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Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión 1.6 Transporte en presencia de campos magneticos. Superficies de Fermi. Efecto Hall y Magnetoresistencia. Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dinámica semiclásica en H̄ uniforme r̄˙ = v̄n (k̄)= ~1 ∇k̄ εn (k̄) l ~k̄˙ = −e 1 v̄ (k̄) × H̄ c n =⇒ k̄˙ ⊥ ∇k̄ εn (k̄) y k̄˙ ⊥ H̄ ⇒ l k̄k = k̄ · H̄ y εn (k̄) son constantes de movimiento Los e− se mueven en curvas dadas por la intersección de superficies de energía constante con planos perpendiculares al campo magnético Superficie de Fermi cerrada ⇒ orbitas cerradas Superficie de Fermi abierta (corta los bordes de la zona de Brillouin) ⇒ orbitas abiertas Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Orbitas de electrón y de hueco en presencia de H̄ uniforme. Las orbitas se recorren de tal manera que los estados de energía mas baja están a nuestra izquierda Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Movimiento en espacio real en presencia de H̄ uniforme. Es facil determinar r̄⊥ = r̄ − Ĥ(Ĥ · r̄) ≡ Proyección de la orbita en espacio real en un plano ⊥ H̄. e eH ˙ ˙ = − eH r̄˙ ⊥ Ĥ · ~k̄˙ = − Ĥ × r̄˙ × H̄ = − r̄ − Ĥ(Ĥ · r̄) c c c e integrando r̄⊥ (t) − r̄⊥ (0) = − ~c Ĥ × k̄(t) − k̄(0) eH la proyección de la órbita en espacio real es simplemente la orbita en k̄ rotada π/2 ~c alrededor de la dirección del campo y escalada por eH . La componente paralela al campo, suponiendo Ĥ = ẑ: Z z(t) = z(0) + t vz (t)dt con vz = 0 1 ∂ε ~ ∂kz que no es necesariamente uniforme pues vz no es constante. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Movimiento en espacio real en presencia de H̄ uniforme (II) Electrones "libres" (ε = ~2 k 2 /2m∗ ): superficies de energía constante son esferas, cuya intersección con planos son siempre circulos, que rotados 90o siguen siendo circulos ⇒ recuperamos el resultado clasico Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Relación entre el periodo de las orbitas y la estructura de bandas Z t2 − t1 = t2 Z k2 dt = t1 k1 ~2 c dk = ˙ eH k̄ Z k2 k1 ~2 c 1 dk ⇒ t2 − t1 = (∇ ε)⊥ eH ∆ε k̄ Z k2 ∆(k̄)dk k1 ¯ k̄) = (∇ ε)⊥ · ∆( ¯ k̄) = (∇ ε)⊥ ∆(k̄) ∆ε = ∇k̄ ε · ∆( k̄ k̄ Tomando el límite ∆ε → 0: t2 − t1 = ~2 c ∂A1,2 eH ∂ε ∂A1,2 ∂ε ≡ velocidad a la que la porción de la orbita entre k̄1 y k̄2 barre el area en un plano cuando ε aumenta. Para orbitas cerradas: T (ε, kz ) = ~2 c ∂A(ε, kz ) eH ∂ε que podemos poner en terminos de una masa ciclotron efectiva m∗ (ε, kz ): T (ε, kz ) = 2π 2πc ∗ = m (ε, kz ) ωc eH Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Recordatorio: Construcción de las Zonas de Brillouin (2D) Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Superficie de Fermi: Electrones libres en 2D. Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Superficie de Fermi: Electrones libres en 3D, Red FCC. Mec. de dispersión Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Bandas de energía: Cu Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Superficie de Fermi: Metales nobles (FCC) Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dinámica semiclásica en campos Ē y H̄ perpendiculares Si Ē < H̄ podemos cambiar a un sistema de referencia en el que Ē0 = 0, y el problema se reduce al de sólo un campo H̄. Deshaciendo el cambio, la proyección de la órbita en espacio real es: ~c r⊥ (t) − r⊥ (0) = − Ĥ × k̄(t) − k̄(0) + w̄t eH w̄ = c E (Ê × Ĥ) H w̄ ≡ velocidad con la que se mueve el sistema de referencia en el que Ē0 = 0. Podemos reescribir la ecuación para k̄˙ en terminos de w̄: ~k̄˙ = − e ∇k̄ ε0 (k̄) × H̄ c~ con ε0 (k̄) = ε(k̄) − ~k̄ · w̄ órbitas en k̄: intersección de las superficies con ε0 constante con planos ⊥ H̄. Si Ē > H̄ podemos cambiar a un sistema de referencia que se mueve con w̄ = c H (Ê × Ĥ) en el que H̄0 = 0. E Movimiento hiperbólico: el campo Ē es tan intenso que la partícula es acelerada continuamente en la dirección del campo y su energía media aumenta. