Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte Física

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte
Física del Estado Sólido II
Rubén Pérez
Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada
Universidad Autónoma de Madrid
Curso 2010-2011
Cuantización
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Índice
1.1 Transporte con electrones libres: colisiones, conductividad térmica y Efecto Hall
1.2 Dinámica Semiclásica de electrones Bloch
1.3 Ecuación de Boltzmann y Aproximación del tiempo de relajación
1.4 Conductividad Eléctrica DC
1.5 Efectos termoeléctricos (Dinámica en presencia de gradientes de temperatura y
potencial eléctrico)
1.6 Transporte en presencia de campos magneticos. Superficies de Fermi. Efecto Hall
y Magnetoresistencia.
1.7 Mecanismos microscópicos de dispersión (defectos, fonones). Dependencia de la
resistividad con la temperatura.
1.8 Transporte en sistemas nanométricos: Cuantización de la conductancia. Efecto
Hall Cuántico.
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Transporte con H̄
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Cuantización
1.1 Transporte con electrones libres: conductividad eléctrica,
colisiones, conductividad térmica y Efecto Hall
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Modelo de Drude: Teoría cinética del gas de electrones de conducción
Electrones de conducción: Los electrones
de valencia (Z) se desprenden de los átomos que forman el metal y se mueven libremente por el mismo.
Densidad electrónica n
(ρ:densidad del metal; mat :masa atómica)
n=
N
Zρ
= 0.6022 × 1024
V
mat
V
1
4πrs3
= =
;
N
n
3
rs =
3
4πn
1/3
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Modelo de Drude: Suposiciones básicas
1. Los electrones no interaccionan con otros electrones (Aproximación de electrones
independientes) ni con los iones de la red ( Aprox. de electrones libres) excepto
por el hecho de que estan confinados en el volumen del cristal.
2. En presencia de campos externos (Ē, H̄), los electrones siguen las leyes de
Newton
d p̄
p̄
= F̄ = −e Ē +
× H̄
dt
mc
3. Conducción eléctrica infinita !!: tenemos que considerar la presencia de colisiones
que mantienen en equilibrio el sistema.
d p̄
= −eĒ ⇒ p̄(t) = −eĒt → ∞ (t → ∞)
dt
4. Colisiones: eventos instantaneos que alteran la velocidad del electron
(mecanismos microscópicos??)
5. Un electron experimenta una colisión con una probabilidad
tiempo .τ : tiempo de relajación.
1
τ
por unidad de
6. Los electrones alcanzan el equilibrio térmico con su entorno a través de las
colisiones. Las colisiones mantienen el equilibrio termodinámico local: después
de una colisión, el e− sale con una velocidad independiente de la que tenia antes
de la colisión, dirigida al azar y con un valor consistente con la temperatura en el
lugar en el que se produjo la colisión (cuanto más caliente sea una region, mayor
será la velocidad de salida después de la colisión)
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Resistividad (ρ) y Conductividad (σ) eléctrica. Densidad de corriente
Ley de Ohm V = IR.
R depende de la geometría → resistividad electrica ρ: Ē = ρj̄ (en general, tensor)
Densidad de corriente: vector, paralelo al flujo de carga, cuyo módulo nos da la carga
que atraviesa la unidad de superficie normal al flujo por unidad de tiempo
(j̄ = AI ⇒ R = ρL
para un conductor de longitud L y sección A.)
A
En nuestro gas de electrones: j̄ = −nev̄
I
I
Ē = 0: < j̄ >= −ne < v̄ >= −nev̄avg = 0 (los electrones se mueven en cualquier
dirección con igual probabilidad)
Ē 6= 0: v̄(t) = v̄0 − eĒt/m (v̄0 : velocidad después de la última colisión)
v̄avg =< v̄0 > −eĒ
τ
1
ne2 τ
<t >
= −eĒ ⇒ j̄ = σ Ē; σ = =
m
m
ρ
m
Otro argumento: las colisiones generan una fuerza disipativa!!
Un electron en t habra sufrido una colisión en t + dt con una probabilidad dt/τ
p̄(t + dt) = (1 −
i
dt h
) p̄(t) + F̄(t)dt + O(dt)2 +
τ
dt
F̄(t)dt
τ
| {z }
han tenido colisión
p̄(t + dt) − p̄(t) = −
dt
τ
p̄(t) + F̄(t)dt + O(dt)2 ⇒
d p̄(t)
p̄(t)
=−
+ F̄
dt
τ
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Resistividades eléctricas y Tiempos de relajación
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Conductividad térmica (κ). Ley de Wiedemann-Franz
I
Suponemos que los electrones son responsables de la conducción térmica (los
metales son mejores conductores que los aislantes)
I
densidad de corriente térmica:
j̄q = −κ∇T
(vector k al flujo de calor y cuyo módulo nos da la energía termica por unidad de
tiempo que cruza la unidad de area ⊥ al flujo)
I
Si mantenemos una diferencia de temperatura entre dos puntos, en el estado
estacionario habra una corriente térmica fluyendo entre ellos: Después de cada
colisión un e− emerge con una velocidad apropiada a la temperatura local.
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Conductividad térmica (κ)
Argumento sencillo para el cálculo de la conductividad térmica κ
= 13 v 2 τ cv
ε(T [x 0 ]): energía térmica promedio de un e− que ha tenido su última colisión en x 0
El e− que llega a x desde el lado de alta temperatura, en promedio, ha tenido su
ultima colisión en x − v τ

