Unidad II. Apuntes de Teoría de Colas

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC
MATERIA:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
NOTAS DE TEORÍA DE COLAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
ELABORADOS POR:
M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS
INTRODUCCIÓN
Una situación de colas esta básicamente caracterizada por un flujo de clientes arribando a una o mas
estaciones de servicio.
Las estaciones de servicio son difíciles de programar óptimamente por la presencia del elemento
aleatorio en las formas de arribo y servicio. Una teoría matemática que estudia o analiza estas
situaciones es la teoría de colas, la cual está basada en la descripción de la forma de arribo o
servicios por las apropiadas distribuciones de probabilidad.
La teoría de colas no es una técnica de optimización, es una herramienta analítica que provee una
información mas efectiva acerca del problema.
Un procedimiento para tratar los problemas de teoría de colas es resumido en los cuatro pasos
siguientes :
1) Defina y relacione las variables de la situación con el propósito de describir el problema
2) Deriva las distribuciones asociadas usando los datos disponibles y usando las pruebas
estadísticas apropiadas.
3) Use las distribuciones para descubrir las características operativas que describen al sistema
como un todo.
4) Mejora el funcionamiento del sistema a través del uso apropiado de modelos de decisión y
basándose en las características operativas de la situación.
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE COLAS
Un sistema de colas es especificado completamente por 6 principales características :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Insumo o arribo (interarribo, distribución de arribo) constante, no constante.
Salida o servicio (distribución de servicio), constante, no constante.
Canales de servicio
Disciplina de servicio
Máximo numero de clientes permitidos en el sistema
Tipo de fuente.
A.- CARACTERÍSTICAS DE ENTRADA
1.- Tamaño de la población. --Finita o infinita
2.- Estadística del tiempo entre arribos (media, variabilidad, y distribución)
3.- Actitud del cliente --paciente, impaciente
4.- Llegada en grupo o individual
B.- CARACTERÍSTICAS DE LA COLA
1.- Tamaño de la cola --finita o infinita-2.- Disciplina (P.E.P.S., U.E.P.S., Tiempo de procesamiento menor, Aleatorio, SG, Prioridad, Otro)
3.- Número (una o más colas)
C.- CARACTERÍSTICAS DEL SERVICIO
1.- Diseño de la facilidad --serie, paralelo, mixta-Un servidor, una fase,
Un servidor, múltiples fases
Múltiples servidores, una fase
Múltiples servidores, múltiples fases
Estadística de la tasa de servicio (media , variabilidad, y distribución)
D.- FUNCIÓN OBJETIVO
1.- Minimizar la combinación de los costos, del tiempo ocioso de los clientes esperando en la línea y
de los servidores.
2.- Minimizar la combinación de los costos, del tiempo perdido de los clientes esperando en la línea
y los del salario de la gente que provee el servicio.
3.- Criterio Heurístico.- El promedio de clientes que serán servidos en determinado tiempo, ningún
cliente requerirá esperar más que cierto periodo especificado de tiempo.
E.- ENFOQUES DE SOLUCIÓN
1.- Matemático.- La tasa de servicio y la tasa de arribo (distribuciones) son aproximadas por
distribuciones estándar.
2.- Simulación - Estadísticas concernientes a la tasa de tiempos de arribo y de servicios son iteradas
por la simulación de MONTE CARLO de distribuciones históricas o distribuciones asumidas.
Ejemplos de sistemas de Colas
Situación
Arribos
Servidores
Proceso de servicio
Inscripción escolar
Estudiantes
Coordinador
Cursos asignados y
formas firmadas
Supermercado
Clientes
Caja de pago
(cajero)
Nota de compra y
pago
Banco
Clientes
Cajero
Deposito, retiro,
cambio de cheque,
pago de servicios,
etc.
Crucero de calles
Automóviles
Semáforo
Paso controlado a
través de la
intersección
Consultorio médico
Pacientes
Doctor y asistentes
Tratamiento
Mantenimiento de
equipo
Equipo
descompuesto
Mecánico
Equipo reparado
Terminal de
autobuses
Autobuses
Andenes
Carga y descarga
Línea de ensamble
Producto
Trabajadores de
ensamble
Producto
ensamblado
Oficina de correo
Correo a enviar
Oficinista de correo
Proceso y envío del
correo
Intercambiador
Telefónico
Llamadas
Equipo de
intercambio
electrónico
Conexión realizada
Caseta de
herramientas
Trabajadores
Caseteros
Salida y entrega de
herramientas
Terminal aérea
Aviones
Pistas de aterrizaje
Aterrizaje y
despegue de aviones
EJERCICIO DE TEORIA DE COLAS
1.- Basado en su comprensión de cada uno de los siguientes sistemas de colas, describa el servidor,
el cliente, la organización, la disciplina, abandono y/o cambio en la cola, y el proceso de servicio.
a. Casetas de cobro en una autopista
b. Control del tráfico en una intersección por un semáforo.
c. El servicio de taxi en un hotel.
d. Elevadores de un edificio.
e. Servicio de fotocopiado en un negocio de este tipo.
f. Clasificación de correspondencia en el servicio postal.
g. Servicio médico en un hospital
h. Aviones aterrizando en un aeropuerto.
i. Líneas telefónicas de emergencia.
j. Un restaurante.
k. Un sistema de computo de tiempo compartido.
2.- Describa una situación en la cual la espera o el retraso es peligroso para la productividad.
Discuta como la situación puede ser mejorada.
3.- Ejercicio: Viajando por las colas
Selecciones cinco sistemas a visitar y observar. Conteste las siguientes preguntas. Sea conciso;
1. Describa los servidores y los procesos del servicio. Cuantos servidores hay?
2. Describa a los clientes.
3. Elabore un diagrama de la configuración del servicio y la organización de la cola.
4. Registre el tiempo de servicio para cinco clientes consecutivos. Describa los factores que
influencian el tiempo de servicio.
5. Cuente y registre el número de clientes que arriban sucesivamente en intervalos de 1
minuto. Describa los factores que influencian los arribos al sistema.
6. Si usted observa abandono y/o cambio de la cola describa el proceso.
7. Registre la fecha y la hora.
ESTADO TRANSITORIO Y ESTADO ESTACIONARIO
Un análisis de teoría de colas requiere el estudio del comportamiento del sistema a través del
tiempo.
Un sistema en un estado transitorio cuando sus características operativas (comportamiento) varían
con el tiempo. Esto suele ocurrir en los estados iniciales de operación del sistema, donde su
comportamiento depende todavía de las condiciones iniciales.
Nuestro interés es el de la operación a largo plazo, donde el comportamiento del sistema es
independiente del tiempo. A estos los llamaremos estado estacionario del sistema, y esto no puede
ser alcanzado cuando la tasa de arribo es mayor que la tasa de servicio, aun ni cuando el tiempo
transcurrido sea muy grande.
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN
n= Numero de clientes en el sistema.
Pn(t)= Probabilidad en el estado transitorio de que exactamente n clientes estén en el sistema en el
tiempo t asumiendo que el sistema inició sus actividades (operaciones) al tiempo cero.
Pn= Probabilidad en el estado estacionario que exactamente n clientes estén en el sistema.
λ = Tasa promedio de arribo (numero de clientes/unidad de tiempo).
μ = Tasa promedio de servicio (numero de clientes/unidad de tiempo).
S= Numero de servidores en paralelo.
ρ= λ/μ Intensidad de trafico
ρ/S= Factor de utilización para s facilidades de servicio
w= tiempo esperado de espera por cliente en el sistema.
wq= tiempo esperado de espera por cliente en la cola.
L = Numero promedio de clientes esperados en el sistema.
Lq = Numero promedio de clientes esperados en la cola.
ρ = Fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado es definido como unidades
esperando o siendo servidas).
Considerado como el número de unidades promedio que están siendo servidas en cualquier punto
de tiempo.
Relación entre w, wq, L y Lq
L = Lq +
y además :
1
λ
1
μ
λ
;
μ
wq = w −
1
μ
Lq = λwq
L = λw ;
;
w = wq +
1
μ
= Tiempo de interarribo esperado (unidades de tiempo / unidad)
= Tiempo de servicio esperado (unidad de tiempo/ unidad)
ρ=
λ
= Factor de utilización = fracción de tiempo en que están ocupados los servidores.
sμ
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE
La mayoría de los modelos suponen que las llegadas y salidas ocurren de acuerdo a este proceso.
Este proceso ocurre completamente al azar y sus tasas de promedio de ocurrencia dependen
únicamente del estado del sistema.
Postulado de nacimiento
Dado que el sistema se encuentra en el estado En para (n=0, 1, 2, . . . .) en el instante t, la
probabilidad de que exactamente ocurra un nacimiento durante el intervalo t + Δt es:
λ n (Δt ) + 0(Δt )
μo=0
Postulado de muerte
Dado que el sistema se encuentra en el estado En para (n=0, 1, 2, . . . .) en el instante t, la
probabilidad de que ocurra exactamente una muerte durante el intervalo t + Δt es :
λo=0
μ n (Δt )+0(Δt )
Existen cuatro formas de que existan n clientes en el sistema en el tiempo t+Δt (Pn, n≥1):
a) Un nacimiento
b) Una muerte
c) Ningún nacimiento ni muerte
d) Un nacimiento, una muerte
λΔt (1− μΔt )
μΔt (1− λΔt )
(1− μΔt )(1− λΔt )
μ (Δt )(λΔt )
Estado en el
momento t
Suceso de
t+Δt
En-1
En+1
En
En
Un nacimiento
Una muerte
Ninguno
Ambos
Probabilidad
Pn −1( t )(λΔt )(1− μΔt )
Pn +1( t )( μΔt )(1− λΔt )
Pn ( t )(1− λΔt )(1− μΔt )
Pn ( t )(λΔt )( μΔt )
Ahora la probabilidad de que haya n clientes en el sistema será la suma de las cuatro probabilidades.
Pn ( t + Δt )= Pn ( t )(1− λΔt )(1− μΔt )+ Pn −1 ( t )λΔt (1− μΔt )+ Pn +1 ( t )(1− λΔt )( μΔt ) + Pn ( t )λΔtμΔt
Descartando la infinitesimal del orden Δt2 y dividiendo todo por Δt.
Pn ( t + Δt )− Pn ( t )
= Pn ( t )(− λ − μ )+ λPn −1 ( t )+ μPn +1 ( t )
Δt
y cuando Δt tiende a cero
lim Pn ( t + Δt )− Pn ( t ) dPn ( t )
=
Δt
dt
Δt → 0
dPn ( t )
= − (λ + μ ) Pn ( t )+ λPn −1 ( t )+ μPn +1 ( t )
dt
Este desarrollo se aplico para el caso n≥1 Para determinar el caso especial donde n=0, simplemente
⎡λ ⎤
vemos que cuando n=0, Pn-1 (t) es igual a cero. Además .....Pn ⎢ ⎥ Pn −1 si n=0 el sistema está vacío y
⎣μ ⎦
no se puede hablar de muertes.