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Efecto Hall. Magnetoresistencia Simetría cúbica: j̄ = σ Ē; Si H̄ 6= 0, los portadores son deflectados y en general j̄ ∦ Ē ¯ (H)Ē ⇔ Ē = ρ̄ ¯(H)j̄ con ρ̄ ¯(H) = σ̄ ¯ −1 (H) j̄ = σ̄ ¯ (H), ρ̄ ¯(H) ≡ tensores magnetoconductividad y magnetoresistencia σ̄ Con la geometría del experimento (H̄ k z ⇒ j̄, Ē en el plano xy) y cond. estacionarias (jy = 0): Ex jx Ey Ex Coeficiente Hall: RH = =− jx H jy H Ey ≡ campo Hall VH = Ey dy ≡ Voltaje Hall Magnetoresistencia: ρxx (H) = 1 Modelo de Drude: ρxx = σ0 (la resistencia no depende de H̄) y RH = + nqc ¿Que dicen los experimentos? Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Efecto Hall y Magnetoresistencia: fenomenología experimental −1/RH nec para Al como función de ωc τ I I eH ωc = mc : frecuencia ciclotron (freq. angular de la órbita clásica) ωc τ es una buena medida de la intensidad del campo magnético: I I ωc τ : los e− pueden completar sólo una parte pequeña de la orbita entre colisiones. (H̄ deforma poco las órbitas electrónicas) ωc τ : los e− completan muchas orbitas entre colisiones. (H̄ cambia drásticamente las órbitas electrónicas) (un único portador con carga positiva !!) Magnetoresistencia I metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρxx (H) → cte (satura) |{z} H→∞ para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico") I semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual de huecos y de electrones): ρxx (H) no se satura para ninguna dirección y crece indefinidamente con H̄. I metales nobles (Au, Ag, Cu): ρxx (H) se satura para ciertas direcciones pero no para otras. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (I) Exploramos el régimen ωc τ : La dinámica es muy rápida y no valen las aproximaciones para el cálculo de g ≡ gn (r̄, k̄, t) que usamos en los efectos termoeléctricos. ∂g 1 g − g0 + v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g = − ∂t ~ τ La ec. de Boltzman en la aproximación del tiempo de relajación puede integrarse formalmente (el lado izquierdo es simplemente dg/dt): Z t Z t P(t, t 0 ) dt 00 dt 0 g0 (t 0 ) g(r̄, k̄, t) = ; P(t, t 0 ) = exp − 0 00 τ (t ) t 0 τ (t ) −∞ g0 , τ dependen implicitamente del tiempo (g0 (t 0 ) = g0 (r̄(t 0 ), k̄(t 0 ))) Integrando por partes y usando que g0,n (r̄, k̄) = f (r̄, k̄) ≡ distribución de Fermi Z t g(r̄, k̄, t) = f (r̄, k̄) − dt 0 P(t, t 0 ) −∞ df (t 0 ) dt 0 f depende de t a través de ε(k̄(t 0 )), T (r̄(t 0 )) y µ(r̄(t 0 )) ⇒ df (t 0 ) ∂f d k̄(t 0 ) ∂f d r̄(t 0 ) ∂f d r̄(t 0 ) = ∇ ε(k̄) · + ∇r̄ T · + ∇r̄ µ · dt 0 ∂ε k̄ dt 0 ∂T dt 0 ∂µ dt 0 y usando las ecuaciones semiclásicas: Z t ∂f ∇r̄ T g(r̄, k̄, t) = f (r̄, k̄) − dt 0 P(t, t 0 ) − v̄ · −eĒ − ∇r̄ µ − (ε − µ) ∂ε T −∞ Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (II) 0 1. Si suponemos que τ (k̄) = τ (ε(k̄)), como ε(k̄) es conservado ⇒ τ (t ) no depende de t 0 ⇒ P(t, t 0 ) = exp t−t 0 τ (ε) . 2. Podemos despejar v̄ en función de k̄˙ de las ecs. semiclásicas: H̄ × ~k̄˙ + eH̄ × Ē = −eH̄ × v̄ × H̄ c ~c H̄ × k̄˙ e H̄ × Ē = − H 2 v̄ ⇒ v̄ = − −c c e H2 H2 Usamos (1) y (2) para evaluar la integral sobre trayectorias: Z g =f + t − t 0 ~c H̄ × k̄˙ ∂f dt 0 exp · eĒ − 2 τ (ε) e H ∂ε −∞ t = |{z} (Ā×B̄)·C̄=(C̄×Ā)·B̄ t − t 0 ~c ˙ ∂f =f + dt 0 exp k̄ · Ē × H̄ − τ (ε) H 2 ∂ε −∞ Z t Integrando por partes: g=f+ Z t ~c ∂f 1 t − t0 0 k̄− < k̄ > Ē × H̄ dt exp · − con < k̄ >= k̄(t 0 ) H2 ∂ε τ (ε) −∞ τ (ε) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (I) j̄(r̄, t) = X