Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte Física

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
1.7 Mecanismos microscópicos de dispersión (defectos,
fonones, electrón-electrón). Dependencia de la resistividad con
la temperatura.
I
Mecanismos de dispersión: Discusión cualitativa
I
Desarrollo formal: interacción electrón-fonón y deducción de la curva universal de
Debye-Bloch.
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Variación de la resistividad con T. Mecanismos de dispersión
No hay dispersión en un cristal ideal para los
electrones Bloch.
I
Desviaciones de la periodicidad ideal:
Defectos y fonones (fluctuaciones térmicas
de los iones).
I
Efectos de interacción electrón-electrón:
fallo de la aprox. de e− independientes
¿Cuales son los mecanismos dominantes?
ρ(T ) =
1
m∗ 1
=
σ
ne2 τ
τ contiene toda la dependencia en T
I
T : Dominan los fonones de energía
maxima (ρ ∼ T )
I
T intermedia: fonones de baja energía
(ρ ∼ T 5 ) (hay desviaciones en muchos
materiales).
I
T defectos (ρ ∼ cte) y int.
electrón-electrón (ρ ∼ T 2 , sólo se observa
si la concentración de defectos es baja).
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Variación de la resistividad con la temperatura: defectos.
Defectos: vacantes, impurezas (substitucionales o intersticiales): Centros de
dispersión localizados y distribuidos al azar por el cristal
⇒ dispersión elástica (conserva la energía) e independiente de T.
Cuantización
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Mec. de dispersión
Cuantización
¿Cómo se combinan estos mecanismos?: Regla de Matthiesen.
1
1
1
1
=
+
+
+ ···
τ
τ1
τ2
τ3
donde los τj son los tiempos de relajación para cada uno de los diferentes procesos de
dispersión (scattering) (dispersión por defectos, emisión y absorción de fonones, etc)
El mecanismo de dispersión con τj más pequeño es el que domina, por lo que
podemos identificar regiones de temperatura en la que uno de los mecanismos es el
dominante y olvidarnos del resto.
¿Cuando falla esta aproximación?
I
El resultado de un proceso de dispersion influye en el resultado de otro.
I
Uno o mas de los τj depende fuertemente de k̄.
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Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Variación de la resistividad con T: interacción electrón-electrón.
En general, poco relevante, porque hay pocos estados accesibles:
I
Los estados inicial y final tienen energías y momentos cercanos a εF y kF
I
Se tienen que conservar la energía y el momento
Cuantización
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Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Variación de la resistividad con T: interacción electrón-electrón (II)
E1 + E2 = E3 + E4 > 2EF , y (E1 − EF ) + (E2 − EF ) > 0
k̄1 − k̄3 = k̄2 − k̄4
Sólo una fracción ∼ kB T /EF de los electrones puede dispersar con el electron en E1 y
k T 2
sólo una fracción ∼ kB T /EF de los estados finales son accesibles ⇒ τ1 ∝ EB
.
F
Se convierte en importante cuando:
I
I
La superficie de Fermi es complicada, por lo que la conservación de energía y
momento es posible para un conjunto mas amplio de procesos de dispersión.
La densidad de estados al nivel de Fermi es muy grande, incrementando
sustancialmente el número de estados iniciales y finales accesibles.
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Mec. de dispersión
Cuantización
Variación de la resistividad con T: Curva universal de Debye-Bloch.
ρ(T ) = A
T
ΘD
5 Z
0
ΘD /T
(ex
x 5 dx
− 1)(1 − e−x )
ΘD ≡ Temperatura de Debye
kB ΘD = ~ωD
con ωD ≡ frecuencia del fonón de energía más
alta si suponemos una relación de dispersión
lineal ω = vs k en toda la zona
(Modelo de Debye de los fonones)
resistividad dominada por la absorción y
emisión de fonones
¿Cuáles son la energía y momento
caracteristico de esos fonones, y cuantos hay?
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Curvas de dispersión para los fonones del Silicio
Mec. de dispersión
Cuantización
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Mec. de dispersión
Cuantización
Modelo de Debye. Densidad de estados de fonones.
Comparison of the Debye model and more realistic phonon dispersion curves.