Nuestra ecuación diferencial para este caso donde n=0 se convierte en:
dPo ( t )
λPn−1 ( t )= 0
μPo ( t )= 0
= − λP0 ( t )+ μP1 ( t )= 0
dt
Entonces la probabilidad de n clientes en el sistema es cero y nuestra expresión se convierte en
λP0 ( t )= μP1 ( t ) ,
Así;
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
P1 = ⎢ ⎥ P0 , P2 ⎢ ⎥ P1 , P3 ⎢ ⎥ P2 , ….., Pn ⎢ ⎥ Pn −1
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
Substituyendo valores de Po, en lugar de P1 , P2 , P3 .....Pn −1
2
3
n
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
P1 = ⎢ ⎥ P0 , P2 ⎢ ⎥ P0 , P3 ⎢ ⎥ , P0 .....Pn ⎢ ⎥ P0
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
⎣μ ⎦
De acuerdo a los conocimientos de probabilidad
P0 + P1 + P2 +......+ Pn −1 + Pn =1
Substituyendo valores de P1 , P2 , P3 .....Pn −1
2
3
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
⎡λ ⎤
P0 + ⎢ ⎥ P0 + ⎢ ⎥ P0 +....+ ⎢ ⎥ P0 =1
⎣μ⎦
⎣μ⎦
⎣μ⎦
⎡λ ⎤
Sustituyendo valores ⎢ ⎥ por ρ y sacando Po como factor común tenemos
⎣μ ⎦
2
3
P0 *(1+ ρ + ρ + ρ +.....+ ρ n ) =1
Aplicando a la serie geométrica
1
1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 +...+ ρ n =
,
1− ρ
entonces tenemos
⎡ 1 ⎤
Po = ⎢
⎥ =1,
⎣ 1− ρ ⎦
cuando n > 0 y ρ < 1
⎛ λ⎞
1−⎜ ⎟
⎝ μ⎠
1− ρ
=1− ρ
Po =
=
1
1
n
⎡λ ⎤ ⎡μ − λ ⎤
Pn = ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣μ ⎦ ⎣ μ ⎦
Po =
μ−λ
μ
n
⎡λ ⎤
Pn = ⎢ ⎥ P0
⎣μ ⎦
Este modelo ha sido desarrollado con un sistema de colas de un servidor y una fase, en el estado
estacionario.
Notación de Kendall
De las relaciones expuestas en el apartado anterior se desprende que si conocemos las series:
{t k }
{s k }
y el número de canales S tenemos toda la información necesaria para describir la cola. Por eso, para
describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste en un grupo de letras y
números de la forma:
A/B/S/m/d/e
donde cada uno de los dígitos tiene el siguiente significado:
A
designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de distribución del
tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo Poisson-exponencial, en
este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es determinístico, se colocará la letra D y
la letra G si las llegadas son de otro tipo.
B
designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de servicio y,
por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este proceso es
markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los casos
supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la distribución
de las llegadas.
S
número de canales de servicio ó número de servidores.
m
número máximo de usuarios simultáneos que se admiten en el sistema. Si esta capacidad
es infinita, se omite.
d
disciplina de la cola, es decir, proceso de decisión de cuál de los usuarios en espera va a
pasar a recibir servicio, tal y como se describió en la página 3. Por omisión se considera
una cola tipo FIFO.
E
población finita o infinita de donde provienen los clientes
CASOS:
CASO 1
Un solo servidor
a) Llegadas Poisson y tiempo de servicio Exponencial
En este modelo los clientes serán atendidos por orden de llegada PEPS (FIFO). Además no
existirán limitaciones en cuanto a la cantidad de clientes que el sistema soporta (pueden ser
atendidos infinitos clientes). Definiremos el trabajo en el sistema a la legada de un cliente en un
instante t como la suma de los tiempos remanentes de servicio de todos los clientes en el sistema
en ese instante.
λ≤μ
λ
Po
λ
λ
- - - - - - - -
P2
P1
μ
μ
λPo = μP1 → P1 =
λ
Pn
Pn-1
μ
μ
λ
Po
μ
2
⎛ λ⎞
λ
λP1 = μP2 → P2 = P1 = ⎜ ⎟ Po
μ
⎝ μ⎠
.
.
.
n
λPn −1
⎛ λ⎞
λ
= μPn → Pn = Pn −1 = ⎜ ⎟ Po
μ
⎝ μ⎠
Po =1− ρ
y Pn = (1− ρ )ρ n
n = 0,1, 2,..... Solución para el estado estacionario
NUMERO ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA (L)
n
L = ∑ ipi = oPo +1P1 + 2 P2 +...+ nPn
i =0
Sabemos que
⎡λ ⎤
P1 = ρP0 = ⎢ ⎥ P0
⎣μ ⎦
n
∑
iPi = ρPo + 2 ρ 2 Po + ... + nρ n Po
i =0
= ρPo(1 + 2 ρ + 3ρ 2 + ... + nρ n −1 )
donde
1 + 2 ρ + 3 ρ 2 + ... + nρ n −1 =
∂
∂ρ
( ρ + ρ 2 + ρ 3 + ... + ρ n ) =
∂
∂ρ
ρ (1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + ... + ρ n )
de la serie geométrica
1+ ρ 2 + ρ 3 +...+ =1/1− ρ
Obtenemos
⎡ 1 ⎤
d (ρ ⎢
⎥)
⎣1 − ρ ⎦
(1 − ρ ) − (−1)( ρ )
1
=
2
dρ
(1 − ρ )
(1 − ρ ) 2
μ−λ
y sustituyendo en Po =1− ρ =
=
μ
n
∑ ip
i =0
i
⎡ 1 ⎤
1
= ρPo ⎢
= ρ (1 − ρ )
2⎥
(1 − ρ ) 2
⎣ (1 − ρ ) ⎦
⎡λ ⎤
⎢ ⎥
μ
ρ
λ
Número medio de clientes en el sistema: L =
= ⎣ ⎦ =
; así;
1− ρ
⎡λ ⎤ μ − λ
1− ⎢ ⎥
⎣μ ⎦
L=
λ
μ−λ
=
ρ
1− ρ
de esto obtenemos
Número medio de clientes en la cola:
Lq =
λ2
μ (μ − λ )
⎡λ ⎤
λ
λ
− ,
Lq = L − ⎢ ⎥ =
⎣μ ⎦ μ −λ μ
Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema
Tiempo promedio que pasa un cliente en al cola
W =
L
λ
Wq =
=
1
μ −λ
λ
μ (μ − λ )
La probabilidad de que un cliente pase determinado tiempo en el sistema se calcula de la
manera siguiente:
P {Wq > t} = ρ
P {W > t} = e
e− μ (1− ρ )
− μ (1− ρ ) t
t
, para t≥0
, para t≥0
Ejemplo: La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos.
Los clientes llegan a la ventanilla con una tasa de 20 clientes por hora. Si se supone que las llegadas
son de Poisson y los servicios exponenciales, se pide:
a) Porcentaje de tiempo en que el cajero está ocioso.
b) Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
c) Fracción de clientes que deben esperar.
Si la atención a los clientes dura un promedio de 2 minutos, podemos decir que la tasa de servicio es
de μ = 30 clientes por hora. Como
ρ=
λ 2
= <1
μ 3
podemos afirmar que el sistema es estacionario.
En esta situación, el porcentaje de tiempo que el cajero está ocioso es igual a la probabilidad de que
no haya ningún usuario en el sistema:
P0 = 1 − ρ = 0.3333
luego el cajero estará ocioso un 33.33% del tiempo.
El tiempo medio que un usuario pasa en la cola es:
Wq =
λ
20
=
= 0.0667 Horas
μ ( μ − λ ) 30 ⋅ 10
es decir, 4 minutos.
Por último, la fracción de clientes que deben esperar es:
ρ2
Lq 1 − ρ
2
=
=ρ=
ρ
3
L
1− ρ
Ejemplo: Una tienda de alimentación es atendida por una persona. La llegada de clientes los
sábados es un proceso de Poisson con una tasa de 10 personas por hora y los clientes son atendidos
según una política FIFO con un tiempo medio de servicio de 4 minutos. Se pide:
a) Probabilidad de que haya cola.
b) Longitud media de la cola.
c) Tiempo promedio de espera en cola.
d) Probabilidad de que el cliente esté menos de 12 minutos en la tienda.
La tasa de servicio es de μ = 15 clientes por hora. Como λ < μ , el sistema es estable con
ρ = 23 .
La probabilidad de que haya cola es:
P[n(t ) > 1] = 1 − P0 − P1 = 1 − P0 −
λ
Po = 1 − 1 + ρ − ρ (1 − ρ ) = 0.4444
μ
La longitud media de la cola será:
4
4
ρ
Lq =
= 9 = = 1.3333
1− ρ 1 3
3
El tiempo promedio de espera en cola:
2
Wq =
λ
10
.
=
= 01333
Horas
μ ( μ − λ ) 15 ⋅ 5
es decir, de 8 minutos.
Por último, la probabilidad de que un cliente está menos de 12 minutos en la tienda es la
probabilidad de que el tiempo de espera más el de servicio sean menores que 12, lo cual tiene una
distribución exponencial con parámetros [ μ , (1− ρ ) ] . Por tanto:
P( T < 12) = 1 − e − μ (1− ρ ) t = 1 − e
1 12
−15⋅ ⋅
3 60
= 0.6321
CASO 2
SERVIDORES MÚLTIPLES
En este caso, un modelo con servidores paralelos (s ≥ 1) es considerado, tal es el caso que s clientes
puedan estar siendo servidos simultáneamente. Es asumido que todos los canales tienen la misma
distribución de servicio (EXPONENCIAL) con tasa de promedio μ y por unidad de tiempo. La tasa
de arribo tiene una distribución de Poisson λ .
La derivación de las ecuaciones diferenciales para este modelo es la misma que para el modelo de
un servidor excepto que la probabilidad de servicio durante un instante Δt es aproximadamente nμΔ
para n < s y sμΔt para n ≥ s por esto cuanto Δt tiende a 0 en el caso estacionario tenemos:
-λPo + μP1 = 0,
λPn-1 - (λ + nμ)Pn + (n+1)μ Pn +1 = 0,
λPn-1 - (λ + sμ)Pn + sμPn+1 = 0,
λ
n=0
0<n<s
n≥s
λ
λ
λ
2μ
(s-1)μ
λ
sμ
Pn-1
sμ
sμ
Consideremos el comportamiento del sistema
⎡λ ⎤
P1 = ⎢ ⎥ P0
⎣μ ⎦
2
⎡λ ⎤ P
1 ⎡λ ⎤
λ λ
P2 = ⎢ ⎥ P1 =
P0 = ⎢ ⎥ 0
2 ⎣μ ⎦
2μ μ
⎣ μ ⎦ 2!
3
⎡λ ⎤ P
1 ⎡λ ⎤
P3 = ⎢ ⎥ P3 = ............ = ⎢ ⎥ 0 ;
3 ⎣μ ⎦
⎣ μ ⎦ 3!
Ps −1 =
λ
( s −1) μ
Ps − 2
λ
λ
para n<s
λ
Pn =
ρn
n!
λ
Ps+ 1
Ps
Ps-1
μ
λ
P0
⎡λ ⎤
λ λ λ
=
.
.
........ . . P0 = ⎢ ⎥
( s −1) μ ( s − 2 ) μ ( s − 3) μ
3μ 2 μ μ
⎣μ ⎦
s −1
P0
( s −1)!
Pn
sμ
S
⎛λ⎞ P
λ
λ
λ
Ps =
Ps −1 =
.
Ps − 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ 0
sμ
sμ ( s − 1) μ
⎝ μ ⎠ S!
Ps +1
⎛λ⎞
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ
=
Ps = . Ps −1 =
. .
.
...... .. . .P0 = ⎜⎜ ⎟⎟
sμ
sμ sμ
sμ sμ ( s − 1) μ ( s − 2) μ
3μ 2μ μ
⎝μ⎠
S +1
Po
SS!
Entonces para cuando:
S *2
PS + 2
n
⎡λ ⎤
⎢ ⎥
μ
así; Pn = ⎣ n − s⎦ P0
S S!
⎡λ ⎤
⎢ ⎥
μ
λ
Po = ⎣ 2⎦ P0
=
Sμ
S S!
