Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte Física

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
1.2 Dinámica Semiclásica de electrones Bloch
Cuantización
Electrones libres
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Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Transporte: Dinámica Semiclásica + Ecuación de Boltzmann
Transporte: hay que incluir dos efectos que se oponen entre si:
1. Dinámica de electrones bajo la acción conjunta del potencial cristalino y campos
Ē y H̄ externos.
Tratamiento exacto muy complicado: Dinámica semiclásica de electrones Bloch :
tratamiento cuántico de los e− (se mueven sobre bandas) pero el efecto de los
campos externos se incluye de forma clásica.
2. Efectos disipativos debido a la dispersión (colisiones) con defectos, vibraciones
de la red (fonones) y otros electrones
Tratamiento exacto de la dispersión microscópica muy complicado: la
Ecuación de Boltzmann y la Aproximación del tiempo de relajación nos
permiten tratar de forma fenomenológica estos efectos (sin conocer los detalles
microscopicos, que discutiremos en 1.7.
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Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Dinámica Semiclásica de electrones Bloch
Describe como evolucionan la posición r̄ y el momento k̄ de un electron de la banda n
en presencia de campos externos y en ausencia de colisiones
(nos referimos a un paquete de ondas construido con estados de la banda n)
1. El indice de banda es una constante de movimiento (@ transiciones entre bandas)
2. El vector de onda de un e− está definido salvo la adición de un vector de la red
reciproca Ḡ: n, r̄, k̄ y n, r̄, k̄ + Ḡ describen el mismo electrón =⇒ todos los k̄’s de
una banda estan en la 1a Zona de Brillouin (ZB),la celda primitiva de la red
recíproca.
3. Ecuaciones de movimiento semiclásicas:
dr̄
1
r̄˙ =
= v̄n (k̄) = ∇k̄ εn (k̄)
dt
~
d
k̄
1
~k̄˙ = ~
= −e Ē(r̄, t) + v̄n (k̄) × H̄(r̄, t)
dt
c
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Densidades de corriente
densidad de corriente electrónica
j̄(r̄, t) =
X
j̄n (r̄, t) =
n
X
n
Z
2 (−e)
|{z}
spin
ZB
d k̄
v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
I
gn (r̄, k̄, t): densidad de portadores (densidad de estados electrónicos con
vectores de onda cercanos a k̄)
I
Sistema homogeneo, estado estacionario: gn (r̄, k̄, t) = gn (k̄)
I
En equilibrio térmico: gn (k̄) = f (εn (k̄)) con
1
Distribución de Fermi-Dirac
f (ε) =
exp ε−µ
+1
k T
I
Sistema estacionario, no homogeneo pero en equilibrio térmico local:
gn (r̄, k̄) = f (εn (k̄), T (r̄)) con T (r̄): temperatura local.
B
densidad de corriente de energía
j̄ε (r̄, t) =
X
n
j̄εn (r̄, t) =
X
n
Z
2
|{z}
spin
ZB
d k̄
εn (k̄)v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
Cuantización
Electrones libres
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Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Consecuencias de la Dinámica semiclásica: electrones y huecos
1. εn (k̄) = εn (−k̄) (simetría de inversión espacial) =⇒ v̄n (k̄) = −v̄n (−k̄) =⇒ Las
bandas llenas no conducen =⇒ solo son relevantes para el transporte las bandas
que cruzan el nivel de Fermi (εF )
(caso general, simetría de inversión temporal: εn (k̄, ↑) = εn (−k̄, ↓))
Teorema: La integral sobre cualquier celda primitiva del gradiente de una función
periódica f (k̄) = f (k̄ + Ḡ) se anula [Ashcroft]
Para bandas llenas gn (r̄, k̄, t) = 1:
Z
Z
d k̄
d k̄ 1
j̄n = 2(−e)
v̄n (k̄) = 2(−e)
∇ ε (k̄) = 0
3
3 ~ k̄ n
(2π)
(2π)
ZB
ZB
Z
Z
d k̄
d k̄ 1
j̄εn = 2
∇k̄ (εn (k̄))2 = 0
ε (k̄)v̄n (k̄) = 2
3 n
3
ZB (2π)
ZB (2π) ~
2. Electrones y huecos
Z
0=
ZB
d k̄
v̄n (k̄) =
(2π)3
Z
j̄n = (−e)
2
occ
Z
occ
d k̄
v̄n (k̄) +
(2π)3
d k̄
v̄n (k̄) = (+e)
(2π)3
Z
vacios
Z
2
vacios
d k̄
v̄n (k̄)
(2π)3
d k̄
v̄n (k̄)
(2π)3
La corriente producida ocupando con electrones un conjunto especifico de niveles
es la misma que la corriente que se produciría si
(a) ese conjunto de niveles no está ocupado y
(b) ocupamos todos los otros niveles de la banda con partículas de carga +e.