I
The upper part of the figure shows the acoustic and optic modes of a
crystal with a simple diatomic basis, plotted as mode energy versus q (only
one of each of the three possible acoustic and optic branches is shown, for
clarity). In the Debye model, these are approximated by a straight line.
I
The lower part of the figure shows the effective volumes of integration used
in counting modes. In the Debye model, this is done by integrating over a
sphere in k-space of diameter ωD /vs , whereas the correct volume of
integration, encompassing the natural symmetry of the crystal and the
k-space periodicity of the phonon modes is the Brillouin zone. In the
diatomic crystal, the sphere must be of the same volume as the first two
Brillouin zones in order to encompass the correct number of states.
I
Note that a simple cubic lattice has been assumed, so that cross-section of
the first Brillouin zone is square.
ω = vs k , vs ≡ velocidad del sonido
dn
dn dk
=
= Hω 2
dω
dk dω
El número de modos totales 3Nl (N = número de celdas
unidad, l = número de átomos en la celda) satisface:
Z ωD
3
HωD
9Nl
3Nl =
dωHω 2 =
⇒ g(ω) = 3 ω 2
3
ωD
0
Densidad de estados g(ω) ≡
Los fonones son bosones !! fBE (ω) =
1
(Estadística de Bose-Einstein)
e~ω/kB T − 1
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Cuantización
Modelo de Debye. Número de fonones y energía media.
ωD
Z
Nph =
0
ωD
Z
Uph =
0
Z
x2
kB T 3 ΘD /T
dx x
~
e
−1
e
−1
0
Z
~ω
kB T 3 ΘD /T
x3
2
dx x
= 3 kB T
dω 3 ω ~ω/k T
B −1
~
e −1
ωD
ωD
e
0
dω
9Nl
ωD3
9Nl
ω
2
1
~ω/kB T
=
9Nl
ωD3
9Nl
• T ΘD (podemos llevar las integrales a infinito)
Z
x2
kB T 3 ∞
dx x
~
e −1
0
Z
9Nl
kB T 3 ∞
x3
=
k
T
dx x
3 B
~
e −1
ωD
0
Nph =
Uph
9Nl
ωD3
⇒ Nph ∼ T
3
⇒ Uph /Nph ∼ kB T
• T ΘD (podemos aproximar ex ∼ 1 + x)
Z
9
kB T 3 ΘD /T
T
xdx = Nl
⇒ Nph ∼ T
~
2 ΘD
0
3 Z Θ /T
D
9Nl
kB T
2
2
kB T
x dx = 3NlkB T ⇒ Uph /Nph = kB ΘD
=
~
3
ωD3
0
Nph =
Uph
9Nl
ωD3
(para T ΘD la distribución es muy diferente de la radiación de cuerpo negro
(fotones), ya que en el caso de fonones hay una frecuencia de corte: ωD )
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Mec. de dispersión
Cuantización
Dispersión electrón-fonón: ¿emisión o absorción?.
ε(k̄0 ) − ε(k̄) = ±~ω(q̄), k̄0 = k̄ + q̄
I
I
I
energía típica del fonon en T ~ω ∼ kB T ⇒ Esperamos que un electrón sea
dispersado por absorber un fonon de energia ∼ kB T .
Los estados vacios para los e− se encuentran en εF − kB T y los estados llenos
más energéticos están en εF + kB T ⇒ un electrón sólo puede emitir un fonon con
energía ∼ kB T (Est. Fermi-Dirac: no hay estados accesibles con energías
mayores !!)
Las probabilidades de absorber o emitir un fonon de energía ∼ kB T tienen la
misma dependencia con la temperatura: los dos procesos están controlados por
la densidad de fonones a esa energía
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Mec. de dispersión
¿Porqué es importante el momento de los fonones?. Mecanismos que controlan τσ y τκ
Cuantización
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Dispersión electrón-fonón: Energía y momento frente a T.
