Teoría de Colas y los sistemas de Telecomunicaciones - OP

INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Modelado de Teoría de Colas y
sistemas de Telecomunicaciones
Ing. Orlando Philco A. MSc.
Hoy las nuevas tecnologías están ampliamente diversificadas; lo que además ha
puesto énfasis en la necesidad de compartir recursos, desde fuentes de energía
hasta los servidores de centros de datos.
El continuo aumento en el número
de usuarios y dispositivos que
comparten estos recursos, le ha
dado un vuelco insospechado a las
telecomunicaciones modernas. No
obstante, en sus inicios, éstas no
habrían podido existir sin la Teoría
de Colas.
La optimización requerida en las redes de telecomunicaciones va por la
necesidad de mejorar la utilización de un recurso que se agota y destinarlo a un
usuario sólo por determinados tiempos de conexión según sea su demanda, lo
que lleva también una optimización en los costos involucrados en los modelos de
asignación de éstos para determinar una valorización de los servicios.
Naturaleza compleja del tráfico en las redes de
telecomunicaciones
• Tráfico combinado de diversas clases: voz, video, datos.
• Distintos modos de conmutación:
• Conmutación de circuitos.
• Conmutación de paquetes.
• Variedad de dispositivos de gestión y control de tráfico.
• Distintos métodos de gestión de tráfico:
• FIFO. (First In First Out, primero en entrar, primero en salir)
• Prioridades.
• Leaky bucket, Token bucket. (Algoritmos que evitan que el tráfico llegue a
niveles inaceptables de congestión).
• Aleatoriedad en los procesos de demanda de servicios.
• Aleatoriedad en el proceso de circulación de paquetes.
• Aleatoriedad en las duraciones de las conexiones.
• Aleatoriedad en los tiempos de respuesta de los dispositivos.
Objetivos del diseño de un sistema de
telecomunicaciones
• Ofrecer un servicio de calidad dentro de las restricciones físicas,
tecnológicas o económicas a que esté sujeto el sistema.
Para cuantificar la calidad es preciso medir una serie de parámetros
de interés:
• Throughput
• Retardo
• Tasa de pérdidas
• Variabilidad en el retardo (Jitter)
• Modelos matemáticos: Teoría de Colas.
• Modelos de simulación
Parámetros para cuantificar la QoS
• Throughput: Aprovechamiento real del ancho de banda disponible.
• Retardo: ƒEn conmutación de circuitos, tiempo que tarda el usuario en
tener un circuito disponible. ƒEn conmutación de paquetes, tiempo de
espera a que se someten los paquetes de una conexión por tener que
compartir los recursos de la red con paquetes de otras conexiones.
• Tasa de pérdidas: Clientes que no consiguen acceder al sistema por
estar todos sus recursos ocupados; proporción de paquetes que se
pierden por desbordamiento de los buffers de una red.
• Variabilidad en el retardo (Jitter): Aplicaciones como la
videoconferencia son muy sensibles a esta variabilidad. Necesidad de
construir modelos de los sistemas que clarifiquen las relaciones entre
la calidad de servicio y la configuración de los recursos del sistema
• Modelos matemáticos: Teoría de Colas.
• Modelos de simulación
Teoría de Colas
Se ocupa del estudio de las colas de espera, con un alcance más
general que los sistemas de comunicaciones cuyo objetivo es el
estudio de sistemas compuestos, por una o más unidades,
llamadas servidores, encargados de realizar las tareas
encomendadas por otras unidades, llamadas clientes, con la
particularidad de que si durante algún intervalo de tiempo la
llegada de clientes supera la capacidad de procesamiento del
sistema, dichos clientes permanecen en cola hasta que sean
servidos.
Cuestiones que pueden consistir simplemente en la evaluación de
características de un sistema ya establecido (por ejemplo: tiempo
de espera de los clientes en cola, número medio de clientes en
cola, número medio de servidores del sistema que están ocupados
en cada momento, etc.)
• Por Ejemplo:
En el contexto particular de los sistemas de conmutación de
paquetes, los clientes son los paquetes o mensajes generados
por alguna fuente (datos, voz, video, etc.); los servidores son
los canales a través de los cuales deben ser enviados estos
paquetes o mensajes.
Las colas se forman en los buffers disponibles en los
conmutadores o multiplexores, donde los mensajes deben
esperar a que se libere el canal correspondiente para poder ser
transmitidos.
Campos de Aplicación de Teoría de Colas
Se puede resolver un buen número de cuestiones que se plantean
en el contexto de estos sistemas; cuestiones que pueden consistir
simplemente en la evaluación de características de un sistema ya
establecido (por ejemplo: tiempo de espera de los clientes en cola,
número medio de clientes en cola, número medio de servidores
del sistema que están ocupados en cada momento, etc.), o bien en
el diseño de un sistema del que se desea que cumpla ciertos
parámetros de calidad sobre dichas características.
Campos de Aplicación Teoría de Colas
Los campos de aplicación de la
Teoría de Colas en la Ingeniería de
Telecomunicación, puede agruparse
