πε πε

22.20
a) A una distancia de 0.2 cm del centro de una esfera conductora con carga
cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo
eléctrico a 0.6 cm del centro de la esfera?
b) A una distancia de 0.2 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con
carga, cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el
campo eléctrico a 0.6 cm del centro del eje del cilindro?
c) A una distancia de 0.2 cm de una lámina con carga grande y uniforme, el
campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.2 cm desde la
lámina?
a)
(480 / C )(0.002m) 2
q
−13
=
480
/
⇒
=
=
C
E1 =
C
q
2
.
13
10
2
2
4πε 0 r1
9 m
(8.9 10
)
2
C
2
1 q
2.13 10 −13 C
9 m
E2 =
= (8.9 10
= 53.2 / C
)
2
2
2
C
4πε 0 r2
(0.006m)
1
22.20
a) A una distancia de 0.2 cm del centro de una esfera conductora con carga
cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo
eléctrico a 0.6 cm del centro de la esfera?
b) A una distancia de 0.2 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con
carga, cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el
campo eléctrico a 0.6 cm del centro del eje del cilindro?
c) A una distancia de 0.2 cm de una lámina con carga grande y uniforme, el
campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.2 cm desde la
lámina?
b)
E 2πrl =
q
λ
q
⇒E=
=
2πε 0 r l 2πε 0 r
1
ε0
λ
= 480 ⇒ λ = 480 (2πε 0 )(0.002m) = 53.4 10 −12 C / m
E1 =
C
C
2πε 0 r1
λ
53.4 10 −12 C / m
=
= 160
E2 =
C
2πε 0 r2 2πε 0 (0.006m)
22.20
a) A una distancia de 0.2 cm del centro de una esfera conductora con carga
cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo
eléctrico a 0.6 cm del centro de la esfera?
b) A una distancia de 0.2 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con
carga, cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el
campo eléctrico a 0.6 cm del centro del eje del cilindro?
c) A una distancia de 0.2 cm de una lámina con carga grande y uniforme, el
campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.2 cm desde la
lámina?
c)
E1 =
σ
= 480
2ε 0
C
σ
= 480
E2 =
2ε 0
C
No depende de la distancia
22.37 Una esfera conductora sólida de radio R, que tiene una carga positiva Q,
es concéntrica con una coraza aislante muy delgada de radio 2R que también
tiene una carga Q. La carga Q está distribuida uniformemente en toda la
coraza aislante. Halle el campo eléctrico en cada una de las regiones, 0 < r <R,
R < r < 2R y r > 2R.
+Q
0 < r < R E=0 (conductor en condiciones electrostáticas)
R
+Q
R < r < 2R
2R
r > 2R
E 4πr =
2
E 4πr =
2
Q
ε0
2Q
ε0
1
Q
⇒E=
4πε 0 r 2
1
2Q
⇒E=
4πε 0 r 2
* En clase 11/9
Una coraza esférica conductora pequeña de radio interior a y radio exterior b
es concéntrico con una coraza esférica conductora grande de radio interior
c y radio exterior d. La coraza interior tiene una carga total +2q, y la
coraza exterior una carga +4q.
a) Calcule el campo eléctrico en términos de q y de la distancia r respecto al
centro común de las dos corazas cuando:
r < a;
a < r < b;
b < r < c;
c < r < d;
d
c
b
a
r > d;
b) Calcular la carga total de la superficie interna de la coraza pequeña, la
superficie externa de la coraza pequeña, la superficie interna de la coraza
grande, la superficie externa de la coraza grande.
CAMPO UNIFORME ENTRE DOS LÁMINAS
+
+
+
+
+
E2
-
-
-
+σ
+
E1
-
-
-σ
σ
E1 =
(− ˆj )
2ε 0
σ
E2 =
(− ˆj )
2ε 0
σ ˆ
E = (− j )
ε0
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA EN UN CAMPO UNIFORME
y
+
+
+
E
+
a
+
+
q0
-
-
-
b
-
d
-
El campo eléctrico entre las placas es uniforme
y ejerce una fuerza hacia abajo sobre una
carga positiva q0:
F = q0 E
-
La carga se desplaza hacia abajo una distancia
d del punto a al punto b.
El trabajo realizado por el campo eléctrico es:
Wa →b = Fd = q0 Ed
En ese caso la fuerza tiene la misma
dirección que el desplazamiento de la carga,
el trabajo es positivo.
La fuerza ejercida por el campo eléctrico es conservativa, se puede definir
una energía potencial U:
Wa →b = −∆U = −(U b − U a ) = −(q0 Eyb − q0 Eya ) = q0 E ( ya − yb )
y
+
+
+
E
+
a
+
+
-
-
q0
-
-
-
b
-
Cuando ya > yb la carga positiva se mueve en
dirección del campo, el campo realiza trabajo
positivo y U disminuye. Cuando ya < yb el
campo realiza trabajo negativo y la energía
d potencial aumenta.
Si la carga de prueba q0 es negativa, la
energía potencial aumenta cuando la carga se
desplaza con el campo y disminuye cuando el
desplazamiento es contra el campo.
U aumenta si la carga de prueba se desplaza en la dirección opuesta a la
fuerza eléctrica, U disminuye si la carga de prueba se desplaza en la misma
dirección de la fuerza eléctrica.
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE DOS CARGAS PUNTUALES
F=
E
q
+ ra
a
b
rb
Wa →b
rb
1
El trabajo depende sólo de los puntos extremos.
El trabajo es el mismo en todas las trayectorias
posibles de a a b.
qq0
qq0  1 1 
 −  = U a − U b
= ∫ Fdr = ∫
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0  ra rb 
ra
ra
rb
rb
Wa →b
qq0
4πε 0 r 2
qq0
qq0  1 1 
 − 
= ∫ Fdr = ∫
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0  ra rb 
ra
ra
rb
q0
1
1
qq0
U=
4πε 0 r
1
Energía potencial eléctrica de dos
cargas puntuales q y q0.
La energía potencial siempre se define en relación con cierto punto de
referencia donde U=0. U es cero cuando la distancia entre q y q0 es una
distancia infinita r=∞.
U=
∞
Wr →∞ = ∫
r
1
qq0
4πε 0 r
qq0
qq0  1 1  qq0 1
=
dr
 − =
2
4πε 0 r
4πε 0  r ∞  4πε 0 r
1
Por consiguiente, U representa el trabajo que el campo de q realizaría sobre la
carga de prueba q0 si q0 se desplaza desde una distancia inicial r al infinito. Si
las dos cargas tienen el mismo signo, la interacción es de repulsión y U es
positiva. Si las cargas tienen signo opuesto la interacción es de atracción y U es
negativa.
La energía potencial U es una propiedad compartida de las dos cargas q y q0, es
una consecuencia de la interacción entre ellas. Por eso nunca empleamos la
frase “la energía potencial eléctrica de una carga puntual”.
CONSERVACIÓN DE ENERGÍA CON FUERZAS ELÉCTRICAS
Un positrón tiene una masa m=9.11 10-31 kg y una carga q=+1.6 10-19 C. Suponga que un
positrón de desplaza en las cercanías de una partícula alfa, cuya carga es q=3.2 10-19 C. La
partícula alfa tiene una masa más de 7000 veces mayor que la del positrón; por tanto,
suponemos que está en reposo en cierto marco inicial de referencia. Cuando el positrón
está a ra=10-10 m de la partícula se aleja directamente de ésta con una rapidez v=3 106
m/s. a) ¿Cuál es la rapidez del positrón cuando las dos partículas están a rb=2 10-10 m una
de la otra? b) ¿Cuál es la rapidez del positrón cuando está muy lejos de la partícula alfa?
ra=10-10
m
rb=2 10-10 m
Kb + U b = K a + U a
a)
El campo eléctrico producido por la partícula alfa no es
uniforme (depende de la distancia), NO SE PUEDEN USAR
FÓRMULAS DEL MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
UNIFORME
⇒ Kb = K a + U a − U b
1 2 1
K a = mva = (9.1110 −31 kg )(3 106 m / s ) 2 = 4.110 −18 J
2
2
2
1 qq0
(3.2 10 −19 C )(1.6 10 −19 C )
−18
9 m
Ua =
= (8.9 10
)
=
4
.
61
10
J
−10
2
4πε 0 ra
C
10 m
2
qq0
(3.2 10 −19 C )(1.6 10 −19 C )
−18
9 m
Ub =
= (8.9 10
)
=
2
.
3
10
J
−10
2
4πε 0 rb
C
2 10 m
1
La energía cinética final es:
1 2
K b = mvb = 4.1 10 −18 J + 4.1610 −18 J − 2.3 10 −18 J = 6.4110 −18 J
2
y la rapidez final del positrón es:
2Kb
2(6.4110 −18 J )
6
vb =
=
=
3
.
8
10
m/s
−31
m
9.1110 kg
b)
Cuando el positrón está muy lejos de la partícula alfa, rb=∞ y Ub=0,
entonces:
1 2
mvb = 4.110 −18 J + 4.1610 −18 J − 0 = 8.7110 −18 J
2
2Kb
2(8.7110 −18 J )
6
=
=
4
.
4
10
m/s
vb =
− 31
m
9.1110 kg
Kb =
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA CON VARIAS CARGAS PUNTUALES
q1
q2
r1
r2
q0
r3
q3
Supóngase que el campo eléctrico E en que se
desplaza la carga q0 se debe a varias cargas
puntuales q1,q2,q3..a distancias r1,r2,r3..de q0.