Z −2e ZB n ~c d k̄ ∂f v̄ ( k̄)g ( r̄, k̄, t); g = f + k̄− < k̄ > · Ē × H̄ − n n n n (2π)3 H2 ∂ε (1) Todas las orbitas sobre la superficie de Fermi son cerradas:   0 si t = nT Z t 0 t −t 1 0 0 dt exp k̄(t ) = < k̄ >= < τ T(ε) k̄(t) acotado!! τ (ε) −∞ τ (ε) En el lim τ T = τ ω → ∞ podemos despreciar el efecto de < k̄ > y nos queda: Z j̄n = − 2e ZB = |{z} Z d k̄ ~c ∂f d k̄ ∂f ~c v̄n (k̄) − k̄ · Ē × H̄ = 2e k̄ · Ē × H̄ 3 2 3 2 (2π) ∂ε H ZB (2π) ∂~k̄ H Z Z 2ec nec d k̄ d k̄ ∇k̄ f k̄ · Ē × H̄ − 2 Ē × H̄ , con n = 2 f 2 3 3 H H ZB (2π) ZB (2π) int. por partes Podemos convertir la integral de volumen en una integral de superficie sobre el borde de la Zona de Brillouin " # Z 2ec nec j̄n = dS f k̄ · Ē × H̄ − 2 Ē × H̄ H 2 ΣZB H Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (II) " j̄n = 2ec H2 Z # nec dS f k̄ · Ē × H̄ − 2 Ē × H̄ H ΣZB Si todas las orbitas en la superficie de Fermi son cerradas, los bordes de zona pueden localizarse de tal manera que no haya órbitas que crucen los bordes de zona ⇒ todos los estados del borde de zona están ocupados o desocupados Si todos están desocupados ⇒ f se anula sobre el borde de zona: necE Ex 1 nec Ê × Ĥ = −new̄ ⇒ RH = − =− j̄n = − 2 Ē × H̄ = − (electrones) H H Hz jy nec I Si todos los estados en el borde de zona están ocupados podemos reescribir la integral anterior en terminos de f − 1 y repetir el argumento anterior para obtener: pecE Ex 1 pec j̄n = + 2 Ē × H̄ = + Ê × Ĥ = +pew̄ ⇒ RH = − =+ (huecos) H H Hz jy pec I Si contribuyen varias bandas, sumamos sus contribuciones: j̄ = X n j̄n = − neff ecE 1 Ê × Ĥ ⇒ RH = − H neff ec con neff ≡ suma de las densidades de portadores para cada banda. ¿Qué pasa si tenemos igual número de huecos y electrones neff = 0? (ver problema) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Coeficiente Hall para Aluminio(I): Sup. de Fermi para electrones libres Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Coeficiente Hall para el Aluminio(II) Cuando se incluyen los efectos del potencial periódico: 1. Los pequeños "bolsillos" en la IV Zona de Brillouin desaparecen. 2. Los estados de la III Zona se convierten en un conjunto de anillos desconectados (1) + (2) ⇒ órbitas cerradas en ambas ramas de la superficie de Fermi !! RH = − (nIII 1 (nIII − pII )ec ≡ concentración de electrones en la III ZB y pII ≡ concentración de huecos en la II ZB) n nII + nIII = 1 = 30 2n nII + pII = 2 = 30 ) ⇒ nIII − pII = − n0 = −1 3 Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (III) (2) Existen orbitas abiertas sobre la superficie de Fermi: I Los e− en esas órbitas no estan forzados por H̄ para seguir un mov. periódico en la dirección del campo eléctrico como ocurre con las órbitas cerradas. I H̄ no es efectivo en prevenir que esos e− puedan adquirir energía de Ē : corriente en la dirección n̂ de la orbita abierta caracterizada por ρxx (H) = EJ x : magnetoresistencia x ¿Por qué @ corriente asociada a las orbitas abiertas cuando Ē = 0? Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Órbitas abiertas: Dependencia angular de la magnetoresistencia Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Magnetoresistencia y carácter de las órbitas: Resumen I metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρxx (H) → cte (satura) |{z} H→∞ para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico") (sólo órbitas cerradas) I semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual de huecos y de electrones): ρxx (H) no se satura para ninguna dirección y crece indefinidamente con H̄. (ver problema) I metales nobles (Au, Ag, Cu): ρxx (H) se satura para ciertas direcciones pero no para otras (existen órbitas abiertas)

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