• T ΘD : Los fonones tienen una energía media ∼ kB ΘD que
corresponde a estados con momento grande q ∼ 1/a. La absorción o emisión de un fonón es capaz de llevar un electron hasta
el otro lado de la superficie de Fermi
⇒
1
1
≈
∝ Nph (con~ω ∼ kB T ) ∼ T
τσ
τκ
• T ΘD : los fonones tienen energías ~ω ∼ kB T kB ΘD ⇒
q kF . La dispersión inelastica por un solo fonón cambia la
1
energía del electron en ∼ kB T : ⇒
∝ Nph ∼ T 3 .
τκ
Sin embargo, un sólo proceso de dispersión no puede llevar al
electrón al otro lado de la superficie de Fermi ⇒ τσ τκ .
Para tener en cuenta que se necesitan muchos procesos de dispersión para eliminar el exceso de velocidad “hacia delante” del
electrón, la probabilidad de dispersión incluye una función peso
(1 − cosθ) con el ángulo de dispersión
1 − cosθ ≈
θ2
q2
ω2
≈
≈
∝ T2
2
2kF
2kF2 vs2
En este caso τσ ∝ T −5 y τκ ∝ T −3 : No se cumple la Ley de
Wiedemann-Franz
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Desviaciones del comportamiento σ ∝ T −5 para T ΘD .
Esta relación se cumple exactamente en muy pocos materiales. Las desviaciones
tienen que ver con dos razones fundamentales:
1. Procesos "umklapp": la periodicidad del espacio k̄ permite que fonones de
momento pequeño dispersen electrones sobre la superficie de Fermi hacia
estados vacios con energía ∼ εF en una zona de Brillouin adyacente donde los
estados pueden tener una velocidad casi opuesta a la del estado inicial.
Conservación del momento: k̄0 = k̄ + q̄ + Ḡ, Ḡ ≡ vector de la red recíproca.
2. Superficies de Fermi de geometría complicada dentro de la primera zona de
Brillouin, en las que fonones de momento pequeño pueden conectar secciones de
esa superficie con velocidade características muy diferentes.
Ambos efectos dan lugar a una probabilidad de dispersión aproximadamente
exponencial τ −1 ∝ e−ΘF /T , donde ΘF es una temperatura característica que
depende de la geometría de la superficie de Fermi.
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Dependencia con T de las conductividades eléctrica y térmica
(Resumen).
Temperatura
(dispersion)
tiempo de
relajación
κ
σ
Número de Lorenz
κ
(L = σT
)
T muy baja
τκ ≈ τσ
κ∝T
L = L0
(impurezas)
∼ const
σ ∼ const
(L0 =
T ∼ ΘD /10
(fonones)
τκ ∝ T −3
τσ ∝ T −5 → e−ΘF /T
κ ∝ T −2
σ ∝ T −5 → e−ΘF /T
L < L0
T ≥ ΘD
(fonones)
τκ ≈ τσ
∝ T −1
κ ∼ const
σ ∝ T −1
L = L0
2
π 2 kB
3 e2
)
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Mec. de dispersión
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Mecanismos de dispersión. Probabilidades de transición W (k̄, k̄0 )
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
=−
col
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
|
{z
(1)
+
out
}
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
|
{z
(2)
in
}
(1) e− ’s que estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt
pero no han llegado a r̄, k̄ porque han sido
~
desviados por las colisiones.
(2) e− ’s que no estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt
pero han llegado a r̄, k̄ porque han sido
~
desviados por las colisiones.
Para calcular (1) y (2) necesitamos conocer las probabilidades de transición W (k̄, k̄0 )
asociadas a los diferentes mecanismos de dispersion (defectos, fonones):
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
Z
= −V
ZB
col
d k̄0
W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄)+V
(2π)3
(hemos reemplazado
X
k̄0
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
Z
=V
col
ZB
Z
Z
−→ V
ZB
ZB
d k̄0
W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄)
(2π)3
d k̄0
)
(2π)3
d k̄0 W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄) − W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄)
3
(2π)
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Dispersión por defectos (I).
Defectos: vacantes, impurezas (substitucionales o intersticiales): Centros de
dispersión localizados y distribuidos al azar por el cristal
⇒ dispersión elástica (conserva la energía) e independiente de T.
