transparencias

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
1.3 Ecuación de Boltzmann y Aproximación del tiempo de
relajación
Cuantización
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Cuantización
Ecuación de Boltzmann (I)
Describe la acción conjunta sobre gn (r̄, k̄, t) de los dos mecanismos que caracterizan
el transporte:
1. Los campos externos cambian la distribución de portadores que tenemos en
equilibrio termodinámico.
2. Las colisiones tienden a llevar al sistema de nuevo al equilibrio.
Las colisiones crean y mantienen el equilibrio termodinámico a la temperatura local
T (r̄) impuesta por las condiciones del experimento, llevando el sistema a la
distribución de equilibrio gn,0 (r̄, k̄)
1
gn,0 (r̄, k̄) = f (r̄, k̄) =
exp
εn (k̄)−µ(r̄)
kB T (r̄)
+1
¿Cómo varia gn por efecto de los campos externos y las colisiones? (notación gn ≡ g)
g(r̄, k̄, t) = g(r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ −
F̄dt
, t − dt) +
~
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
col
Teorema de Liouville: volumenes en el espacio de fases se mantienen en la evolución con la dinámica semiclásica
g(r̄, k̄, t)d r̄(t)d k̄(t) = g(r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ −
F̄dt
, t − dt)d r̄(t − dt)d k̄(t − dt)
~
El Tma. permite la cancelación de los elementos de volumen del espacio de fases en ambos lados de la ecuación
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¿Cómo varia gn por efecto de los campos externos y las colisiones?
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Ecuación de Boltzmann (II)
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
=−
col
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
|
{z
(1)
+
out
}
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
|
{z
(2)
in
}
(1) e− ’s que estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt
pero no han llegado a r̄, k̄ porque han sido
~
desviados por las colisiones.
(2) e− ’s que no estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt
pero han llegado a r̄, k̄ porque han sido
~
desviados por las colisiones.
Para calcular (1) y (2) necesitamos conocer las probabilidades de transición W (k̄, k̄0 )
asociadas a los diferentes mecanismos de dispersion (defectos, fonones) (ver 1.7)
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
Z
=−
col
ZB
d k̄0
W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄)+
(2π)3
Z
ZB
d k̄0
W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄)
(2π)3
Desarrollando en dt y quedandonos con los terminos de primer order (g ≡ gn (r̄, k̄, t)):
1
∂g
+ v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g =
∂t
~
∂g
∂t
Ecuación de Boltzmann
col
Ecuación integro-diferencial dificil de resolver !!!
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Aproximación del tiempo de relajación (I)
La propiedad básica de las colisiones es que deben forzar a la distribución g a
relajarse a su forma en equilibrio térmico g0 (r̄, k̄) = f (r̄, k̄)
Aproximación del tiempo de relajación: las forma funcional mas sencilla para el
termino de colisiones que tiene esa propiedad
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
=−
col
g(r̄, k̄, t) − g0 (r̄, k̄)
τ (r̄, k̄)
1
g0 (r̄, k̄) =
exp
εn (k̄)−µ(r̄)
kB T (r̄)
+1
¿Qué significa τ (r̄, k̄) ≡ tiempo de relajación?







Supongamos que conectamos un campo externo, que crea una distribución
estacionaria de no equilibrio gs tat(k̄), y lo desconectamos rapidamente:
La Ec. de Boltzmann se reduce a:

F̄ = 0


∂g
g − g0

=−
∇r̄ g = 0
⇒
∂t
τ
(homogeneo, por simplicidad) 


τ (r̄, k̄) = τ cte
condición de contorno: g(k̄, t = 0) = gstat (k̄)
g(k̄, t) − g0 (k̄) = gstat (k̄) − g0 (k̄) e−t/τ
τ mide la velocidad a la que la distribución de no equilibrio relaja a la distribución de
equilibrio a través de las colisiones
(al cabo de un tiempo τ el sistema ha perdido toda la memoria de lo que ha pasado)
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Aproximación del tiempo de relajación (II)
La aproximación del tiempo de relajación convierte una ecuación integro-diferencial en
una ecuación diferencial:
∂g
1
g − g0
+ v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g = −
∂t
~
τ
con g ≡ gn (r̄, k̄, t) y τ ≡ τn (k̄, r̄)
I
En principio τ ≡ τn (k̄, r̄) al igual que g. En la mayoria de los casos podemos
considerarlo independiente de r̄ (mecanismos de dispersion (scattering)
homogeneos) No se verifica si, p.e., tenemos una distribución de defectos muy
inhomogenea.
I
En general no podemos despreciar la dependencia de τ en k̄ si queremos ser
cuantitativos, pero en muchos casos es suficiente considerar que depende de k̄ a
través de la energía τn (k̄) ≡ τn (εn (k̄))
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Soluciones estacionarias de la ecuación de Boltzmann en la Aprox. del
tiempo de relajación
Condiciones estacionarias:
g(r̄, k̄) = g0 (r̄, k̄) +
∂ Ē
∂∇r̄ T
∂g
= 0,
= 0,
=0
∂t
∂t
∂t
e
τ (k̄)Ē · ∇k̄ g(r̄, k̄) − τ (k̄)v̄(k̄) · ∇r̄ g(r̄, k̄)
~
Podemos resolver esta ecuación iterativamente:
1. Aproximamos los terminos en ∇k̄ g y ∇r̄ g por ∇k̄ g0 y ∇r̄ g0 ⇒: solución de 1er
orden (lineal) en los campos externos: Ecuación de Boltzmann linealizada
g(r̄, k̄) ' g (1) (r̄, k̄) = g0 (r̄, k̄) +
e
τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (r̄, k̄) − τ (k̄)v̄(k̄) · ∇r̄ g0 (r̄, k̄)
~
2. Aproximamos los terminos en ∇k̄ g y ∇r̄ g por ∇k̄ g (1) y ∇r̄ g (1) ⇒: aproximación
de 2o orden g (2) , cuadrática (∝ Ē · Ē) en los campos externos.
En general tendriamos una serie de potencias en los campos externos.
La conducción ohmica es lineal en Ē !!: podemos quedarnos con g (1) y suponiendo un
sistema homogeneo ∇r̄ g = 0, se reduce a:
g(k̄) ' g (1) (k̄) = g0 (k̄) +
e
τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (k̄)
~
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Soluciones estacionarias en la Aprox. del tiempo de relajación (II)
e
τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (k̄) Podemos interpretar esta ecuación
~
e
como un desarrollo de g0 (k̄) cerca de k̄: g(k̄) ' g0 k̄ + τ (k̄)Ē
~
Distribución de Fermi desplazada ~e τ (k̄)Ē con respecto a la posición de equilibrio ⇒
asimetría en k̄ que da lugar a una corriente.
g(k̄) ' g (1) (k̄) = g0 (k̄) +
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La relajación al estado de equilibrio requiere procesos inelasticos
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