Teoria de Colas

Teoría de Colas
Teoría de Líneas de Espera
•  COLAS: Líneas de espera que utiliza
modelos matemáticos que describen
sistemas de líneas particulares o
Sistemas de Colas.
•  Modelos presentan las siguientes
características:
–  Estado Estable
•  Tiempo de espera no muy largo.
•  Costo de Servicio no sea muy alto.
Dos Componentes
PEPS
Desempeño en el Servidor
Trabajo en equipo
Trabajo individualizado
El Modelo Básico
› Este
sistema se conoce como cola de
espera de un servidor
› Supuestos:
›  Llegadas
entran al sistema de manera
aleatoria
›  Las llegadas vienen de una población
infinita y llegan una a la vez
›  No se permiten llegadas simultáneas
›  Distribución de Poisson
El Modelo Básico
› Supuestos:
›  Las
llegadas no pueden cambiar lugares en
la línea
›  Las llegadas no pueden dejar la cola antes
de ser servidas
›  Las llegadas no pueden cambiar lugares en
la línea
›  Se supone que un solo servidor
proporciona el servicio que varía
aleatoriamente
›  No se permite que las unidades que salen
del sistema vuelvan a entrar de inmediato
Características de Operación
a) 
Análisis de la Cola
Longitud Promedio
de la Cola
Tiempo de Espera
Promedio en la Cola
2
Lq =
λ
µ(µ-λ)
Wq =
Lq
λ
En donde:
λ es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo
µ es la tasa promedio de servicio de las llegadas por
unidad de tiempo
Características de Operación
b)  Análisis del Sistema
Longitud Promedio
del Sistema
L=
λ
µ-λ
Tiempo de Espera
Promedio en el Sistema
W=
1
µ-λ
Regla general: la tasa de llegada debe ser menor
que la tasa de servicio
C) Utilización de la Instalación de Servicio
›  Probabilidad
esté vacío:
λ
de que el sistema Po = 1 -
›  Tiempo
de actividad esperado
en el sistema:
µ
U = 1 - Po
n
›  Probabilidad
de tener n
unidades en el sistema:
›  Probabilidad
exceda a L:
de que la línea
Pn =
λ
Po
µ
L+1
P(n>L)=
λ
µ
Ejemplo
› Para
utilizar una máquina cajera
automática de un banco, llegan
clientes al azar a una tasa de 5 por
hora. Si la máquina cajera puede
despachar a 10 clientes por hora,
determine el actual sistema de
operación de esta instalación de
servicio
Análisis Económico
› Costo
de servicio Cs
› Costo
de espera Cw
Costo del Sistema
CT
$o¢
Cs
Cw
T óptima
Tasa de Servicio
Ejemplo. Costo de espera conocido
› Se
está estudiando un muelle de carga y
descarga de camiones para aprender cómo
debe formarse una brigada. El muelle solo
tiene espacio para un camión, el tiempo de
descarga puede reducirse aumentando el
tamaño de la brigada. Las llegadas tienen
un comportamiento Poisson y tiempo de
servicios exponenciales.
› La
tasa promedio de servicio es un camión
por hora para un cargador; los camiones
llegan a una tasa de dos por hora, en
promedio y el costo de espera es de $20 por
hora por camión.
› Si se le paga $5 la hora a cada miembro de
la brigada ¿Cuál es el mejor tamaño de esta?
¿Qué hacer cuando el costo de
espera es desconocido?
$
µ=
λ
2
2
+
λ
4
+
λ
Wq
›  La
Ozella Fish Co. le compra a botes
camaroneros independientes, su pesca de
camarón para posteriormente empacarlo y
venderlo a cadenas de supermercados en todo el
país.
Cuando estos botes llegan durante la
temporada de pesca, hay que descargarlos tan
rápido como sea posible para que puedan volver
al mar. Si el patrón de llegada de los botes es
aleatorio y el tiempo de descarga también lo es,
¿cuál es el número de trabajadores que la
empresa debe utilizar para descargar los botes, si
se quiere que estos esperen como máximo 10
minutos antes de ser atendidos en el muelle? Los
botes llegan a una tasa promedio de uno por hora
y cada trabajador descarga ½ bote por hora
Modelos con Servidores Múltiples
Modelo
Propio
Una cola
un servidor
o
Simulación
Una Cola y Varios Servidores
Sea c el número de servidores
a) 
Análisis de la cola
Longitud Promedio
de la Cola
Tiempo de Espera
Promedio en la Cola
C+1
(λ/µ)
Lq=
C x C!
1-
Lq
λ/µ
C
2
X
Po Wq = λ
b)  Análisis del Sistema
Longitud Promedio
del Sistema
L=
Lq +
λ
µ
Tiempo de Espera
Promedio en el Sistema
W=
L
λ
c)  Utilización de la instalación de servicio
Probabilidad de que el sistema esté vacío
-1
C
(λ/µ)
Po =
C!
1-
λ/µ
+1+
(λ/µ)
1!
1
+
(λ/µ)
2!
2
+... +
C
Tiempo de actividad esperado en el
λ
sistema
<1
cµ
(C-1)
(λ/µ)
(C-1)!
Evaluación del sistema cuando el costo
de espera es conocido
›  En
una institución pública se está estudiando el
problema de determinar el número óptimo de
empleados que hay que colocar para determinar
el número de ventanillas que debe abrir para el
pago de viáticos para funcionarios que viajan
dentro del país.
La tasa de llegada de los
funcionarios es de 1.6 por minuto en promedio y
se comporta como una distribución de Poisson.