En el caso de servidores múltiples ρ =
λ
λ
existirá este cuando n>s y
< 1 entonces
sμ
sμ
n
Lq = ∑ n = s (n − s ) Pn
α
⎛λ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
μ
,donde Pn = ⎝ n⎠− s P0
S! S
si hacemos n-s = j, tendremos que
s
Lq = ∑ j =0 jPs + j ,
∞
,donde Ps + j
⎛λ⎞
P0 ⎜⎜ ⎟⎟
μ
= ⎝ ⎠
S!
s
Lq = ∑ j =0
∞
(∑
(∑
∞
j =0
∞
j =0
⎛ λ⎞ j
⎜ ⎟ ρ
s
j
s+ j
⎡ λ ⎤ ⎡ λ ⎤ P0 ⎡ λ ⎤
⎝ μ⎠
P0
=
P0 = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥
j
S!
⎣ μ ⎦ ⎣ μs ⎦ S! ⎣ μ ⎦ S S!
⎡λ ⎤
j⎢ ⎥ ρj
⎣μ ⎦
P0
S!
s
(∑
∞
j =0
jρ j
)
, parcialmente obtenemos
)
d
ρ (1 + ρ + ρ ......) ,
jρ ) = ρ
dρ
jρ j = 0.ρ 0 + 1.ρ 1 + 2.ρ 2 + ...... + j.ρ j = ρ (1 + 2.ρ + 3.ρ 2 + ... = ρ
d
( ρ + ρ 2 + ρ 3 + ..)
dρ
2
j
α
1
= ∑ar n = 1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 + ......
(1− ρ) n=0
como la serie geométrica
converge cuando ρ < 1 entonces;
ρ
⎛
1
1
d
ρ(
) = ρ⎜
⎜
dρ 1 − ρ
⎝ (1 − ρ
Por lo que sustituyendo
)
2
(∑
⎞
⎟
⎟
⎠
∞
j =0
)
jρ j =
ρ
(1 − ρ ) 2
⎛λ⎞
P0 ⎜⎜ ⎟⎟
μ
en Lq = ⎝ ⎠
S!
s
(∑
∞
j =0
jρ j
)
s
⎛λ⎞
P0 ⎜ ⎟ ρ
μ
Tenemos que el número promedio de clientes en la cola es Lq = ⎝ ⎠ 2
S !(1 − ρ )
sabemos que Lq = λ Wq entonces el tiempo promedio que pasa un cliente en la cola es
s
⎛λ⎞
P0 ⎜ ⎟ ρ
⎝μ⎠
Wq =
; donde
λ S !(1 − ρ ) 2
ρ=
λ
sμ
⎛1⎞
sabiendo que w = wq + ⎜ ⎟ ,
⎝μ⎠
se pueden obtener W y L
Como;
∑ ρ i =1;
y que
⎛λ⎞
L = Lq + ⎜ ⎟
⎝μ⎠
P0 + P1 + P2 + .... + Pn = 1;
entonces ;
s
n−s
⎧ ⎛ λ ⎞n
⎛λ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎫
⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪
⎪ s −1 ⎜⎜ ⎟⎟
α ⎜
sμ
μ
⎪ ⎝μ⎠
⎪
+∑⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎬
P0 = ⎨∑
S!
n≤ s
⎪n = 0 n!
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
−1
−1
⎫
⎧ ⎛ λ ⎞n ⎛ λ ⎞S
⎜⎜ ⎟⎟ α
⎪
⎪ s −1 ⎜⎜ ⎟⎟
α
⎪ ⎝μ⎠
⎝μ⎠
n−s ⎪
P0 = ⎨∑
ρ
En
ρ n − s j = n − s, así
+
⎬
∑
∑
s! n = s
n=s
⎪
⎪ n = 0 n!
⎪
⎪
⎭
⎩
aplicando nuevamente la serie geométrica, tenemos que;
⎫
⎧ ⎛ λ ⎞n ⎛ λ ⎞S
⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎪ s −1 ⎜⎜ ⎟⎟
μ⎠ 1 ⎪
⎪ ⎝μ⎠
⎝
P0 = ⎨∑
+
⎬
n
!
S! 1 − ρ ⎪
n
=
0
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩
α
∑ρ
j =0
j
=
1
, ya que
1− ρ
−1
La probabilidad de que un cliente pase determinado tiempo en el sistema se calcula de la manera
siguiente:
⎧
⎡
⎛
λ ⎞⎤⎫
−μt ⎜ S − 1 − ⎟ ⎥ ⎪
S⎢
⎪
μ ⎠⎥⎪
⎝
⎪ Po ⎛ λ ⎞ ⎢1 − e
⎜
⎟
⎪
⎥⎪
⎝μ⎠ ⎢
− μ t ⎪⎪
⎢
⎥ ⎪⎪
⎣
⎦
1
+
⎨
⎬
⎛
λ⎞
⎪
⎪
S !(1 − ρ ) ⎜ S − 1 − ⎟
⎪
⎪
μ⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎭
( )
P {W > t} = e
P {Wq > t} = ⎡⎣1 − P {Wq = 0}⎤⎦ e
P {Wq > t} = P( j ≥ S )e
− S μ (1− ρ ) t
− S μ (1− ρ ) t
, para t≥0
, para t≥0
, para t≥0
( S ρ ) Po es la probabilidad de que todos los servidores estén ocupados
donde P( J ≥ S ) =
S !(1 − ρ )
S
Así;
( S ρ ) Po e− S μ (1− ρ ) t , para t≥0
P {Wq > t} =
S !(1 − ρ )
S
Donde ρ =
λ
Sμ
⎛
λ⎞
− μ t ⎜ S −1− ⎟
λ
Cuando S-1- = 0, 1 − e ⎝ μ ⎠ debe reemplazarce por μ t
μ
Ejemplo:
En un banco existen cuatro líneas de servicio y los clientes que arriban al sistema se unen a la cola
más corta. Los clientes llegan aleatoriamente a una tasa de 16 por hora. Cada servidor puede atender
las transacciones a una tasa de 8 por hora. El servicio tiene disciplina FIFO y existe espacio
suficiente en el estacionamiento del banco para dar cabida a los carros. Debido a que existen
normalmente 4 líneas de servicio en paralelo que trabajan independientemente uno del otro se puede
dividir la tasa de llegada equitativamente entre las cuatro líneas.
Se tienen 4 líneas cada una con λ= 4 y μ = 8.
ρ=
λ 1
=
μ 2
L=
ρ
1− ρ
= 1 carro en el
sistema
Se desea investigar un nuevo arreglo para reducir el tiempo de espera para los clientes en el servicio
de las cajas. Normalmente los clientes se unen a aquella línea más corta. Este procedimiento no
siempre trabaja bien, debido a las diferencias en los tiempos de servicio, algunas líneas tienden a
moverse más rápido que otras. Muy seguido entonces, un cliente que selecciona una línea corta debe
esperar un periodo grande de tiempo si el cliente de adelante tiene que realizar largas transacciones.
Se ha investigado las formas en que el banco podría manejar el problema. Una forma sería tener una
sola línea de espera. Cada cliente entonces se mueve (acude a la caja) a la primera caja que se
desocupe y el siguiente cliente de él pasa a ser el primer cliente en la línea. Comparando el actual
con el propuesto procedimiento el criterio de decisión será el tiempo promedio que un cliente pase
en la cola.
Arreglo Actual
w=
λ 1
= hora ,
μ 4
Arreglo propuesto
15 min/ linea
⎛1⎞ 1
Lq = L − ρ = 1 − ⎜ ⎟ = carro en la linea
⎝2⎠ 2
Lq 1
= hora = 7.5 minutos en la linea
wq =
λ 8
Si se analizara el caso de canales múltiples donde existe una sola línea para los cuatro servidores
tendríamos
ρ=
s=4
λ
μ
Lq = P ( Sistema ocupado) *
Po = .1304
ρ
sρ
Lq = .1739carros / linea
n
⎛λ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
μ
Pn = ⎝ ⎠ n − s Po
s! s
P (sistema este ocupado)
=
ρs
(μs )
Pn = .1739
s ! (μs − λ )
=1− P0 − P1 − P2 − P3
⎛λ⎞
⎛1⎞
P0 ⎜ ⎟ s
.1304(2) 4 ⎜ ⎟
μ
ρ
⎝ 2 ⎠ = .1739carros
Lq = ⎝ ⎠
=
2
s ! (1 − ρ )
⎛1⎞
4!⎜ ⎟
⎝4⎠
L=
λ
+ Lc = 2 +.1739 = 2.1739carros en el sistema
μ
wq =
w=
ρ=
en la linea
Lq
L
λ
μ
=
.1739
= 0.0109horas
16
o 0.654 min utos
2.1739
= 0.1359horas
16
o 8.152 min utos
=
λ 1
=
sμ 2
Si comparamos Wq de 7.5. min. para 4 líneas individuales con Wq de .054 minutos para una línea,
tenemos un drástico mejoramiento en el servicio.
P0 =
1
n
⎧
⎛λ⎞ ⎫
⎜ ⎟⎟ ⎪
⎪ s −1
n
α ⎜
⎪ ⎛λ⎞
⎝μ⎠ ⎪
⎨∑ ⎜⎜ ⎟⎟ + ∑ n − s ⎬ = 0.1304
⎪n = 0 ⎝ μ ⎠ n = s s! s ⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎡ ⎛ λ ⎞n ⎛ λ ⎞S
⎢ s −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
μ
μ
P0 = ⎢ ∑ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠
⎢ n =0 n !
s!
⎢
⎣⎢
−1
⎤
⎥
⎛ 1 ⎞ ⎥
= .1304
⎜
⎟
⎝1− ρ ⎠ ⎥
⎥
⎦⎥
Costos de un Sistema de Líneas de Espera
La obtención de L, Lq, W y Wq a través de los modelos de nacimiento y muerte permite tomar
decisiones de sistemas de líneas de espera. Estas decisiones suelen expresarse en términos de
minimización de los costos asociados a la espera. Para cualquier sistema de espera tendremos dos
tipos de costos: Costos de servicio y costos de espera. Si el tamaño de la cola está limitado,
tendremos también costos de abandono.
Costos de servicio
Serán directamente proporcionales al número de servidores en paralelo que establezcamos en el
sistema. Suelen caracterizarse con el parámetro Cs, que expresa los costos de servicio por servidor
para un determinado periodo de tiempo: De este modo, tenderemos:
Costos de servicio = Cs S
um/período
Al expresar los costos de servicio de este modo, suponemos que incurrimos en costos de servicio
por el hecho de disponer del servidor, independientemente de que efectivamente esté en servicio o
no. Si incurrimos en estos costos el servidor está ocupado, tenderemos:
Costos de servicio = Tasa de utilización del servidor = Cs S um/periodo
Dicha tasa de utilización será igual a ρ para los modelos de universo finito y cola no limitada. Para
el resto de los modelos, deberá calcularse en cada caso.
Costos de Espera
La preocupación por el diseño de un sistema de líneas de espera supone la existencia de ciertos
costos de espera, asociados al número medio de unidades en el sistema. Dichos costos pueden
interpretarse en términos de pérdida de calidad de servicio, posibles reducciones de ventas futuras
debido al largo tiempo de espera en experiencias anteriores, etc. Se caracterizan por el parámetro Ce,
que no es más que el costo de servicio por unidad en el sistema para un determinado periodo de
tiempo. Dichos costos de espera valdrán:
Costos de espera = Ce L
um/periodo
Los costos de espera también dependen del número de servidores, pero de manera indirecta: un
aumento del número de servidores inducirá una reducción del número promedio de unidades en el
sistema L, en función del sistema que estemos tratando.
