Tecnun – Electricidad y Magnetismo: Problema 3.31 Sin dieléctrico

Tecnun – Electricidad y Magnetismo: Problema 3.31
Sin dieléctrico:
C=
q
=
V
q
= 4πε 0 a
q
4πε 0 a
Con dieléctrico:
Œ
Aplicamos Gauss con r > a + t
D
q
q
4πr 2 ⋅ D = q ⇒ D =
→E=
=
2
ε 0 4πε 0 r 2
4πr
q
V=
+ C , siendo C = 0 aplicando la condición de potencial nulo en el infinito
4πε 0 r
Œ
Aplicamos Gauss con a < r < a + t
q
D
q
4πr 2 ⋅ D = q ⇒ D =
→E=
→V=
+C
2
ε0ε r
4πε 0 ε r r
4πr
En este caso hallamos la constante de integración aplicando la continuidad del
potencial en r = a + t :
q
q
V(r = a + t ) =
+C=
4πε 0 ε r (a + t )
4πε 0 (a + t )

q
1
q  1 εr − 1
 +

1 −  → V =
4πε 0 (a + t )  ε r 
4πε 0 ε r  r a + t 
1
424
3
εr −1
εr
Finalmente, aplicamos Gauss con r < a
D = 0 ⇒ E = 0 → V = cte = V(r = a ) . Aplicando continuidad del potencial en r = a:
q  1 εr −1
q  a/ + t + aε r − a/ 


V=
 +
=
4πε 0 ε r  a a + t  4πε 0 ε r  a (a + t ) 
C=
Œ
El nuevo valor de la capacidad es: C′ =
Y por lo tanto:
4πε 0 ε r ⋅ a (a + t ) ε r (a + t )
C′
=
=n=
(aε r + t ) ⋅ 4πε 0 a aε r + t
C
4πε 0 ε r ⋅ a (a + t )
q
=
aε r + t
q  aε r + t 


4πε 0 ε r  a (a + t ) 