en las siguientes grandes áreas:
• Análisis y diseño de protocolos de
comunicación.
• Control y gestión de recursos en
redes de telecomunicaciones.
• Dimensionado de redes de
comunicación.
• Modelado del tráfico que circula
por las redes: voz, video y datos.
Erlang
En sentido estricto un Erlang representa el uso continuo de un canal
de voz; pero en la práctica se emplea para medir el volumen de
tráfico en una hora.
• Por ejemplo, Si un grupo de personas hacen 30 llamadas en una
hora y cada llamada tiene una duración de 5 minutos, dicho grupo
ha tenido un tráfico de 2,5 Erlangs. Esta cifra resulta de lo siguiente:
• Minutos de tráfico en una hora = número de llamadas x duración
• Minutos de tráfico en esa hora = 30 x 5
• Minutos de tráfico en esa hora = 150
• Horas de tráfico por hora = 150 / 60
• Horas de tráfico por hora = 2.5
• Valor del Tráfico = 2.5 Erlangs
Tabla de Erlang B
CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE TEORÍA DE COLAS
 Numero de Servidores
• Forma de arribo y servicio
• Comportamiento de la línea
Medición del Sistema
 Promedio del número de clientes en espera
• tiempo promedio de espera del cliente
• Utilization del sistema
Número de Servidores
Un servidor
Multiples
servidores
Multiples Servidores
sencillos
Forma de llegada
Usualmente se asume una distribución Poisson:
Distribuciones de variable discreta. Sus
principales
aplicaciones
hacen
referencia a la modelización de
situaciones en las que nos interesa
determinar el número de hechos de
cierto tipo que se pueden producir en
un intervalo de tiempo o de espacio,
bajo presupuestos de aleatoriedad y
ciertas circunstancias restrictivas.
Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de
probabilidades está dada por:
Donde e es la base de los logaritmos naturales y  el promedio de la
distribución, la cual debe ser mayor que cero. (e = 2,71828 ...)
Tiempo de Servicio
Si se considera que:
1. La esperanza de ocurrencia de un
evento en un intervalo es la misma
que la esperanza de ocurrencia del
evento
en
otro
intervalo
cualesquiera, sin importar donde
empiece el intervalo.
2. Que las ocurrencias de los
eventos son independientes, sin
importar donde ocurran
3. Que la probabilidad de que
ocurra un evento en un intervalo de
tiempo depende de la longitud del
intervalo.
4. Que las condiciones del
experimento no varían, y
5. Que nos interesa analizar el
número promedio de ocurrencias
en el intervalo.
Una distribución exponencial es asumida:
Relative Frequency (%)
Service Time
Entonces se puede afirmar, que la variable
aleatoria mencionada en los fenómenos
descritos es una variable de Poisson.
Comportamiento de la linea de espera
Primeras entradas – Primeras Salidas (FCFS, FIFO):
Prioridades Multiples:
Algunos Modelos
Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus
características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio
único prestado por una o varias estaciones. Los modelos se identifican mediante
la siguiente convención, en letras:
1. Un servidor, tiempo de servicio exponencial (M/M/1)
2. Un servidor, tiempo de servicio general (M/G/1)
3. Servidores múltiples, tiempo de servicio exponencial (M/M/s)
Nomenclatura
A/B/s
Distribución
De llegada
Distribución
de servicio
Número de
Servidores
donde
M = distribución exponencial (“Markovian”)
D = determinística (constante)
G = distribución general
Donde las letras o campos se usan según la siguiente convención:
A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas
B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio
C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo
D = Se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO.
E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto se supone que es limitada)
F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)
Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la
siguiente convención:
• M = Distribución exponencial
• G = Distribución general
• Ek = Distribución de Erlang
• D = Distribución constante
A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras
alguna otra propiedad del sistema.
Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)
Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)
Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)
Ejemplo: M/G/1
Principales parámetros usados en los modelos de colas:
 = Tasa o número de llegada del cliente
m = tasa o número de servicio (1/m = tiempo de servicio promedio)
s = número de servidores
m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema)
N = Capacidad del sistema (número máximo de clientes que pueden haber en el sistema
en cualquier instante)
Se calcula
Lq
=
número promedio de clientes en la línea (en la cola)
L
=
número promedio de clientes en el sistema
Wq
=
tiempo promedio de espera de un cliente en la línea
W
=
Tiempo pormedio de espera (incluyendo tiempo de servicio)
Pn
=
Probabilidad de tener n clientes en el sistema
r
=
Utilización del sistema
Conceptos basicos
Las siguientes ecuaciones se aplican para todos los tipos de modelos