e− que vienen del lado de alta temperatura
1 
j q (x) = nv 
2 
z
}|
{
ε(T [x − v τ ])

−
ε(T [x + v τ ])
|
{z
}



e− que vienen del lado de baja temperatura
Si la variación de temperatura en el recorrido libre medio l = v τ es pequeña,
podemos desarrollar alrededor de x
j q (x) = nv 2 τ
dε
dT
dT
−
=⇒
|{z}
dx
j̄q =
1 2
v τ cv (∇T )
3
1D→3D
donde en el paso 1D → 3D hemos reemplazado v por vx y utilizado:
< vx2 >=< vx2 >=< vx2 >=
n
1 2
v
3
dε
N dε
1 dE
=
=
= cv calor específico electrónico
dT
V dT
V dT
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Conductividad térmica. Ley de Wiedemann-Franz (1853): κ ∝ σT
κ
=
σ
1
c mv 2
3 v
ne2
independiente de τ !!
Si aplicamos las ideas del gas de
electrones clásico cv = 32 nkB y
1
mv 2 = 32 kB T :
2
κ
3
=
σT
2
kB
e
2
= 1.11 × 10−8 watt-ohm/K2
Cancelación de dos errores:
I
La contribucion electrónica al
cv a temperatura ambiente es
100 veces más pequeña que
la predicción clásica
I
v 2 media de los electrones es
100 veces mayor.
Sommerfeld: electrones libres con estadística Fermi-Dirac!!
cv =
π2
2
kB T
εF
nkB , vF2 =
2εF
κ
π2
⇒
=
m
σT
3
kB
e
2
= 2.44 × 10−8 watt-ohm/K2
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Efecto Hall: electrones en campos Ē y H̄ cruzados (I)
Dos cantidades relevantes:
Magnetoresistencia: ρ(H) =
Coeficiente Hall: RH =
Ey
jx H
Ex
jx
× H̄ que actua sobre cada electron (q = −e)
d p̄(t)
p̄(t)
p̄
=−
− e Ē +
× H̄
dt
τ
mc
Fuerza de Lorentz F̄ = q Ē +
p̄
mc
En estado estacionario, usando ωc =
eH
,
mc
=⇒
σ0 Ex = ωc τ jy + jx
σ0 Ey = −ωc τ jx + jy
El campo Hall Ey esta determinado por jy = 0 =⇒ Ey = −
RH = −
1
1
=
nec
nqc
ωc τ
σ0
jx = −
H
nec
jx
RH nos da acceso al signo de la carga y a
la densidad de los portadores !!
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Efecto Hall: electrones en campos Ē y H̄ cruzados (II)
−1/RH nec para Al como función de ωc τ
(un único portador con carga positiva !!)
I
I
ωc : frecuencia ciclotron (freq. angular
de la órbita clásica)
ωc τ es una buena medida de la
intensidad del campo magnético:
I
jy = 0 =⇒ jx = σ0 Ex : la resistencia no depende de H̄. Experimentos: cambios drámaticos en muchos materiales
I
ωc τ : los e− pueden completar
sólo una parte pequeña de la orbita
entre colisiones. (H̄ deforma poco las
órbitas electrónicas)
ωc τ : los e− completan muchas
orbitas entre colisiones. (H̄ cambia
drásticamente las órbitas electrónicas)