W (k̄, k̄0 ) se calcula con T. de perturbaciones dependiente del tiempo (Regla de oro de Fermi)
W (k̄, k̄0 ) =
X
2
2π
δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) hk̄|Uimp |k̄0 i con Uimp (r̄) =
U(r̄ − R̄imp )
~
R̄imp
( R̄imp ≡ posiciones de los defectos (impurezas) en el cristal)
Suponiendo el caso más sencillo |k̄i =
√1
V
eık̄·r̄ y definiendo q̄ = k̄0 − k̄
2
2
Z
Z
d r̄
X
X
1
2
hk̄|Uimp |k̄0 i = eıq̄·r̄
eıq̄·R̄imp d r̄ eıq̄·r̄ U(r̄)
U(r̄ − R̄imp ) = 2 V
V R̄imp
R̄imp
Z
Transf. Fourier: U(q̄) =
d r̄ eıq̄·r̄ U(r̄), U(r̄) =
1
(2π)3
Z
d q̄ e−ıq̄·r̄ U(q̄)
2π 1
1
W (k̄, k̄0 ) =
|U(q̄)|2 Simp (q̄)Nimp δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) con Simp (q̄) =
~ V2
Nimp
2
X
ıq̄·R̄imp e
R̄imp
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Dispersión por defectos (II).
S(q̄) ≡ Factor de Estructura estatico (aparece en la T. de dispersión en sólidos y liquidos)
I
Para una Red de Bravais: S(q̄) =
1
Nceldas
2
X
eıq̄·R̄α = δq̄,{Ḡ}
R̄
α
Sólo es diferente de cero si q̄ es un vector
de la red reciproca.
Difracción de rayos X: picos en q̄ ∈ Ḡ
I
Está relacionado con la función de correlación de dos partículas n2 (r̄1 , r̄2 ) ≡
probabilidad de que si una partícula esta en r̄1 haya otra en r̄2 .
Z
0
V
1
d r̄d r̄0 n2 (r̄ + r̄0 , r̄)eıq̄·r̄
S(q̄) = 1 + n2 (q̄), n2 (q̄) =
N
V
n2 (q̄) para Red de Bravais: Picos en q̄ ∈ Ḡ asociados a las N(N-1)
coincidencias en posiciones cuando r̄1 y r̄2 están en puntos de la red
Si los defectos (impurezas) están distribuidos al azar y la concentración es pequeña
(separación entre ellas grande con respecto a las distancias interatómicas)
=⇒ Simp (q̄) ∼ 1 (no hay coherencia !!)
W (k̄, k̄0 ) =
2π nimp
|U(q̄)|2 δ(ε(k̄) − ε(k̄0 ))
~ V
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¿Cómo podemos relacionar W (k̄, k̄0 ) con τ (k̄)?.
Si U(r̄) es hermítico (i.e. real, invariante bajo inversión) =⇒ W (k̄, k̄0 ) = W (k̄0 , k̄) =⇒
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
Z
=V
ZB
col
d k̄0
W (k̄, k̄0 ) g(k̄0 ) − g(k̄)
(2π)3
¿Cómo se relaciona esta expresión con la aproximación del tiempo de relajación?
Z
g(k̄) − f (k̄)
d k̄0
∂g(r̄, k̄, t)
=−
W (k̄, k̄0 ) g(k̄0 ) − g(k̄)
=V
3
∂t
(2π)
τ
(
k̄)
ZB
col
En general, no podemos encontrar un τ (k̄) que satisfaga esa ecuación !!
Existe solución si suponemos (1) τ =cte y (2) ε(k̄ isotropo ⇒ g(k̄) = f (k̄) + Ā · k̄ ,
∂f
que incluye el caso de Ē uniforme: gn (k̄) = fn (k̄) + − ∂ε
τn (k̄)eĒ · v̄n (k̄); si estamos
cerca de los extremos de banda v̄n (k̄) = m~k̄∗ .
Z
Ā · k̄
d k̄0
∂g
=−
= −Ā · V
(k̄ − k̄0 )W (k̄, k̄0 )
3
∂t col
τ
ZB (2π)
1
=V
τ
Z
ZB
d k̄0 0
1
−
k̂
·
k̂
W (k̄, k̄0 )
(2π)3
τ : integral sobre los procesos de scattering, pesados por el factor 1 − k̂ · k̂ 0 ⇒ los
que más contribuyen son los que cambian significativamente la direccion.
