Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas λ = tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo) 1/λ λ = tiempo medio entre llegadas µ= tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado) 1/µ µ = tiempo medio requerido para prestar el servicio ρ = factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado) Pn = probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema Lq = número medio de unidades en la cola (longitud de la cola) Ls = número medio de unidades en el sistema Wq = tiempo medio de espera en la cola Ws = tiempo medio de espera en el sistema _ λ = Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema Wq(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola Modelo de Colas Sencillo Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ/µ Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s. µ) P0 = 1 – ρ s –1 P0 = 1 / {[ n=0 ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s } s!(1 - ρ) Pn = P0 ρn _ λ=λ Pn = P0 [(λ / µ)n / n!] para 0 ≤ n ≤ s Pn = P0 [(λ / µ)n / (s! . sn – s)] para n ≥ s _ λ=λ Lq = λ2 / [µ . (µ - λ)] = ρ Ls Lq = [P0 . (λ / µ)s . ρ] / [s! (1 - ρ)2] Ls = λ / (µ - λ) Ls = Lq + (λ / µ) W q = λ / [µ . (µ - λ)] = Lq / λ W q = Lq / λ W s = 1 / (µ - λ) = Ls / λ W s = W q + (1 / µ) W s(t) = e- t / Ws (t ≥ 0) W s(t) = e- µ.t 1 + (s.ρ)s . p0.(1 – e-µ t (s – 1 - s . ρ)) s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ) W q(t) = ρ . e- t / Ws (t ≥ 0) W q(t) = (sρ)s p0 . e- s µ t (1 - ρ) INGENIERÍA INDUSTRIAL s! (1 - ρ) 1 Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas Modelo Básico con una Cola Finita (Nro. de clientes ≤ M) Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ /µ ρ = λ / (s. µ) P0 = 1 - ρ M+1 1-ρ Si ρ ≠ 1 P0 = 1 M+1 Si ρ = 1 Pn = P0 ρn s M P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ) / n!] + (λ / µ) ∑ ρ } n=0 n=s+1 s! n s n-s Para cualquier valor de ρ para 0 ≤ n ≤ M _ λ = λ (1 – PM) Ls = Para servidores múltiples (s >1) ρ - (M+1) ρM+1 1-ρ 1 - ρM+1 Si ρ ≠ 1 Pn = (λ / µ)n P0 n! para 0 ≤ n ≤ s Pn = (λ / µ)n P0 s! sn-s para s ≤ n ≤ M Pn = 0 _ λ = λ (1 – PM) para n > M s-1 s -1 Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0 n=0 Si ρ = 1 LS = M / 2 Lq = Ls - 1 + P0 Lq = P0 (λ / µ)s ρ [1 - ρM-s - (M - s)ρM-s(1 - ρ)] 2 s! (1 - ρ) W s = Ls / [λ (1 - P0 ρM)] W s = Ls / [λ (1 - P0 ρM)] W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )] W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )] M M Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada INGENIERÍA INDUSTRIAL 2 Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ /µ Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s. µ) M P0 = 1 / ∑ [ n=0 s -1 M! ρ ] (M - n)! n Pn = M! ρ P0 (M - n)! para 0 ≤ n ≤ M Pn = M! (λ / µ) P0 (M - n)! n! Pn = 0 para n > M n M P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ) ] + ∑ [ M! (λ / µ) ] } n=0 n=s n-s (M - n)! n! (M - n)! s! s n n para 0 ≤ n ≤ s Pn = M! (λ / µ) P0 n-s (M - n)! s! s para s ≤ n ≤ M _ λ = λ (M – LS) = µ (1 - P0) Pn = 0 _ λ = λ (M – LS) para n > M Lq = M - (λ + µ ) (1 - P0) λ ∑ (n - s) Pn Lq = n=s Ls = Lq + 1 - P0 n n M s-1 s -1 Ls = [∑ n Pn] + Lq + s (1 - n=0 ∑ Pn) n=0 W q = Lq / [µ (1 - P0)] W q = Lq / [λ (M - Ls)] W s = Ls / [µ (1 - P0)] W s = Ls / [λ (M - Ls)] Otros Modelos de Colas Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y cualquier distribución del tiempo de servicio ρ=λ /µ P0 = 1 - ρ Pn = P0 ρn Lq = λ2σ2 + ρ2 2 (1 - ρ) Ls = Lq + ρ W q = Lq / λ W s = Ls / λ = W q + 1/µ INGENIERÍA INDUSTRIAL Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y tiempos de servicio constantes (⇒ varianza σ2 = 0) ρ=λ /µ P0 = 1 - ρ Pn = P0 ρn Lq = ρ2 2 (1 - ρ) Ls = Lq + ρ W q = Lq / λ W s = Ls / λ = W q + 1/µ 3