transparencias

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
1.5 Efectos termoeléctricos (Dinámica en presencia de
gradientes de temperatura y potencial eléctrico)
Cuantización
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Cuantización
Distribución de portadores en presencia de gradientes de temperatura
y potencial eléctrico
∂∇ T
Condiciones estacionarias ∂∂tĒ = 0, ∂tr̄ = 0, ∂g
= 0 pero sistema no homogeneo:
∂t
T (r̄) !! (∃ distribución de temperaturas dentro del material, ∇r̄ T , ∇r̄ µ 6= 0)
En la aproximación del tiempo de relajación:
gn (r̄, k̄) = g0,n (r̄, k̄) +
e
τn (k̄)Ē · ∇k̄ gn (r̄, k̄) − τn (k̄)v̄n (k̄) · ∇r̄ gn (r̄, k̄)
~
Teniendo en cuenta que:
∇r̄ g(k̄, T (r̄), µ(r̄)) =
∂g
∂g
∇r̄ T +
∇r̄ µ
∂T
∂µ
y asumiendo que podemos quedarnos a 1er orden (respuesta lineal ≡ sustituimos
g → g0 en lado derecho de la ecuación para gn ):
∂f
εn (k̄) − µ
gn (r̄, k̄) = g0,n (k̄) + τn (k̄) −
(−∇r̄ T )
v̄n (k̄) · −eĒ0 +
∂ε ε=εn (k̄)
T
con Ē0 = Ē +
∇r̄ µ
.
e
(no incluimos explicitamente las dependencias en r̄ para aligerar la notación !!)
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Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε
j̄q ≡ flujo neto de calor por unidad de tiempo y superficie
j̄s ≡ flujo neto de entropía por unidad de tiempo y superficie
Utilizamos las ecuaciones termodinámicas para relacionarlas:
dQ = TdS
TdS = dU − µdN
j̄ε (r̄, t) =
X Z
2
n
ZB
⇒
⇒
d k̄
εn (k̄)v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
j̄q (r̄, t) =
X Z
2
n
ZB
j̄q = T j̄s
T j̄s = j̄ε − µj̄N
j̄N (r̄, t) =
X Z
2
n
ZB
d k̄
v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
d k̄ εn (k̄) − µ(r̄, t) v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
Condiciones estacionarias: Sustituimos la expresión para gn (r̄, k̄)
¯ 11 Ē0 + L̄
¯ 12 − ∇r̄ T
j̄
= L̄
T
¯ 21 Ē0 + L̄
¯ 22 − ∇r̄ T
j̄q
= L̄
T
¯ 11 = L0 , L̄
¯ 12 = L̄
¯ 21 = − 1 L1 , L̄
¯ 22 = 1 L2
con los tensores L̄
e
e2
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Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε (II)
Lα =
X Z
2
ZB
n
α
d k̄
∂f
v̄n (k̄)v̄n (k̄) εn (k̄) − µ(r̄, t)
τ
(
k̄)
−
n
(2π)3
∂ε ε=εn (k̄)
Tratamos de relacionarlo con la conductividad eléctrica. Asumiendo τn = τn (εn (k̄)),
definimos:
Z
X
d k̄
¯ (ε) =
σ̄
2e2 τn (ε)
δ ε − εn (k̄) v̄n (k̄)v̄n (k̄)
3
(2π)
ZB
n
y obtenemos:
Lα =
Z
+∞
−∞
∂f
¯ (ε)
dε −
(ε − µ)α σ̄
∂ε
∂f
¯ (εF ) (tensor
∼ δ(ε − εF )) con µ ' εF tenemos L0 = σ̄
∂ε
1
2
conductividad!!), pero L = L = 0 !!