Costos de Abandono
Entre otras utilidades, de los modelos de cola finita permiten representar un comportamiento de
abandono del sistema por parte de las unidades, si el tamaño de la cola es demasiado grande. Mas
concretamente, se supone que las unidades que abandonarán el sistema si, cuando éstas llegan al
sistema, el tamaño de la cola es k – s. Se trata de unos costos de naturaleza parecida a los de espera,
aunque en ocasiones pueden interpretarse como reducciones de ventas actuales (por abandono). Se
caracterizan por Ca que es el costo de abandono por unidad para un periodo de tiempo determinado.
Para un determinado periodo de tiempo, las unidades que abandonan el sistema valdrán:
Unidades que abandonan = λ Pk
Donde λ representa la tasa de llegadas al sistema referida al periodo considerado. La tasa de
entradas al sistema será, entonces:
Costos de abandono = Ca λ Pk
M/M/1
Ejemplo: Un operario que trabaja en una fábrica, debe obtener sus herramientas de un almacén. Un
promedio de 10 operadores por hora arriban al almacén en busca de de partes. En la actualidad el
almacén es atendido por un dependiente a quién se le paga $60 por hora y a quién le toma un
promedio de 5 minutos atender la demanda de un operario. Debido a que al operador se le pagan
$100 por hora, cada hora que el operario pasa en el almacén le cuesta a la fábrica $100. La fábrica
esta decidiendo entre contratar o no ( a $40 por hora) a un ayudante. Si se contrata un ayudante, al
dependiente le tomará un promedio de 4 minutos procesar la demanda de los operarios. Considere
que los tiempos de servicio entre arribos son exponenciales. Se deberá contratar al ayudante?
Costo esperado Costo del servicio Costo de espera
=
+
Hora
Hora
Hora
Costo de espera ⎛ Costo de espera ⎞ ⎛ No. promedio de clientes ⎞
=⎜
⎟*⎜
⎟
Hora
Cliente
Hora
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎞ ⎛ Horas promedio que el ⎞
Costo promedio de espera ⎛
$100
=⎜
⎟*⎜
⎟
Hora
⎝ Operario-Hora ⎠ ⎝ cliente pasa en el sistema ⎠
Así;
Costo promedio de espera
Costo promedio de espera
= 100W y
= 100W λ
Cliente
Hora
1
1
=
= 0.5horas , tenemos que:
Como λ=10 y µ=12 clientes por hora y W =
μ − λ 12 − 10
Costo del servicio/hora =$60 y Costo promedio de espera = 100(0.5)10 = $500
Por lo que sin ayudante, el costo esperado por hora es 60+500 = $560. Con el ayudante λ=10 y µ=15
1
1
=
= 0.2horas
clientes por hora y W =
μ − λ 15 − 10
Ahora el costo del servicio/hora =60 + 40 = $100 y Costo promedio de espera = 100(0.2)10 = $200.
Por lo que con ayudante, el costo esperado por hora es 100+200 = $300. Por lo anterior el ayudante
deberá ser contratado, debido a que se ahorran 500-200 = $300 por hora, que es mas de $40 por hora
de salario que cuesta el ayudante.
M/M/S
Ejemplo: El gerente de un banco debe determinar cuantos cajeros deberán trabajar los viernes. El
gerente cree que por cada minuto que un cliente pase en espera, se incurre en un costo de espera de
$0.5. Un promedio de 2 clientes por minuto arriban al banco.. En promedio le toma a un cajero 2
minutos atender la transacción de un cliente. Le cuesta al banco $90 por hora contratar a un cajero.
El tiempo entre arribo y de servicio son exponenciales. Para minimizar la suma de los costos de
servicio y espera, cuantos cajeros deberá contratar el banco para que trabajen los viernes?
λ=120 y µ=30 clientes por hora y S>1.
λ
120
4
=
= < 1 S debe ser mayor a 4
Como ρ =
S μ S *30 S
Costo esperado de eservicio Costo de espera
+
Minuto
Minuto
Debido a que a cada cajero se le paga 90/60 = $1.5 por minuto,
Costo esperado de eservicio
= $1.5S
Minuto
Como en el ejemplo anterior,
Costo de espera No. esperado de clientes Costo de espera
=
+
Minuto
Minuto
Minuto
Pero
Costo de espera/cliente = $0.5 Wq
Debido a que 2 clientes arriban por minuto,
Costo de espera/minuto = 2(0.5Wq)= $1*Wq
7
Para S=5, ρ =
= 0.80 Wq = 1.1 minutos
0.5*5
Costo de espera/minuto = 1.0(1.1)=$1.1
Y para S=5
Costo total esperado = =1.5*5 + 1.1 = $8.6
Debido a que S=6 tiene un costo de servicio de 6*1.5 = $9, con 6 cajeros no se tiene un costo total
menor que con 5 cajeros. Teniendo 5 cajeros atendiendo es óptimo. Diciéndolo de otra manera,
poniendo otro cajero adicional puede ahorrar al banco a lo máximo $1.1 por minuto en costo de
espera. Como el costo de un cajero adicional de de $1.5 por minuto, no puede ser óptimo contratar
mas de 5 cajeros.
Además del tiempo esperado de un cliente en el sistema, es de interés la distribución de tiempo de
espera de un cliente. Por ejemplo, si todos los clientes que tienen que esperar mas de 5 minutos en
la caja de un supermercado deciden cambiar a otra tienda, la probabilidad que un dado cliente se
cambie a otra tienda iguala a P(W>5). Para determinar esta probabilidad, es necesario conocer la
distribución del tiempo de espera de un cliente. Para un sistema M/M/S se puede mostrar que;
⎡ − μ ( S −1− S ρ )⎦⎤
⎧⎪
⎫⎪
1 − e⎣
P( w > t ) = e − μt ⎨1 + P( j > S )
⎬
S − 1 − S ρ ⎭⎪
⎪⎩
⎡ − S μ (1− ρ )t ⎤⎦
P(Wq > t ) = P( j ≥ S )e ⎣
Para ilustrar esto considere en ejemplo anterior en que S=5, ρ=0.80, Po=0.012897, y µ=0.5 clientes
por minuto
( S ρ ) Po , entonces
como P( J ≥ S ) =
S !(1 − ρ )
S
⎡ −5*0.5(1− 0.80 )10 ⎤⎦
P(Wq > 10) = P ( j ≥ 5)e ⎣
( 5*.8) *.012897 = 0.550272
P ( J ≥ 5) =
5!(1 − .8 )
= 0.55* e−5 = 0.004
5
Por lo que el banco el gerente puede estar seguro que la probabilidad de que un cliente tenga que
esperar más de 10 minutos es muy pequeña.
Ejemplo:
La CIA de transportes “Maíz-Trigo” carga barcos con trigo arroz, maíz y otros granos, para ser
enviados a altamar. La compañía no es propietaria de los barcos que carga, ya que sólo se encarga
de cargar los granos a los barcos siempre que alguno llegue para solicitarlo. No existe un calendario
fijo para las llegadas de los barcos porque las llegadas difieren de acuerdo a los costos de los granos,
condiciones internacionales etc. Por esto se asume que los barcos llegan aleatoriamente, a una tasa
promedio de uno por día. Debido a la restricción en la capacidad y a la configuración de la carga, la
compañía no puede asegurar exactamente cuanto tiempo llevara cargar un barco. Esta restricción
significa que mientras el barco esté esperando y mientras esté siendo cargado la tripulación del
barco esta ociosa. Ya que las ganancias del propietario del barco dependen del tiempo que el barco
pase en el muelle (sistema) y además de que la compañía vende grano debido al exceso del mismo,
la compañía ha acordado pagar a cada propietario de barco $ 1000/día que el barco pase en el
sistema (en espera de carga o siendo cargado). Este pago es para compensar al propietario del barco
por la pérdida de ganancias mientras el barco esta siendo cargado en el muelle de la compañía.
De acuerdo a los archivos un equipo de carga de 3 hombres puede cargar a razón de ¼ de barco/día.
Los equipos pueden trabajar juntos sin interferencia entre los equipos, tal que la resultante tasa de
carga es:
Barcos cargados/día = (num. de equipos)(1/4 barco/día/equipo),
se desea determinar cuantos equipos son necesarios para cargar los barcos tal que el costo total sea
minimizado.
Costo total = Σ pago/día + pago a los equipos de carga
Los trabajadores por equipo cuestan a la compañía $10/trab/hr (8 horas/día) por jornada.
Sean M = No. De equipos, y el Costo Total = 240M + 1000L
( )
Como λ=1 y μ = M 1 4
1
<1 ;
⎛1⎞
M⎜ ⎟
⎝4⎠
4
< 1 ; asi
M
Numero
De
5
λ
μ
ρ
Po
L
Lq
w
wq
Costo de empleado
Costo de espera
Costo total
λ
< 1 entonces
μ
y como :
1
5/4
4/5
1/5
4
16/5
4
16/5
1200
4000
5200
M >5
Equipos
6
1
6/4
4/6
1/3
2
4/3
2
4/3
1440
2000
3440
7
1
7/4
4/7
3/7
4/3
16/21
4/3
16/21
1680
1333.3
3013.3
λ= 1
8
1
8/4
4/8
1/2
1
1/2
1
1/2
1920
1000
2920
μ=M(1/4)
9
1
9/4
4/9
5/9
4/5
16/45
4/5
16/45
2160
800
2960
10
1
10/4
4/10
6/10
2/3
4/15
2/3
4/15
2400
666.7
3066.7
1/M(1/4)<1
entonces
M>4
La compañía minimizará costos utilizando 8 equipos.
Ejemplo:
Supóngase el caso en que la compañía Maíz y Trigo, tiene la oportunidad de rentar una instalación
de servicio adicional (muelle) a un costo de $500/dia. Esta instalación tiene las mismas
características que la instalación de la compañía y la eficiencia de los empleados será la misma. La
compañía desea determinar si seria mas barato rentar la instalación o permanecer únicamente con la
propia.
⎛ ⎞
1 ⎜⎜ m ⎟⎟
λ
a 2
< 1; m < 2; debe ser mayor
S=2
<1 ;
sμ
2⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝4⎠
λ= 1, μ = m ( ¼ )
Costo total = costo de empleado + pago a barcos + pago renta; CT = 2(m)(240) + 1000 L + 500
No. De equipos por instalación
Numero
de
Equipos
λ
η
ρ
Po
P(Sist. Ocupado)
Lq
L
Wq
W
Costo de empleado
Pago de barcos
Pago renta
1
3/4
4/3
.2013
.5315
1.0630
2.3963
1.7031
2.4069
1440
2396
500
1
1
½
.3333
.3333
.3333
1.3333
.3333
1.3333
1920
1333
500
por instalación
5
1
5/4
2/5
.4286
.2286
.1524
.9524
.1524
.9524
2400
952
500
Costo total
4336
3753
3852
3
4
6
1
6/4
2/6
.5050
.1683
.0842
.7509
.0842
.7509
2880
751
500
4131
El costo menor para 2 instalaciones es de $3753 y utiliza 4 equipos/instalación. Este costo es mayor
que el de utilizar una instalación $3753 > $2920
Entonces no es conveniente rentar otra instalación.
MODELO DE FUENTE FINITA
Modelo de fuente finita para un servidor
En este modelo se considera que el tamaño de la población es finito, por ejemplo; en el caso del
servicio a un grupo de maquinas de una fabrica. Denotamos a M como el numero de unidades en la
población (tamaño de la población). Los resultados siguientes son para el estado estacionario, con
tiempo de llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial para un servidor.
⎧ M ⎡ M!