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Dispersión por defectos (III).
Combinando este resultado con nuestra expresion para W (k̄, k̄0 ) para los defectos:
d k̄0 1 − k̂ · k̂ 0 |U(q̄)|2 δ(ε(k̄) − ε(k̄0 ))
3
ZB (2π)
2
2 2
Los e− relevantes son los cercanos a εF y como ε(k̄) ∝ k̄ ⇒ k̄ = k̄0 y
2
podemos tomar k̄ = kF y hacer la integral angular:
1
2π
=
nimp
τ
~
Z
1
2π 2
=
nimp
2
τ
~ vF kF2
2kF
Z
dq q 3 |U(q)|2
0
y la resistividad asociada a los defectos viene dada por
ρ=
m∗
2π 2 m∗
=
nimp
2
ne τ
ne2 ~2 vF kF2
2kF
Z
dq q 3 |U(q)|2
0
independiente de T y proporcional a la concentración de impurezas.
Cuantización
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Dispersión por fonones. Hamiltoniano para electrones e iones.
Ĥ
=
=
T̂n + T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn
M
X
α=1
−
NX
Ne
M
e ,M
X
~2
~2 2
1X
e2
∇2α +
−
∇i +
U(r̄i − R̄α ) +
+ V̂nn
2Mα
2m
2
|r̄i − r̄j |
i=1
i,α=1
i6=j
Si suponemos que todos los electrones son de valencia:
U(r̄i − R̄α ) =
M
1 X Zα Zβ e2
Zα e 2
, V̂nn =
2 α6=β |R̄α − R̄β |
|r̄i − R̄α |
En general U(r̄i − R̄α ): potencial nuclear apantallado por los electrones de core.
Hasta ahora hemos usado la aproximación de Born-Oppenheimer:
Mα m y las fuerzas son las mismas =⇒ La dinamica de los electrones (más
rápidos) y los iones pueden desacoplarse (Aproximación adiabática).
h
i
Ĥe [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i = T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn |ψ(r̄i , [R̄α ])i = EGS [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i
h
i
Ĥn |Ψ(R̄α )i = T̂n + EGS [R̄α ] |Ψ(R̄α )i = En |Ψ(R̄α )i
I
I
Los electrones ven los iones como centros de fuerza inmoviles.
Los nucleos ven el "valor medio" de las interacciones con los electrones, por lo
que los grados de libertad electronicos desaparecen de su ecuacion.
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Efectos termoeléctricos
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Cuantización
Dispersión por fonones. Interacción electrón-fonón.
• aproximación de Born-Oppenheimer:
h
i
Ĥe [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i = T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn |ψ(r̄i , [R̄α ])i = EGS [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i
h
i
Ĥn |Ψ(R̄α )i = T̂n + EGS [R̄α ] |Ψ(R̄α )i = En |Ψ(R̄α )i
Hemos supuesto además que:
• Los iones están fijos en la configuración de equilibrio R̄0nτ (α ≡ nτ donde n recorre
las celdas (los puntos) de la Red de Bravais y τ los átomos dentro de la celda unidad)
Estas ecuaciones nos han permitido estudiar por separado:
I la estructura de bandas para los electrones en el potencial periódico definido por
0 R̄nτ
h
i
0
0
Ĥe [R̄0nτ ]|ψ(r̄i , [R̄0nτ ])i = T̂e + V̂ne
+ V̂ee + V̂nn
|ψ(r̄i , [R̄0nτ ])i
0 I los modos normales de oscilación alrededor de R̄
nτ para el sistema de iones
(fonones).
Ahora vamos a dejar que estos dos sistemas
energía:
se comuniquen e intercambien
Los electrones ven la red en movimiento R̄nτ = R̄0nτ + ūnτ (t) como una
perturbación del potencial periódico que podemos interpretar en terminos de la
dispersión entre electrones y fonones
Desarrollamos V̂ne alrededor de las posiciones de equilibrio R̄0nτ .