q0  q1 q2 q3
q0


+ + + ..  =
U=

4πε 0  r1 r2 r3
 4πε 0
qi
∑i r
i
Energía potencial asociada con la presencia de la carga q0 en el
campo E producido por q1,q2,q3 (trabajo para traer la carga q0
desde el infinito).
También interviene una energía potencial en el acto de reunir todas estas
cargas si en un principio están todas separadas por distancias infinitas. Si
la distancia entre qi y qj es rij:
U=
1
4πε 0
∑
i< j
qi q j
rij
Ejemplo 23.2 Dos cargas puntuales están sobre el eje x: q1=-e en x=0 y q2=+e
en x=a. a) Halle el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una
tercera carga q3=+e desde el infinito hasta x=2a. b) Halle la energía potencial
del sistema de tres cargas.
r13=2a r23=a
q1=-e
q2=+e
q3=+e
+
+
-
x=a
x=0
x=2a
q3  q1 q2 
e −e e 
e2
 +  =
a) W = U =
+ =

4πε 0  r13 r23  4πε 0  2a a  8πε 0 a
b)
U=
1
4πε 0
∑
i< j
qi q j
rij
1  q1q2 q1q3 q2 q3 
 =

=
+
+
4πε 0  r12
r13
r23 
1  − e(e) − e(e) (e)(e)  − e 2
+
+

=
4πε 0  a
2a
a  8πε 0 a