⎤⎫
P0 = ⎨∑ ⎢
ρ n ⎥⎬
⎩ n =0 ⎣ (M − n )! ⎦ ⎭
−1
Pn =
M!
ρ n P0
(M − n )!
n=1,2,3. . .
1
⎛λ+μ⎞
Lq = M − ⎜
⎟ (1 − P0 ) = M − (1 + )(1 − P0 )
ρ
⎝ λ ⎠
μ
1
L = M − (1 − P0 ) = M − (1 − P0 ) = Lq + (1 − po)
λ
ρ
Lamda Efectiva λeff = λ ( M − L)
Modelo de fuente finita para S servidores
Este modelo es también conocido como “MODELO DE SERVICIO PARA MAQUINARIA”. Este
sistema tiene un total de N maquinarias y se les da servicio con s mecánicos (s ≤ M ) con tiempo de
llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial.
M ⎛M ⎞
⎧⎪ s ⎛ M ⎞ n
n! ρ n ⎫⎪
P0 = ⎨∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ρ + ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ n − s ⎬
⎪⎩ n = 0 ⎝ n ⎠
⎪⎭
n = s +1 ⎝ n ⎠ s! s
⎧⎛ M ⎞ n
⎪⎜⎜ ⎟⎟ ρ Po
⎪⎝ n ⎠
Pn = ⎨
M
n
⎪⎛⎜ ⎞⎟ n! ρ
⎪⎜ ⎟ S! S n − s Po
⎩⎝ n ⎠
M
LS = Lq +
M
λeff
λeff = ∑ ( M − n)λPn
μ
n =0
0≤n≤s
s<n≤M
donde Lq = ∑ (n − s ) Pn
n=s
−1
M
λeff = ∑ λ ( M − j ) Pj = λ ( M − L)
j =0
M
L = ∑ nPn
es el numero esperado de servidores ociosos
n=0
para calcular W y Wq
Las medidas W y Wq se pueden derivar del L usando las fórmulas obtenidas anteriormente.
W = L / λeff
,
Wq = Lq / λeff donde λeff = λ(M-L)
Ejemplo:
Diez maquinas están siendo atendidas por una grúa aérea: Cuando una maquina termina su carga, la
grúa es llamada para descargar la maquina y para instalarle una nueva carga de una aérea adyacente
de almacenamiento. El tiempo maquina de carga se asume ser Exponencial con una media de 30
minutos. El tiempo desde el momento que la grúa se mueve a servir a la maquina hasta que la nueva
carga es instalada es también Exponencial con media de 10 minutos.
a) Encuentre el porcentaje del tiempo que la grúa esta ociosa.
b) Cuál es el número esperado de maquinas en espera del servicio de la grúa?
a).- λ=60/30=2;
μ=60/10=6;
ρ=0.33333
% tiempo que la grúa esta ociosa = 100Po = (100)(0.00081)=0.081%
⎛ 1⎞
b).- Lq = M − ⎜1 + ⎟ (1 − P0 )
⎝ ρ⎠
1 ⎞
⎛
=10−⎜ 1+
⎟ (1− 0.00081) = 6.0003
⎝ 0.333⎠
≈6
−1
−1
⎧⎪ 10 10!
⎫⎪
10!
10!
10!
10!
1
⎧
2
3
10 ⎫
0.33
(.33)
(0.33)
....
(0.33)
+
+
+
+
Po = ⎨∑
ρ n ⎬ = ⎨0.330 +
( )
⎬ = 0.00081
9!
8!
7!
0!
⎩
⎭
⎪⎩ n =0 (10 − n )! ⎪⎭
P1=0.0027
P2=0.0081
P3=0.02161 Wq = 1.001 ,W = 1.168 L = 7 ρ = 0.3333 Lq = 6
λeff = λ(M-L)=2(10-7)=6, W=L/λeff =7/6=1.167, Wc=Lc/λeff = 6/6=1
Ejemplo:
2 mecánicos están atendiendo 5 maquinas en un taller. Cada maquina se descompone de acuerdo a
una distribución Poisson con una media de 3 por hora. El tiempo de reparación por maquina es
exponencial con media de 15 minutos.
a).- Encuentre la probabilidad de que los 2 mecánicos estén ociosos. Que un mecánico este ocioso.
b).- Cual es el numero esperado de maquinas ociosas que no están siendo servidas ?
ρ=3/4 = 0.75
a).−1
n
5
⎧⎪ 2
5!
5! ( 0.75) ⎫⎪
n
Po = ⎨∑
=0.0435
( 0.75) + ∑
n−2 ⎬
⎪⎩ n = 0 ( 5− n)!n!
⎪⎭
n = 3 ( 5− n)! 2!2
⎛ 5⎞
5!
1
P1 = ⎜ ⎟ ( 0.75) ( 0.043050)=
( 0.75)( 0.0403050)= 01614375
.
4!1!
⎝ 1⎠
P{2 mecánicos ociosos} = Po = 0.04305
P{1 mecánicos ociosos} = Po = 0. 16144
b).5
Lq = ∑ (n − 2) Pn = (2 − 2) P2 + (3 − 2) P3 + (4 − 2) P4 + (5 − 2) P5
n=2
5
Lq = ∑ (n − 2)Pn = 0 P2 + 1P3 + 2 P4 + 3P5
n =3
⎛ 5 ⎞ 3! (.75) 3
P3 = ⎜⎜ ⎟⎟
=
1
⎝ 3 ⎠ 2! 2
⎛ 5 ⎞ 5! (.75) 5
P5 = ⎜⎜ ⎟⎟
=
3
⎝ 5 ⎠ 2! 2
.2724
.07662
⎛ 5 ⎞ 4! (.75) 4
P4 = ⎜⎜ ⎟⎟
=
2
⎝ 4 ⎠ 2! 2
.2043
5
Lq = ∑ (n − 2)Pn = 0 + 1P3 + 2 P4 + 3P5 = 1(.2724) + 2(.2043) + 3(.07662) = .91086
n=2
M
λeff = ∑ λ ( M − n) Pn = 5λ Po + 4λ P1 + 3λ P 2 + 2λ P3 + 1λ P 4 = 15Po + 12 P1 + 9 P 2 + 6 P3 + 3P 4 = 7
n=0
L=Lq+
λeff
=.91+7/4=2.66
μ
Wq=Lq/λeff =.91/4=0.1298 W=L/λeff=2.66/7=0.38
MODELO DE COLA FINITA
Resultados en el estado estacionario para un servidor
Con tiempo de llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial, no se permite que la cola
exceda de un número M de clientes y todos los clientes que llegan mientras la cola está
llena salen y no vuelven. (Capacidad total del clientes en el sistema; los que están siendo
atendidos más los que están esperando ser atendidos)
⎧λ
λn = ⎨
⎩0
si n = 0,1,2,...M − 1
si n ≥ M
ρ=
λ
μ
Para un modelo M/M/1/GD/M/∞, el estado estacionario existirá aún sí λ≥μ. Esto se debe a
que si λ≥μ, la capacidad finita del sistema previene que el numero de clientes en el
sistema crezca infinitamente.
Para S=1
⎛ 1− ρ ⎞
P 0= ⎜
⎟ ; donde
⎝ 1− ρ M +1 ⎠
⎛ 1− ρ ⎞ n
⎟ρ ;
Pn = ⎜⎜
M +1 ⎟
⎝1− ρ
⎠
M
L = ∑ nPn =
n=0
Pn=0 ;
ρ
1− ρ
−
ρ=
para
Pn = P0 ρ n
n = 0,1,2,3.., M
( M + 1) ρ M +1 ;
1 − ρ M +1
λ
μ
cuando s = 1 ;
Lq = L − (1 − P0 )
para n=M+1, M+2,+……..
Estos resultados son validos para λ < μ; si μ tiende a ∞ los resultados coinciden con el
original.
ρ {1 − (M + 1)ρ M + Mρ M +1 }
(1 − ρ )(1 − ρ M +1 )
M
, cuando λ=μ
2
λPM = Número de arribos por unidad de tiempo que encuentran el sistema ocupado y se
van y no entran
L=
L=
λeff = λ(1-PM) = Numero de arribos promedio por unidad de tiempo que actualmente entran
al sistema
λeff = λ (1 − PM ) = μ ( S − S eff )
M
Donde λ eff = ∑ λ n Pn =λ ( P0 + P1 + P2 + .. + PM −1 ) + 0 PM y
Seff es el numero de servidores
n =0
ociosos, y Seff = L − Lq =
λeff
μ
Lq = L −
λeff
μ
Las medidas de Lc, W y Wq se pueden derivar del L usando las fórmulas obtenidas
anteriormente.
W = L / λeff
,
Wq = Lq / λeff
Resultados en el estado estacionario para S servidores (S>1)
Estos son una extensión directa del modelo de un servidor con los siguientes parámetros.
⎧λ
λn = ⎨
⎩0
⎧ Nμ
⎩sμ
si 0 ≤ n ≤ M − 1
si n ≥ M
μn ⎨
−1
ρ M − S +1 ⎫
⎧
S
)⎪
⎪⎪ S −1 ρ n ρ (1 − ( S )
ρ
⎪
+
P0 = ⎨∑
para.. ≠ 1
⎬
ρ
S
⎪n = 0 n!
⎪
s!(1 − )
⎪⎩
⎪
S
⎭
−1
⎧ S −1 ρ n ρ S ( M − S + 1) ⎫
ρ
+
P0 = ⎨∑
⎬ para.. = 1
s!
S
⎩ n = 0 n!
⎭
⎧ρn
si n = 1,2,...., S
⎪ n! P0
⎪
⎪ ρn
P
si S ≤ n ≤ M
Pn = ⎨
n−s 0
S
!
S
⎪
si n ≥ M
⎪0
⎪
⎩
si M ≤ S
y
entonces
Lc = 0
si 0≤ n ≤ s
si n ≥ s
α
L = ∑ nPn
n= 0
si
M >S
Lq =
Lq =
entonces
P0 ρ
S
( s − 1)!( S − ρ )
2
⎡
ρ M −s
ρ
⎛ ρ ⎞⎤
− ( M − S ) ( ) M − S ⎜1 − ⎟ ⎥
⎢1 − ( S )
S
⎝ S ⎠⎦
⎣
P0 ρ S
⎡( M − S ) ( M − S + 1) ⎤⎦
2S ! ⎣
L = Lq + ( S − Seff ) = Lq +
para ρ/S ≠ 1
para ρ/S = 1
λeff
μ
s −1
⎛ s −1 ⎞
L = ∑ nPn + Lq + S ⎜1 − ∑ Pn ⎟ ;
n=0
⎝ n =0 ⎠
w=
L
λeff
y
wq =
Lq
λeff
Ejemplo:
Se están haciendo planes para abrir una pequeña estación para lavar automóviles y debe decidirse
cuánto espacio dejar para los automóviles que esperan. Se estima que los clientes llegarían
aleatoriamente (es decir, de acuerdo con un proceso de entrada Poisson ) con una tasa media de uno
cada 4 minutos, a menos que el área de espera este llena, en cuyo caso el cliente se llevaría su
automóvil a otra parte. El tiempo que puede atribuirse al lavado de un automóvil tiene una
distribución Exponencial con una media de 3 minutos. Compárese la fracción esperada de clientes
potenciales que se perderían, debido a un espacio de espera inadecuado, si se tuvieran a) cero, b)
dos, o c) cuatro espacios ( sin incluir el del automóvil que se está lavando).