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Cuantización
Consecuencias de la Dinámica semiclásica: Masa efectiva
Los huecos se comportan dinámicamente como particulas de carga positiva con masa
efectiva m∗
~2
|k̄ − k̄0 |2
2m∗
~2
máximo de energía: ε(k̄) = ε(k̄0 ) − A|k̄ − k̄0 |2 = ε(k̄0 ) −
|k̄ − k̄0 |2
2m∗
k̄0 mínimo de energía: ε(k̄) = ε(k̄0 ) + A|k̄ − k̄0 |2 = ε(k̄0 ) +
k̄0
˙
Ē
~k̄=−e
e
~(k̄ − k̄0 )
˙ k̄) = + ~ k̄˙ z}|{
= − ∗ Ē (electrones)
k̄0 mínimo: v̄(k̄) = +
⇒ v̄(
m∗
m∗
m
~(k̄ − k̄0 )
˙ k̄) = − ~ k̄˙ = − −e Ē = + e Ē (huecos)
k̄0 máximo: v̄(k̄) = −
⇒ v̄(
m∗
m∗
m∗
m∗
En general,
˙ k̄) = −e Ē con M−1 =
v̄(
ij
M
1
M
=
ij
1 ∂ 2 ε(k̄)
~2 ∂ki ∂kj
M: tensor de masa efectiva (tensor inverso de la matriz hessiana de ε(k̄))
(tensor simétrico: se puede diagonalizar en sus ejes principales)
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Masa efectiva para una banda 1D
Efectos termoeléctricos
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Cuantización
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Masa efectivas de electrones y huecos en semiconductores [Kittel]
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Movimiento en un campo eléctrico continuo (DC) (I)
~k̄˙ = −eĒ =⇒ k̄(t) = k̄(0) −
et
Ē
~
¿Si k̄ varía para todos los electrones, por qué no hay corriente j̄n ∝ v̄n ?
et
j̄n ∝ v̄n ; v̄n (k̄(t)) = v̄n k̄(0) − Ē
~
v̄n (k̄) =
1
∇ ε (k̄)
~ k̄ n
⇒ v̄n (k̄) es periódica !!
I
es lineal con k̄ cerca del mínimo de la banda
I
crece hasta un máximo al alejarse del centro
de zona y cae a cero en los bordes: v̄n (k̄)
decrece al aumentar k̄ ⇒ aceleración opuesta
al campo aplicado (m∗ < 0 !!)
Se debe a la fuerza ejercida por el potencial periódico, que aunque no aparece
explicitamente en el modelo semiclasico, está escondida en él a través de la
dependencia funcional εn (k̄) definida por la estructura de bandas (recogido en m∗ )
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Movimiento en un campo eléctrico continuo (DC) (II)
Cuando un e− se aproxima a un plano de Bragg el campo eléctrico lo mueve hacia
niveles en los que cada vez es mas probable que sea reflejado en la dirección opuesta
(justo en el borde de zona las ondas se convierten en estacionarias!)
⇒ Oscilaciones Bloch: un campo Ē continuo induciría una corriente alterna !!
¿Por qué no se observan normalmente esas oscilaciones?
Lo evitan las COLISIONES: Para valores típicos del tiempo de relajación τ (tiempo
medio entre colisiones) el e− modifica su k̄ en una fracción muy pequeña de las
dimensiones de la Zona de Brillouin (ZB).
e Ē τ
1
Ē ∼ 10−2 V/cm; τ ∼ 10−14 s ⇒
∼
cm−1
~
10
y las dimensiones típicas de ZB ∼
1
∼ 108 cm−1
a