sm
• Utilización del sistema
r
• Número promedio de clientes en el sistema
L  Lq 
• Tiempo promedio de espera en la línea
Wq 
• Tiempo total de espera (incluyendo servicio)
W  Wq 

m
Lq

1
m
Modelo 1 (M/M/1)
Formulas:

m
Probabilidad que el sistema este vacío:
P0  1 
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema:
 
Pn  P0  
m 
Numero promedio en la línea de espera:
2
Lq 
m m   
n
Estas formulas se aplican cuando µ> λ; esto es, la tasa promedio de servicio > tasa
promedio de llegadas; o sea, cuando λ/µ < 1 ; en caso contrario la cola crece sin
limite, pues el servicio no tiene capacidad para manejar las unidades que llegan
Modelo 2 (M/G/1)
Formulas
Número promedio en línea:
2 2  r 2
Lq 
2 1  r 

m
Probabilidad de que le sistema este vacio:
P0  1 
Caso especial: M/D/1
2
Lq 
2 m m   
Modelo 3 (M/M/s)
Formulas
Probabilidad que sistema este vacío :
P0 
1
s1

n0
Probabilidad de n clientes en el sistema:
 / mn  / ms
n!
(  / m )n
P0

 n!
Pn  
n

/
m



P0

 s!s ns

s!(1  r )
for n  1 , s
for n  s
s
Probabilidad de que un nuevo cliente vaya a esperar:
Numero promedio en línea:
P0
 
Pw   
m  s!(1  r )