λ=15 c/hora; μ=20 c/hora; s=1;
ρ=
λ
= 0.75
sμ
M=1 (Cero espacios)
⎛ 1− 0.75 ⎞
⎟ = 0.5714
Po = ⎜⎜
1− Po = 0.4286
2⎟
⎝ 1−( 0.75) ⎠
42.86% de los clientes se pierden.
a).-
M=3 (Dos espacios )
⎛ 1− 0.75 ⎞
⎟ = 0.3657
Po = ⎜⎜
4⎟
⎝ 1−(0.75) ⎠
b).-
fraccion declientes
potenciales quese
pierden
⎛ 1 − 0.75 ⎞
⎟(0.75) = 0.274275
= ⎜⎜
4 ⎟
1
⎝ 1 − (0.75) ⎠
P2= ( 0.3657)( 0.5625) = 0.2057
Po + P1 + P2 = 0.365+0.274275+0.2057=0.8456
1- Po - P1 - P2 = 1 - 0.8456 = 0.1543
15.43% de los clientes se pierden
p
M=5 (Cuatro espacios)
⎛ 1 − 0.75 ⎞
⎟⎟ = 0.3041283
Po = ⎜⎜
⎝ 1 − (0.75) ⎠
c).-
P1 = (0.3041)(0.75) = 0.2280962
P 2 = (0.3041)(0.5625) = 0.1710722
P3 = (0.3041)(0.4218) = 0.1282813
P 4 = (0.3041)(0.3164) = 0.0962262
0.9278289
1 − P0 − P1 − P2 − P3 − P4 = 1 − 0.9248289 = 0.072
7.2% de los clientes se pierden
Ejemplos
Ejemplo:
Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de atender un promedio de 60
operaciones por hora con tiempos reales de servicio que se observan exponenciales. Los clientes
llegan con una tasa de 100 por hora. Determinar:
a) Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el banco.
b) Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso.
c) Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la cola.
Tenemos un sistema con λ =100 usuarios por hora, μ =60 servicios por hora y S = 2 . Como se
verifica que λ < S μ , podemos afirmar que el sistema es estacionario.
Entonces, la probabilidad de que haya más de tres usuarios es:
P( n > 3) = 1 − P0 − P1 − P2 − P3
donde sabemos que:
−1
⎡ S −1 1 ⎛ λ ⎞n 1 ⎛ λ ⎞ S S μ ⎤
P0 = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎥ =
⎢⎣ n =0 n ! ⎝ μ ⎠ S ! ⎝ μ ⎠ S μ − λ ⎥⎦
⎡ λ 1 ⎛ λ ⎞ 2 2μ ⎤
⎥
= ⎢1 + + ⎜ ⎟
⎢⎣ μ 2 ! ⎝ μ ⎠ 2 μ − λ ⎥⎦
−1
⎡ 100 1 ⎛ 100 ⎞ 2
120 ⎤
= ⎢1 +
+ ⎜
⎥
⎟
60 2 ⎝ 60 ⎠ 120 − 100 ⎥⎦
⎢⎣
−1
= 0.0909
n
1 ⎛λ⎞
λ
100
0.0909 = 0.1515
P1 = ⎜ ⎟ P0 = P0 =
60
n! ⎝ μ ⎠
μ
n
2
2
⎛λ⎞
1⎛λ ⎞
1 ⎛ 100 ⎞
P2 = n − S ⎜ ⎟ P0 = ⎜ ⎟ P0 = ⎜
⎟ 0.0909 = 0.1263
2⎝ μ ⎠
2 ⎝ 60 ⎠
S S !⎝ μ ⎠
1
n
3
3
⎛λ⎞
1 ⎛λ⎞
1 ⎛ 100 ⎞
P3 = n − S ⎜ ⎟ P0 =
⎜ ⎟ P0 = ⎜
⎟ 0.0909 = 0.1052
S S !⎝ μ ⎠
2 ⋅ 2! ⎝ μ ⎠
4 ⎝ 60 ⎠
1
de forma que:
P( n > 3) = 1 − P0 − P1 − P2 − P3 = 0.5261
La probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso es:
P( n < 2) = P0 + P1 = 0.0909 + 01515
.
= 0.2424
La función de distribución del tiempo de espera en cola es
⎧
⎪
⎪
⎪0
si t < 0
⎪
S
⎪
⎛λ⎞
S⎜ ⎟
⎪
μ
⎪
FTq (t ) = P (Tq ≤ t ) = ⎨1 − ⎝ ⎠ P0
si t = 0
⎪ s! ⎛ s − λ ⎞
⎜
⎪
μ ⎟⎠
⎝
⎪
S
⎪ ⎛λ⎞
− ( μ S − λ )t
⎤
⎪ μ ⎜ ⎟ ⎡⎣1 − e
⎦
μ
⎝
⎠
⎪
P0 + FTq (0)
⎪⎩ ( S − 1)! ( μ S − λ )
si t > 0
donde deberemos expresar la tasa de llegadas y la de servicio en unidades por minuto:
λ=
100
= 16667
.
usuarios por minuto
60
60
μ=
= 1 usuario por minuto
60
Por tanto, la probabilidad de que un cliente permanezca más de tres minutos en la cola es:
⎧ ⎛ λ ⎞S
⎫
−3 μ S − λ )
⎤
⎪ μ ⎜ ⎟ ⎡⎣1 − e (
⎪
⎦
⎪ ⎝μ⎠
⎪
P (Tq > 3) = 1 − P (Tq ≤ 3) = 1 − ⎨
P0 + FTq (0) ⎬
⎪ ( S − 1)! ( μ S − λ )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
donde
S
2
⎛λ⎞
100 ⎞
⎛
S⎜ ⎟
2⎜
⎟
μ⎠
60 ⎠
⎝
0.0909 = 0.2425
FTq (0) = 1 −
P0 = 1 − ⎝
⎛
⎛ 100 ⎞
λ⎞
2⎜ 2 −
S !⎜ S − ⎟
⎟
60 ⎠
μ⎠
⎝
⎝
y entonces, la probabilidad pedida es:
[
]
⎧ ⎛ 100 ⎞ 2
⎫
−3( 2 −1.6667 )
⎪⎜
⎪
⎟ 1− e
⎪ ⎝ 60 ⎠
⎪
P( T > 3) = 1 − ⎨
0.0909 + 0.2425⎬ = 0.2786
2
−
16667
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
Ejemplo:
Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos de investigación de seguridad vial cuyo trabajo
consiste en analizar las condiciones de las carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los
equipos son igualmente eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el
informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente exponencial. El número de
accidentes mortales en carretera sigue una distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes
por año. Determínese:
a)
b)
c)
d)
Número medio de accidentes cuya investigación no ha comenzado.
Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar.
Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza la investigación.
Número medio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado.
Estamos ante un sistema de colas con tasa de llegadas λ = 300 accidentes por año o, lo que es lo
mismo, λ = 0.82 accidentes por día, con tasa de servicio μ = 0.5 investigaciones por día y con C = 3
canales de servicio.
El número medio de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es el número medio de
usuarios en cola:
S
⎡
⎤
⎡ ⎛ 0.82 ⎞3
⎤
⎛λ⎞
λμ
⎢
⎥
0.82
0.5
⋅
⎢⎜
⎥
⎜μ⎟
⎟
0.5 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎢
⎥
⎢
⎥ = 1.9555P0
Lq = P0
= P0
⎢ ( S − 1)! ( S μ − λ )2 ⎥
⎢ 2 (1.5 − 0.82 )2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎣
⎦
donde
−1
⎡ S −1 1 ⎛ λ ⎞n 1 ⎛ λ ⎞ S S μ ⎤
P0 = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎥ =
⎢⎣ n =0 n ! ⎝ μ ⎠ S ! ⎝ μ ⎠ S μ − λ ⎥⎦
⎡ λ 1 ⎛ λ ⎞ 2 1 ⎛ λ ⎞ 3 3μ ⎤
⎥
= ⎢1 + + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
6 ⎝ μ ⎠ 3μ − λ ⎥
⎢⎣ μ 2 ⎝ μ ⎠
⎦
−1
=
⎡ 0.82 1 ⎛ 0.82 ⎞ 2 1 ⎛ 0.82 ⎞ 3 ⎛ 15
.
⎞⎤
= ⎢1 +
+ ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
. − 0.82 ⎠ ⎥⎦
0.5 2 ⎝ 0.5 ⎠
6 ⎝ 0.5 ⎠ ⎝ 15
⎢⎣
−1
.
= 01784
Así pues, el número de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es:
Lq = 19555
.
P0 = 0.3489
El tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar es el tiempo
medio de espera:
Wq =
Lq
λ
=
0.3489
= 0.4255 dias
0.82
El tiempo medio desde que se produce el accidente hasta que finaliza la investigación es el tiempo
medio de permanencia en el sistema:
W=
1
μ
+ Wq = 2.4255 dias
Por otra parte, el número medio de accidentes cuya investigación aún no ha finalizado es el número
medio de usuarios en el sistema:
L = λW = 19889
.
Ejemplo:
Una clínica canina tiene 3 veterinarios para vacunar perros. El número de perros que llegan a la
clínica sigue una distribución de Poisson con una tasa media de 12 por hora. El tiempo medio
empleado en vacunar a cada perro es de 2 minutos. Determinar:
a)
b)
c)
d)
e)
Porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía.
Tiempo medio de espera.
Tiempo medio de permanencia de los perros en la clínica.
Número medio de perros en la clínica.
Probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos para ser vacunado.
Estamos ante un sistema de colas con una tasa de llegadas de λ = 12 usuarios por hora, una tasa de
servicio de μ = 30 servicios por hora y con S = 3 canales de servicio. Como se cumple que
λ < Sμ
podemos afirmar que el sistema es estacionario.
El porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía es:
−1
⎡ S −1 1 ⎛ λ ⎞n 1 ⎛ λ ⎞ S S μ ⎤
P0 = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎥ =
⎢⎣ n =0 n ! ⎝ μ ⎠ S ! ⎝ μ ⎠ S μ − λ ⎥⎦
⎡ λ 1 ⎛ λ ⎞ 2 1 ⎛ λ ⎞ 3 3μ ⎤
⎥
= ⎢1 + + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
6 ⎝ μ ⎠ 3μ − λ ⎥
⎢⎣ μ 2 ⎝ μ ⎠
⎦
⎡ 12 1 ⎛ 12 ⎞ 2 1 ⎛ 12 ⎞ 3 90 ⎤
= ⎢1 +
+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎥
6 ⎝ 30 ⎠ 90 − 12 ⎥⎦
⎢⎣ 30 2 ⎝ 30 ⎠
Es decir, el porcentaje de tiempo con la cola vacía es:
P0 = 67.01%
−1
=
−1
= 0.6701
El tiempo medio de espera es:
Wq =
Lq
λ
donde
S
⎡
⎤
⎡ ⎛ 12 ⎞3
⎤
⎛λ⎞
λμ
⎢
⎥
⎢ ⎜ ⎟ 12 ⋅ 30 ⎥
⎜μ⎟
⎝ ⎠
⎥ = 0.6701⋅ ⎢ ⎝ 30 ⎠
⎥ = 1.27 ⋅10−3
Lq = P0 ⎢
2
⎢ ( S − 1)! ( S μ − λ )2 ⎥
⎢ 2 ⋅ ( 90 − 12 ) ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎣
⎦
luego el tiempo medio de espera será de:
Wq = 106
. ⋅ 10 −4 horas = 0.3816 segundos
El tiempo medio de permanencia en la clínica es:
W=
1
μ
+ Wq =
1
+ 106
. ⋅ 10 −4 = 0.0334 horas = 2.0064 minutos
30
El número medio de perros en la clínica es:
L = λW = 12 ⋅ 106
. ⋅ 10 −4 = 0.0013
Y, por último, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
10 ⎞
⎛
P⎜ T > ⎟ = P( T > 01667
.