Necesitamos ir mas alla de esa aproximación sencilla: Desarrollo de Sommerfeld
([?],p. 46, 760)
Z +∞
Z µ
π2
7π 4
kB T 6
dεH(ε)f (ε) =
dεH(ε)+ (kB T )2 H 0 (µ)+
(kB T )4 H 000 (µ)+O
6
360
µ
−∞
−∞
Tomando
−
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Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε (III)
Z +∞
Z +∞
∂f
dεH(ε)f (ε) =
dεK (ε) −
Podemos calcular integrales como:
con
∂ε
−∞
−∞
Z ε
dK (ε)
H(ε) =
⇐⇒ K (ε) =
dε0 H(ε0 ) con un desarrollo cerca de µ
dε
−∞
Como T TF , f (ε) se diferencia de su valor a T=0 sólo en un entorno del orden de
R +∞
R εF
KB T de ε = µ ⇒. La diferencia entre −∞
dεH(ε)f (ε) y su valor a T = 0 −∞
dεH(ε)
esta determinada por la variación de la función en ese entorno. Si no varia muy
rapidamente podemos calcular esa diferencia reemplazando H(ε) por los primeros
terminos de su desarrollo de Taylor.
Usando el desarrollo de Sommerfeld:
¯ 11 = σ̄
¯ (εF )
L̄
2
¯ 22 = π (k T )2 σ̄
¯ (εF )
L̄
B
3e2
2
¯ 21 = − π (k T )2 σ̄
¯ 12 = L̄
¯ 0 (εF )
L̄
B
3e
¿Por qué es suficiente quedarse con µ ' εF ?
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Conductividad térmica. Ley de Wiedemann-Franz
¯ 12 − ∇r̄ T
¯ 11 Ē0 + L̄
= L̄
T ¯ 21 Ē0 + L̄
¯ 22 − ∇r̄ T
= L̄
j̄
j̄q
T
¯ relaciona la corriente térmica con el ∇r̄ T en ausencia de corriente eléctrica
κ̄
¯ ∇T
j̄q = −κ̄
∃ acumulación de carga en uno de los extremos debido a la corriente eléctronica
inducida por ∇r̄ T hasta que se alcanza el estado estacionario en el que el campo
creado por esa carga acumulada cancela el efecto del ∇r̄ T
¯ 11 −1 L̄
¯ 12 − ∇r̄ T
j̄ = 0 ⇒ Ē0 = − L̄
T
−1
¯ 22 − L̄
¯ 21 L̄
¯ 11
¯ 12
¯ = L̄
y sustituyendo en la expresión de j̄q : κ̄
L̄
¯0 ∼
Para metales, como σ̄
¯
σ̄
εF
εF 2
)
BT
⇒ el 1er termino es mayor que el 2o por un factor ( k
¯ 22 + O
¯ = L̄
κ̄
kB T
εF
2
=
π2
3
kB
e
2
¯ (εF )
T σ̄
Recuperamos la ley de Wiedemann-Franz !!
κ
π2
=
σT
3
kB
e
2
= 2.44 × 10−8 watt-ohm/K2
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Experimentos: Desviaciones de la Ley de Wiedemann-Franz
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Efecto Seebeck. Termopares
Diferencia de potencial debida a un gradiente de temperaturas.
¯∇ T
Ē0 = Q̄
r̄
¯ 12
2 2
¯ = L̄
¯ 11 −1 L̄ = − π kB T σ̄
¯ −1 σ̄
¯0
Q̄
T
3 e
Efecto utilizado en los termopares para medir temperaturas.
Sistema conductor formado por dos metales conectados a través de un voltimetro con una resistencia
muy grande (j̄ ' 0).
Considerando x la distancia a lo largo de los hilos
metálicos el voltaje medido es:
1
Z
V =
0
1
Z
V =
QB
2
Ē0B · d x̄ +
2
Z
1
Ē0A · d x̄ +
Z
2
0
Ē0B · d x̄
Z 2
Z T2
∂T
∂T
dx+
QA
dx =
(QA −QB )dT
∂x
∂x
1
T1
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Efecto Peltier (efecto inverso al Seebeck)
T cte en el circuito ⇒
∂T
∂x
= 0.
∃ una corriente térmica que acompaña a la corriente
eléctrica
j̄
j̄q
¯ 11 Ē0
= L̄
¯
= L̄21 Ē0
¯ 11 −1 j̄ = Π̄
¯ 21 L̄
¯ j̄
j̄q = L̄
¯ : Coeficiente Peltier
Π̄
Flujo de calor (ΠA − ΠB )j̄ que entra en el circuito en
(1) y sale en (2) (suponemos ΠA > ΠB : (1) se enfria
y (2) se calienta (Enfriamiento controlado).