céntimos por minuto (lo cual entra dentro de lo razonable: por muy despacio que vayamos, el coche siempre gasta algo,
y el gasto aumenta muy rápido con la velocidad) Suponiendo esto, ¿a qué velocidad debemos ir para que el gasto sea el
mínimo posible?