.
) = 1 − P( T < 01667
)=
⎝
60 ⎠
⎛
P ⎜T
⎝
⎧ ⎛ λ ⎞S
⎫
−0.1667( μ S − λ )
⎤
⎪ μ ⎜ ⎟ ⎡⎣1 − e
⎪
⎦
10 ⎞
⎪ ⎝μ⎠
⎪
P0 + FTq (0) ⎬
> ⎟ = P (T > 0.1667 ) = 1 − P (T < 0.667 ) = 1 − ⎨
60 ⎠
( S − 1)! ( μ S − λ )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
donde es necesario expresar las tasas de llegadas y de servicio en unidades por minuto:
Entonces:
λ=
12
= 0.2
60
perros por minuto
μ=
30
= 0.5
60
perros por minuto
S
3
⎛λ⎞
0.2 ⎞
⎛
S⎜ ⎟
3⎜
⎟
μ⎠
0.5 ⎠
⎝
FTq (0) = 1 −
P0 = 1 − ⎝
⋅ 0.6701 = 0.9918
0.2 ⎞
⎛
⎛
λ⎞
6⋅⎜3 −
S !⎜ S − ⎟
⎟
0.5 ⎠
μ⎠
⎝
⎝
y, entonces, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
[
]
⎫
⎧ ⎛ 0.2 ⎞ 3
−0.1667 (1.5− 0.2 )
⎪
⎪ 0.5⎜ ⎟ 1 − e
10 ⎞
⎪
⎪ ⎝ 0.5 ⎠
⎛
P⎜ T > ⎟ = 1 − ⎨
0.6701 + 0.9918⎬ = 0.0009
⎝
⋅
−
60 ⎠
2
15
0
2
.
.
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩
Ejemplo:
En un taller caben cuatro máquinas que son reparadas por dos mecánicos. Las máquinas llegan al
taller como promedio una vez cada tres horas y el tiempo medio de reparación es de 45 minutos.
¿Cuál es el número medio de máquinas estropeadas en el taller?
Es evidente que se trata de un sistema con
λ = 0.3333 μ = 1.3333 S = 2 K = 4
Se sigue verificando que, como
ρ=
λ
= 0.125 < 1
Sμ
el sistema es estacionario tenemos:
S
K − S +1
⎧
⎤⎫
⎛λ⎞ ⎡ ⎛ λ ⎞
⎪
1
−
⎢
⎥⎪
⎜ ⎟
⎜
⎟
n
⎥⎦ ⎪⎪
⎪⎪ S −1 1 ⎛ λ ⎞ ⎝ μ ⎠ ⎢⎣ ⎝ S μ ⎠
P0 = ⎨∑ ⎜ ⎟ +
⎬
⎛
λ ⎞
⎪ n=0 n ! ⎝ μ ⎠
⎪
S ! ⎜1 −
⎟
⎪
⎪
⎝ Sμ ⎠
⎩⎪
⎭⎪
2
3
⎧
⎛ λ⎞ ⎡ ⎛ λ ⎞ ⎤⎫
⎪
⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎪
⎪ λ ⎝ μ ⎠ ⎢ ⎝ 2μ ⎠ ⎥ ⎪
⎪
⎣
⎦⎪
= ⎨1 + +
⎬
μ
⎛
λ ⎞
⎪
⎪
2 ⋅ ⎜1 −
⎟
⎪
⎪
⎝ 2μ ⎠
⎪⎭
⎪⎩
−1
−1
=
2
3
⎧
⎛ 0.3333 ⎞ ⎡ ⎛ 0.3333 ⎞ ⎤ ⎫
⎪
⎜
⎟ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥⎪
⎠ ⎢ ⎝ 2.6667 ⎠ ⎥ ⎪⎪
.
⎪⎪ 0.3333 ⎝ 13333
⎣
⎦
= ⎨1 +
+
⎬ = 0.7778
.
.
0
3333
13333
⎛
⎞
⎪
⎪
2 ⋅ ⎜1 −
⎟
⎪
⎪
⎝ 2.6667 ⎠
⎪⎩
⎪⎭
P1 =
λ
0.3333
⋅ 0.7778 = 0.1944
P0 =
μ
1.3333
2
2
3
3
4
4
1 ⎛λ⎞
1 ⎛ 0.3333 ⎞
P2 = 0 ⎜ ⎟ P0 = ⎜
⎟ 0.7778 = 0.0243
2 ⎝ 1.3333 ⎠
S S !⎝ μ ⎠
1 ⎛λ⎞
1 ⎛ 0.3333 ⎞
P3 =
⎜ ⎟ P0 = ⎜
⎟ 0.7778 = 0.0030
4 ⎝ 1.3333 ⎠
S ⋅ S !⎝ μ ⎠
1 ⎛λ⎞
1 ⎛ 0.3333 ⎞
P4 = 2 ⎜ ⎟ P0 = ⎜
⎟ 0.7778 = 0.0004
8 ⎝ 1.3333 ⎠
S S !⎝ μ ⎠
Entonces, el número medio de máquinas estropeadas en el taller es:
L = E [n] =
4
.
+ 2 ⋅ 0.0243 + 3 ⋅ 0.003 + 4 ⋅ 0.0004 = 0.2536
∑ nPn = 01944
n=0
Variable
Intensidad de
tráfico
Porcentaje del
tiempo que el
servidor esta
ocioso
Probabilidad de
que haya n
clientes en el
sistema
Numero
esperado de
clientes en el
sistema
Formulario de Teoría de Colas
Canal Simple
Canal Múltiple
ρ=
λ
μ
ρ=
Pn = ρ n P0 = ρ n (1 − ρ )
λ
sμ
n
⎛λ⎞ P
Para n<s ⎜ ⎟ 0 = Pn
⎝ μ ⎠ n!
n
⎛λ⎞
Para n>s n − s ⎜ ⎟ = Pn
(S ) S !⎝ μ ⎠
P0
L=
ρ
1− ρ
=
λ
(μ − λ )
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ λμ P0
λ
λ
L= + ⎝ ⎠
si ρ =
2
μ ( S − 1)!( μ S − λ )
μ
L = P ( Sistema Ocupado)*
Numero
esperado de
clientes en la
cola
ρ
+ρ
S-ρ
S
L=
ρ2
λ2
=
1− ρ μ (μ − λ )
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ λμ P0
λ
Lq = ⎝ ⎠
si ρ =
2
μ
( S − 1)!( μ S − λ )
Lq = P( Sistema Ocupado)*
ρ
S-ρ
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ P0 ρ
λ
si ρ =
Lq = ⎝ ⎠
2
sμ
S !(1 − ρ )
Tiempo
promedio que
pasa un clientes
en el sistema
W=
L
λ
=
1
μ −λ
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ μ P0
1
⎝ ⎠
W = +
μ ( S − 1)!( μ S − λ )2
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ μ P0
⎝ ⎠
W =
2
( S − 1)!( μ S − λ )
Tiempo
promedio que
un cliente pasa
en la cola
λ
=
Wq =
λ μ (μ − λ )
Probabilidad de
que haya cero
clientes en el
sistema
P0 = 1 − ρ
Probabilidad d
que un cliente
tenga que
esperar en la
cola mas de t
minutos
Probabilidad d
que un cliente
tenga que
esperar en el
sistema mas de
t minutos
Lq
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ μ P0
Lq
⎝ ⎠
W =
=
λ ( S − 1)!( μ S − λ )2
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ P0 ρ
λ
si ρ =
Wq = ⎝ ⎠
2
sμ
λ S !(1 − ρ )
⎡ S −1 1 ⎛ λ ⎞ n 1 ⎛ λ ⎞ S ⎛ S μ ⎞ ⎤
P0 = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜
⎟⎥
⎣⎢ n =0 n ! ⎝ μ ⎠ S ! ⎝ μ ⎠ ⎝ S μ − λ ⎠ ⎦⎥
⎡ ⎛ λ ⎞n ⎛ λ ⎞S
⎢ s −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
μ
μ
P0 = ⎢ ∑ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠
⎢ n =0 n !
s!
⎢
⎣⎢
P {Wq > t} = ρ
P {W > t} = e
e−μ (1− ρ )
t
⎤
⎥
⎛ 1 ⎞ ⎥
⎜
⎟
⎝ 1 − ρ ⎠ ⎥⎥
⎦⎥
−1
( S ρ ) Po e− S μ (1− ρ )
P {Wq > t} =
S !(1 − ρ )
S
− μ (1− ρ ) t
t
⎧
⎡
⎛
λ ⎞⎤
−μt ⎜ S − 1 − ⎟ ⎥
S⎢
⎪
μ ⎠⎥
⎝
⎪ Po ⎛ λ ⎞ ⎢1 − e
⎜
⎟
⎪
⎥
⎝μ⎠ ⎢
− μ t ⎪⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎨1 +
⎛
λ⎞
⎪
S !(1 − ρ ) ⎜ S − 1 − ⎟
⎪
μ⎠
⎝
⎪
⎪
⎪⎩
( )
P {W > t} = e
−1
P( Sistema Ocupado)=
ρS
λ
* P0 = P ( n ≥ S ) si ρ =
μ
S!( μS-λ )
S
⎛λ⎞
⎜ μ ⎟ P0
λ
P ( Sistema Ocupado)= ⎝ ⎠
= P ( n ≥ S ) si ρ =
sμ
S!(1 − ρ )
Tabla de Valores de Po dado λ/µ y el numero de servidores S
Modelo M/M/S
λ/µ
Numero de servidores S
1
2
3
4
0.1
0.900000
0.904762
0.904836
0.904837
0.904837
5
0.904837
6
0.904837
7
0.15
0.850000
0.860465
0.860702
0.860708
0.860708
0.860708
0.860708
0.818731
0.2
0.800000
0.818182
0.818713
0.818730
0.818731
0.818731
0.25
0.750000
0.777778
0.778761
0.778799
0.778801
0.778801
0.778801
0.3
0.700000
0.739130
0.740741
0.740815
0.740818
0.740818
0.740818
0.35
0.650000
0.702128
0.704553
0.704681
0.704688
0.704688
0.704688
0.4
0.600000
0.666667
0.670103
0.670308
0.670319
0.670320
0.670320
0.45
0.550000
0.632653
0.637301
0.637608
0.637627
0.637628
0.637628
0.606531
0.5
0.500000
0.600000
0.606061
0.606498
0.606529
0.606531
0.55
0.450000
0.568627
0.576301
0.576901
0.576946
0.576950
0.576950
0.6
0.400000
0.538462
0.547945
0.548741
0.548806
0.548811
0.548812
0.65
0.350000
0.509434
0.520920
0.521947
0.522038
0.522045
0.522046
0.496585
0.7
0.300000
0.481481
0.495156
0.496452
0.496574
0.496584
0.75
0.250000
0.454545
0.470588
0.472191
0.472350
0.472365
0.472366
0.8
0.200000
0.428571
0.447154
0.449102
0.449307
0.449327
0.449329
0.85
0.150000
0.403509
0.424796
0.427127
0.427385
0.427412
0.427415
0.9
0.100000
0.379310
0.403458
0.406211
0.406531
0.406566
0.406569
0.95
0.050000
0.355932
0.383088
0.386301
0.386691
0.386736
0.386741
1
0.000000
0.333333
0.363636
0.367347
0.367816
0.367872
0.367879
1.05
0.311475
0.345056
0.349301
0.349859
0.349929
0.349937
1.1
0.290323
0.327304
0.332118
0.332774
0.332859
0.332870
1.15
0.269841
0.310338
0.315755
0.316519
0.316622
0.316635
1.2
0.250000
0.294118
0.300172
0.301052
0.301176
0.301192
1.25
0.230769
0.278607
0.285328
0.286336
0.286482
0.286502
1.3
0.212121
0.263770
0.271189
0.272332
0.272504
0.272528
1.35
0.194030
0.249575
0.257718
0.259007
0.259207
0.259236
1.4
0.176471
0.235988
0.244883
0.246327
0.246557
0.246591
1.45
0.159420
0.222981
0.232651
0.234259
0.234523
0.234564
1.5
0.142857
0.210526
0.220994
0.222775
0.223074
0.223122
1.55
0.126761
0.198596
0.209883
0.211844
0.212183
0.212238
1.6
0.111111
0.187166
0.199291
0.201441
0.201821
0.201885
1.65
0.095890
0.176211
0.189193
0.191538
0.191963
0.192036
1.7
0.081081
0.165711
0.179564
0.182112
0.182584
0.182667
1.75
0.066667
0.155642
0.170381
0.173139
0.173660
0.173755
1.8
0.052632
0.145985
0.161622
0.164597
0.165171
0.165277
1.85
0.038961
0.136722
0.153267
0.156465
0.157093
0.157212
1.9
0.025641
0.127833
0.145297
0.148721
0.149407
0.149539
1.95
0.012658
0.119301
0.137692
0.141349
0.142094
0.142241
2
0.000000
0.111111
0.130435
0.134328
0.135135
0.135298
0.103247
0.123509
0.127643
0.128514
0.128692
2.05
2.1
0.095694
0.116898
0.121276
0.122213
0.122409
2.15
0.088438
0.110587
0.115213
0.116217
0.116431
2.2
0.081466
0.104562
0.109437
0.110511
0.110744
2.25
0.074766
0.098809
0.103936
0.105081
0.105333
2.3
0.068326
0.093315
0.098696
0.099914
0.100186
2.35
0.062134
0.088068
0.093704
0.094996
0.095289
2.4
0.056180
0.083056
0.088948
0.090315
0.090630
2.45
0.050453
0.078269
0.084417
0.085860
0.086198
2.5
0.044944
0.073695
0.080100
0.081620
0.081980
2.55
0.039643
0.069325
0.075986
0.077584
0.077968
2.6
0.034542
0.065149
0.072066
0.073743
0.074150
2.65
0.029633
0.061158
0.068330
0.070086
0.070518
2.7
0.024907
0.057343
0.064770
0.066605
0.067062
2.75
0.020356
0.053697
0.061376
0.063291
0.063774
2.8
0.015974
0.050212
0.058142
0.060136
0.060645
2.85
0.011754
0.046880
0.055059
0.057133
0.057668
2.9
0.007689
0.043694
0.052120
0.054274
0.054835
2.95
0.003773
0.040648
0.049318
0.051552
0.052139
3