V̂ne =
X
i,n,τ
U(r̄i − R̄0nτ ) −
X
i,n,τ
0
∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 · ūnτ (t) + · · · = V̂ne
+ Ĥel−ph + · · ·
nτ
Electrones libres
Electrones Bloch
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Hamiltoniano electrón-fonón (I).
Ĥel−ph = −
X
∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 · ūnτ (t)
nτ
i,n,τ
Podemos tratarlo como: (1) un potencial dependiente del tiempo y que causa
transiciones entre los estados electrónicos o (2) describirlo como la dispersión de los
electrones por la absorción y emisión de fonones.
Los desplazamientos de los iones se pueden reescribir en terminos de los modos
normales (fonones):
X
X
0
1
Qs,q̄ (t)ēsτ (q̄)eıq̄·R̄n =
ūnτ (t) = √
NMτ s,q̄
s,q̄
I
s
0 ~
ēs (q̄)eıq̄·R̄n âs+ (−q̄) + âs (q̄)
2NMτ ωs (q̄) τ
âs+ (q̄) y âs (q̄) son los operadores de creación y destrucción de fonones con
frequencia ωs (q̄) y un patron de desplazamientos atómicos definido por los
autovectores ēsτ (q̄). (Los operadores incluyen la dependencia temporal!!)
I
s nos indica la rama (acústica o optica que a su vez pueden ser longitudinal o
transversal,...). Recordar que para un sólido con Nbase átomos en la celda unidad
primitiva (τ = 1, · · · , Nbase ) tenemos 3 × Nbase ramas.
I
N ≡ numero de celdas unidad en el cristal. Mτ ≡ masa del átomo τ en la celda
unidad.
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Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Hamiltoniano electrón-fonón (II).
• Podemos reescribir el termino del gradiente usando la transf. Fourier del potencial
X
0
0
q̄0 U(q̄0 )eıq̄ ·(r̄i −R̄nτ )
∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 = ı
nτ
i,q̄0
• Usamos la expresión de la transf. de Fourier de la densidad electrónica en términos
de los operadores de creación y destrucción de electrones con momento k̄
(suponemos una única banda, caso general: añadir una suma en bandas)
X
X
0
+
ĉ
ĉk̄+
eıq̄ ·r̄i =
q̄0 k̄
i
k̄
• Realizamos la suma sobre los sitios de red
X
X
0
0
eı(q̄−q̄ )·R̄nτ = N
δq̄−q̄0 ,Ḡ
n
Ḡ
y podemos reescribir la interacción electrón-fonón como:
X
Ĥel−ph = −
Mq̄−Ḡ âs+ (−q̄) + âs (q̄) ĉ +
ĉ
k̄+q̄−Ḡ k̄
s,k̄,q̄,Ḡ
con el elemento de matriz (r̄τ ≡ posición del átomo τ dentro de la celda unidad)
s
X
N~
Mq̄−Ḡ = −ı
(q̄ − Ḡ) · ēsτ (q̄)eı(q̄−Ḡ)·r̄τ U(q̄ − Ḡ)
2M
ωs (q̄)
τ
τ
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Hamiltoniano electrón-fonón (III).
Ĥel−ph = −
X
Mq̄−Ḡ âs+ (−q̄) + âs (q̄) ĉ +
ĉ
k̄+q̄−Ḡ k̄
s,k̄,q̄,Ḡ
Absorción y emisión: Conservación de energía y momento (procesos normales y umklapp)
ε(k̄0 ) − ε(k̄) = ±~ω(q̄), k̄0 = k̄ + q̄ − Ḡ
Para fonones LA (longitudinal acústico), los más relevantes para el transporte:
s
~
Mq̄ = −ıD
|q̄|1/2 , ωLA (q̄) = vs |q̄|
2NMτ vs
P
vs ≡ velocidad del sonido, M = τ Mτ ≡ masa total de la celda unidad
D ≡ potencial de deformación: desplazamiento de las bandas cuando doblamos el
volumen de la celda unidad (∆V /V = 1)
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (I)
¿Cuales son los procesos relevantes?