( / m )s1

Lq  P0 
2 
(s 1)!(s   / m ) 
Aplicación de teoria de Colas
Se pueden usar los resultados de
teoria de colas para tomar las
siguientes decisiones:
Cost
 Cuantos servidores usar
Total Cost
Cost of
Service Capacity
 Usar un servidor rapido o
varios servidores lentos
 Tener un servidor general o un
servidor
para
una
tarea
específica
Cost of customers
waiting
Optimum
Service Capacity
Objetivo:
Minimizar costo total = costo del servidor + costo de espera
Resultados de simulación de red de telecomunicaciones
Mediante simulación, múltiples trabajos estiman cifras de eficiencia en el uso del
recurso espectral, mediante asignación dinámica, manteniendo reducidos objetivos
de probabilidad de bloqueo. Sin duda al existir una asignación dinámica de
recursos habrá una degradación de la QoS debido a la probabilidad de congestión,
por ello los modelos de estimación y simulación del tráfico de datos, son de suma
importancia, y existe mucha investigación al respecto. Se puede ver resultados de
la simulación de los distintos esquemas de asignación para rutas entre nodos.
Resultado de simulación de teoría de Colas
Problema:
Simulación del tiempo de espera de un cliente en la fila de un banco antes
de que sea atendido
Tiempo
Tiempo
Cliente
llegada
salida
1
2
3
4
5
6
0.4
1.6
2.1
3.8
4.0
5.6
2.4
3.1
3.3
4.9
5.2
8.6
Tiempo del
servidor
2
0.7
0.2
1.1
0.3
3
Tiempo de
espera
0
0.8
1
0
0.9
0
Inicio
t. llegadas
NA=0 (No. De clientes atendidos)
NNA=0 (No. De clientes no atendidos)
NS=1 (No. De servidores)
T=600 minutos (tiempo servicio)
L=20 (cantidad personas
t. salidas
máximo en la fila)
Dist. Poisson
para llegadas λ=4
Return
Dist. Exponencial
  4 Dist. Poisson para llegadas
  4 Dist. Exponencial para salida
Para llegadas λ=4
S =0 (Estado del servidor)
Wq=0 (T. promedio espera en fila)
Lq=0 (T. promedio clientes en fila)
Tts=0 (Tiempo total del servicio)
Ttl=0 (Tiempo total de llegadas)
Tto=0 (Tiempo total)
Cf=0 (No. De clientes en la fila)
Return
t. llegadas
Tto=Tto+Ttl
cf=cf+1
No
S=0
Si
t. servicio
No
t>600
Fin de la
simulación
L<20
Si
No
NNA=NNA+1
NA=0 (No. De clientes atendidos)
NNA=0 (No. De clientes no atendidos)
t=600 minutos
(tiempo servicio)
4
L=20 (cantidad personas
 4
máximo en la fila)
Dist. Poisson para llegadas
Dist. Exponencial para salida
Wq=0 (T. promedio espera en fila)
Lq=0 (T. promedio clientes en fila)
tts=0 (Tiempo total del servicio)
tl=0 (Tiempo total de llegadas)
tt=0 (Tiempo total)
cf=0 (No. De clientes en la fila)
Conclusiones
• Se formulan modelos matemáticos que representan su operación y
después se usan estos modelos para obtener medidas de desempeño.
• El ‘cliente’ es todo agente o individuo que inicia una petición a un
servicio en específico. Forman parte de la cola, ya que son quienes
participan de forma activa en el estudio de un sistema.
• En el campo de las telecomunicaciones, estos clientes serían paquetes
de datos con todos los encabezados requeridos para la aceptación y
operación del servicio a solicitar. Los clientes necesitan ser analizados
por medio de una distribución estadística para dar información de
tiempos entre llegadas.
• El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona
el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un
horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán
los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.
• Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera
efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre
el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por
ese servicio.
Conclusiones
• La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus
miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:
 FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual
se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
 LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en
atender primero al cliente que ha llegado el último.
 RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera
aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro
orden.
 Processor Sharing Sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red
se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el
mismo retraso.
• En un caso típico de un servidor con varios dispositivos conectados; la
velocidad del servidor depende más que nada de las características de los
dispositivos empleados, Si la velocidad es baja, el retardo crecerá
rápidamente conforme a la utilización. En el caso de que la velocidad sea
alta, el retardo no subirá tan de golpe, sino hasta que alcance cierto
porcentaje de utilización en donde peligrará la saturación total del sistema
en caso de que haya un salto brusco de utilización.