La tasa de servicio es de 0.9 personas por
minuto y se comporta como una función
exponencial negativa. El sueldo por hora de un
funcionario es de ¢600 mientras que los cajeros
ganan ¢300 por hora.
Tabla de Valores de
Po
λ/µ = 96/66.67 = 1.44
Evaluación del sistema con costos de espera
desconocidos
› La
compañía Fast Food Inc., desea instalar
un restaurante de comidas rápidas en un
nuevo centro comercial. El propietario
requiere determinar que sistema de colas,
con la correspondiente cantidad de
servidores, sería el más indicado para su
nuevo local: el utilizado por la cadena de
comida Burger King, o el utilizado por la
empresa McDonalds, tomando en
consideración que se tiene como meta
proyectada un tiempo de espera máximo de 2
minutos antes de ser atendidos.
› De
acuerdo con datos históricos de otros
restaurantes con características similares, se
puede esperar que los clientes lleguen de
acuerdo con una distribución de Poisson a
una velocidad promedio de 45 clientes por
hora y el estándar de tiempo que un cajero
necesita para atender a un cliente deacuerdo
al sistema empleado por McDonalds es de 3
minutos por cliente, mientras que el sistema
empleado por Burger King tarda en promedio
3.75 minutos por cliente, ambos con una
distribución exponencial.
› Determine cuál sería el sistema de colas que
usted recomendaría.
Varias colas y Varios servidores
Supuesto de división de llegadas
λ/3
λ = Tasa de llegada
λ/3
λ/3
Llegadas
Cola 1
Cola 2
Cola 3
µ1
Salidas
µ2
Salidas
µ3
Salidas
Colas múltiples
Canales de
servicio
Evaluación del sistema con costos de espera
conocidos.
›  Una
empresa que se dedica a la manufactura de tela, tiene
en su planta un gran número de máquinas tejedoras que
con frecuencia se atascan. La reparación de esas
máquinas se realizaba por subcontratación de mecánicos,
sin embargo, el tiempo de respuesta de estos mecánicos es
muy lento incluso de semanas, por ello la empresa he
decidido contratar sus propios mecánicos para agilizar el
proceso de reparación. Actualmente la empresa no tiene
espacio físico para instalar un gran taller de mantenimiento
y reparación, en lugar de ello se propone instalar pequeños
talleres de reparación formados por un solo mecánico por
taller y ubicarlos en las esquinas de la planta. La aparición
de máquinas atascadas puede ser aproximada por un
proceso de llegadas Poisson con una tasa promedio de 10
por hora.
›  Cada
máquina atascada requiere una cantidad aleatoria
de tiempo para su reparación que puede ser aproximada
por una distribución exponencial con un tiempo promedio
de servicio de 10 minutos. El costo de una hora de
producción perdida debería incluir costos explícitos,
como la cantidad de ganancias no obtenidas y los costos
implícitos como, la pérdida de voluntad por parte de los
clientes, si no se cumple con la fecha de entrega de la
mercadería. Si cada mecánico le cuesta a la empresa
¢1500 por hora, incluyendo las cargas sociales; y a su
vez el departamento de contabilidad ha estimado que la
compañía pierde ¢2000 por cada hora que una máquina
este fuera de operación. Determine la cantidad de
mecánicos que debe tener el departamento de
mantenimiento de la empresa, para minimizar los efectos
de las composturas de las máquinas en sus costos.
Teoría de Colas
y el software
Q
Clasificación de los Modelos de Colas
›  Para
facilitar la comunicación entre aquellos que
trabajan con modelos de colas, D.G. Kendall propuso
una clasificación o taxonomía con base en la
siguiente notación:
A/B/s
A = Distribución de las llegadas
B = Distribución del servicio
S = Número de servidores
Clasificación de los Modelos de
Colas
› Se
utilizan diferentes letras para designar
ciertas distribuciones. Las reglas
convencionales siguientes son de uso
general:
›  M
= distribución exponencial
›  D = número determinístico
›  G = cualquier distribución de tiempos de servicio
›  GI = cualquier distribución de tiempos de llegada
El modelo a usar
Una Cola Un Servidor
En donde:
λ es 5 por hora y µ es 10 por hora
Una Cola Varios Servidores
En donde:
λ  es 45 por hora y µ es 16 por hora
C=?
Varias Colas Varios Servidores
En donde:
λ  es 45 por hora y µ es 20 por hora
c = 1 y dividimos λ/c
›  Una
compañía de productos lácteos cuenta
con su propio servicio de descarga de camiones
y lo quiere optimizar.
›  La tasa de llegada es de 10 camiones cada
hora y la tasa de descarga en el andén es de 2
camiones por hora hombre. La tasa de servicio
en el andén es proporcional al número de
trabajadores, cuando el sistema requiera que
trabajen en conjunto.
›  El salario de cada trabajador es de $10 por
hora. El sistema de descarga permite que
únicamente se descargue un camión a la vez y
se estima que el costo del camión ocioso es de
$20 por hora.
›  ¿La
empresa desea determinar la cuadrilla
óptima que refleje el menor costo posible?
›  En el caso de que se cuente con la opción de
alquilar un andén adicional con un costo de $35
por hora, pero con una sola fila, igualmente la
empresa desea conocer ¿Cuál es la cantidad
de cuadrillas en cada andén que optimiza el
sistema?
›  Además, la empresa quiere costear un sistema
de dos servidores y dos filas independientes,
manteniendo las mismas variables anteriores.
›  ¿Indique cuál de los tres sistemas de colas sería
el más indicado a utilizar, a que costo y el
número de trabajadores en la cuadrilla?