P
(nos restringimos a una sola rama de fonones (en general s ) y procesos normales)
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
=
col
o
Xn
W e,q̄ (k̄ + q̄, k̄) + W a,−q̄ (k̄ + q̄, k̄) − W a,q̄ (k̄, k̄ + q̄) − W e,−q̄ (k̄, k̄ + q̄)
q̄
Calculamos las probabilidades de transición usando la regla de oro de Fermi
W e,−q̄ (k̄, k̄ + q̄) =
2
2π +
+
hfinal|Mq̄ â−
q̄ ĉk̄+q̄ ĉk̄ |iniciali δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ )
~
|iniciali = |nk̄+q̄ , nk̄ , N−q̄ , Nq̄ i,
|finali = |nk̄+q̄ + 1, nk̄ − 1, N−q̄ + 1, Nq̄ i
+
ĉk̄ |iniciali 6= 0 sólo si nk̄ = 1, y ĉk̄+
|iniciali 6= 0 si 1 − nk̄+q̄ = 1
q̄
W e,−q̄ (k̄, k̄+q̄) = Wq̄0 (1−nk̄+q̄ )nk̄ (N−q̄ +1)δ(ε(k̄+q̄)−ε(k̄)+~ωq̄ ),
con Wq̄0 =
2π 2
Mq̄
~
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (II)
Procedemos de manera analoga con los otros procesos. Teniendo en cuenta que la
distribución de portadores no tiene porque ser la de equilibrio por la presencia de
campos externos, reemplazamos nk̄ por gk̄
∂g(r̄, k̄, t)
∂t
=
X
+
(1 − gk̄ )gk̄+q̄ (Nq̄ + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ )
col
Wq̄0 {
q̄
−
(1 − gk̄+q̄ )gk̄ Nq̄ δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ )
+
(1 − gk̄ )gk̄+q̄ N−q̄ δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ )
−
(1 − gk̄+q̄ )gk̄ (N−q̄ + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) }
Resolvemos la ec. de Boltzmann bajo una serie de aproximaciones que nos permiten
una solución analítica
• (A) aproximación de Bloch: Nq̄ = N−q̄ = Nq̄0 (la distribución de fonones es la de
equilibrio térmico; no se ve afectada por la int. con los electrones)
o
Xn
∂g(r̄, k̄, t)
=
Wk̄+q̄,k̄ gk̄+q̄ (1 − gk̄ ) − Wk̄,k̄+q̄ gk̄ (1 − gk̄+q̄ )
∂t
col
q̄
h
i
Wk̄,k̄+q̄ = Wq̄0 (Nq̄0 + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) + Nq̄0 δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ )
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (III)
• (B) Principio de microreversibilidad: Zq̄ (k̄, k̄0 ) es simétrica
con Zq̄ (k̄, k̄0 ) = Wq̄ (k̄, k̄0 )fk̄ (1 − fk̄0 ),
Zq̄ (k̄, k̄0 ) = Zq̄ (k̄0 , k̄),
Wq̄ (k̄, k̄0 ) ≡ Wk̄,k̄+q̄
(la interacción con los fonones da una contribución nula cuando estamos en el
equilibrio térmico (gk̄ = fk̄ ) )
• (C) Aproximación de electrones isótropos: (1) τ =cte y (2) ε(k̄) isótropo ⇒
g(k̄) = f (k̄) + Ā · k̄ (la misma aprox. que hicimos en el estudio de los defectos)
• (D) Suponemos para la distribución de fonones un modelo de Debye
Tras un cálculo largo y complicado (ver los detalles en P. Philips, Advanced Solid State
Physics) recuperamos la curva universal de Debye-Bloch (kB ΘD = ~ωD = ~vs qD ):
1
= α0
τ
α0 =
T
ΘD
5
J5
ΘD
T
m∗ Z 2 kB5
,
3
7
24π ~ vs6 n2 nion Mg 2 (εF )
y
Z
J5 (y ) =
0
=⇒ ρ =
ρ0 =
m∗
= ρ0
ne2 τ
T
ΘD
5
J5
ΘD
T
m∗ α0
, g(εF ) ≡ densidad de estados en εF
ne2
x 5 dx
=−
x
(e − 1)(1 − e−x )
Z
0
y
∂
1
x 5 dx
∂x ex − 1