0.000000
0.037736
0.046647
0.048960
0.049574
3.05
0.034951
0.044101
0.046492
0.047133
3.1
0.032287
0.041673
0.044142
0.044810
3.15
0.029739
0.039358
0.041904
0.042600
3.2
0.027303
0.037150
0.039774
0.040496
3.25
0.024972
0.035046
0.037745
0.038494
3.3
0.022742
0.033038
0.035813
0.036589
3.35
0.020610
0.031124
0.033973
0.034776
3.4
0.018570
0.029299
0.032220
0.033050
3.45
0.016618
0.027558
0.030552
0.031408
3.5
0.014751
0.025898
0.028962
0.029845
3.55
0.012965
0.024315
0.027448
0.028357
3.6
0.011256
0.022805
0.026007
0.026941
3.65
0.009621
0.021365
0.024634
0.025594
3.7
0.008058
0.019991
0.023326
0.024311
3.75
0.006561
0.018681
0.022080
0.023090
3.8
0.005130
0.017432
0.020894
0.021928
3.85
0.003761
0.016241
0.019764
0.020822
3.9
0.002451
0.015104
0.018687
0.019769
3.95
0.001198
0.014021
0.017662
0.018766
4
0.000000
0.012987
0.016685
0.017812
4.05
0.012001
0.015755
0.016904
4.1
0.011062
0.014869
0.016040
4.15
0.010165
0.014025
0.015217
4.2
0.009311
0.013221
0.014433
4.25
0.008496
0.012455
0.013688
4.3
0.007719
0.011726
0.012978
4.35
0.006979
0.011032
0.012302
4.4
0.006273
0.010370
0.011659
4.45
0.005600
0.009740
0.011047
4.5
0.004959
0.009140
0.010464
4.55
0.004347
0.008569
0.009909
4.6
0.003765
0.008025
0.009381
4.65
0.003210
0.007506
0.008878
4.7
0.002682
0.007013
0.008399
4.75
0.002178
0.006543
0.007944
4.8
0.001699
0.006096
0.007510
4.85
0.001242
0.005670
0.007097
4.9
0.000807
0.005265
0.006705
4.95
0.000394
0.004879
0.006331
5
0.000000
0.004512
0.005975
Ejercicios
1.-Utilizando la notación de kendall, describa cada una de las siguientes situaciones de líneas de
espera:
A) Estudiantes que llegan al azar para utilizar una maquina copiadora y cada estudiante
hace una sola copia.
R. M/D/1
B) Botellas que salen de una línea de ensamble a una tasa constante para inspección, el
tiempo de inspección es de duración aleatoria y hay cuatro inspectores.
R. M/D/4
C) Estudiantes que llegan al azar a una oficina de registro previo para el trimestre de
otoño. El tiempo de registro es de duración aleatoria y existe un asesor disponible para el
registro.
R. M/M/1
2.-
3.-
Para usar una maquina cajera automática de un banco, llegan clientes al azar a una tasa de
5 por hora. Responda las siguientes preguntas
A) ¿Cual es la probabilidad de que lleguen mas de tres clientes a solicitar servicio durante
un período de una hora?.
B) ¿Cual es la probabilidad de que ningún cliente solicite servicio durante una hora?
C) ¿De tres?
Suponiendo que la maquina cajera maneja requisiciones de servicio en forma aleatoria a
una tasa promedio de 10 clientes por hora, responda las siguientes preguntas.
μ=10/hora
P(t>T) = e-μt
A) ¿Cual es la duración promedio del tiempo de servicio al cliente?.
B) ¿Cual es la probabilidad de que se requiera que un cliente espere mas de 10 minutos
para ser atendido?.
C) ¿A que porcentaje de los clientes se les atenderá en menos de 3 minutos?.
4.-
Suponga que para la maquina cajera automática de los dos problemas anteriores, los
clientes llegan al azar y el tiempo necesario para dar servicio a un cliente es también
aleatorio, suponga además que la tasa de llegadas es de 5 por hora y la tasa de servicio es
de 10 por hora, responda las siguientes preguntas:
λ= 5/HORA
μ= 10/HORA
ρ=λ/μ = 1/2
A) ¿Cual es la probabilidad de que a un cliente se le atienda de inmediato, a su llegada, en
la cajera automática?.
B) ¿Cual es el promedio de tiempo que un cliente invierte con la cajera automática (tanto
en espera del servicio como recibiéndolo?).
C) Trace la gráfica de Pn con respecto a n, en donde n=numero de clientes en el sistema,
marque la gráfica el valor esperado de n.
D) En promedio, cuantos clientes se encuentran esperando en la línea para que la cajera
automática los atienda.
5.-
Comente si cada una de las siguientes situaciones de líneas de espera se ajusta a las
consideraciones del modelo M/M/1 o M/M/S.
A) Un restaurante de comida instantánea con múltiples posiciones de servicio. Las
posiciones se abren conforme es necesario.
B) Un restaurante de comida instantánea con una sola fila de servicio, por la cual deben
pasar todos los clientes para hacer y recibir sus pedidos (de diferente volumen y
complejidad).
C) En un banco, la ventanilla para automovilistas.
D) Una instalación para lavado de automóviles con una sola fila que conduce a
instalaciones múltiples de lavado.
E) En una tienda de abarrotes grande en un poblado universitario y que tiene múltiples
cajas de salida.
6.-
7.-
8.-
La línea rápida del supermercado EL TRUEQUE atiende solo clientes con 12 artículos o
menos, y como resultado, es mucho más veloz para estos clientes que las filas normales.
El gerente, Bor Acho, a estudiado esta fila y a determinado que los clientes llegan a una
tasa aleatoria de 20 por hora y que, en promedio, el tiempo de servicio para un cliente es
de un minuto. Suponiendo que la tasa de servicio también es aleatoria, responda las
siguientes preguntas.
A) ¿Cuales son μ y λ para la caja rápida?
B) En promedio, a cuantos clientes se esta atendiendo o están esperando?
C) En promedio, ¿cuanto debe de esperar un cliente antes de poder retirarse?
En el mostrador de libros de la principal biblioteca de la universidad de Huicholandia
llegan estudiantes al azar (los colores de la escuela son negro y azul). En el mostrador de
salida deben de abrir cualquier bolsa, portafolios, etc., que traigan para que el dependiente
verifique si no hay robos de libros, revistas, o documentos. El tiempo que se requiere para
hacer esta verificación es de duración aleatoria debido al diferente número de libros y
bolsas que los estudiantes llevan. Se ha determinado que la tasa promedio de llegadas es
de 20 estudiantes por hora y que el tiempo promedio para realizar la revisión de las bolsas
es de un minuto.
A) ¿Que valores tienen λ y μ para este problema?
B) ¿Cual es el factor de utilización?
C) ¿Que tiempo le llevara a un estudiante en promedio pasar por la revisión de bolsas?.
D) En promedio, ¿cuantos estudiantes se encuentran esperando en la fila en cualquier
momento?
E) ¿Durante que fracción de tiempo estará libre el empleado que revisa las bolsas para
poder dedicarse a estudiar?
El auto cinema Los Arroyos tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende una fila de
clientes. Los automóviles llegan al auto cinema a una tasa total de 90 automóviles por
hora y cada taquilla puede atender 40 automóviles por hora. Tanto las llegadas como los
servicios son por completo aleatorios. Con base a esta información responda las
siguientes Preguntas:
A) ¿Que tipo de información de líneas de espera es esta?. (Sea preciso)
B) Cual es la probabilidad de que, si consideramos una sola de las taquillas, se encuentre
desocupada?; ¿cual es la probabilidad de que este atendiendo a tres automóviles o haya
tres automóviles esperando en la fila?
C) ¿Cual es el número promedio de automóviles en el sistema de líneas de espera de cada
una de las taquillas (esperando y siendo atendidos)?
D) ¿Cual es el tiempo promedio de que un automóvil espera antes de llegar a la taquilla?.
E) Si el auto cinema decide utilizar una sola fila para la venta de todos los boletos en las
tres taquillas ¿que características de operación esperaría usted que cambiara mas y
porque?
9.-
El centro de reparación de computadoras TV Tec, maneja la reparación de las
microcomputadoras que vende TV Tec. Un problema común de reparación es la
alimentación de unidades de disco. Al llegar las microcomputadoras al centro de
reparación se asigna en forma rotatoria a algunos de los tres técnicos que para que haga la
alineación. Por razones de control de calidad, una vez que se asigna una
microcomputadora a un técnico no se asigna a otro. Suponiendo que las tasas de llegada y
servicios son aleatorias y de 30 por mes y dos por día cada técnico (20 días hábiles por
mes), responda las siguientes preguntas:
λ=10,
μ=40
A) ¿Cual será el tiempo promedio para que una microcomputadora permanezca en el
centro de servicio?
B) En promedio, ¿en cualquier momento cuantas micros estarán esperando a cada técnico
para que le de servicio?
C) ¿Como respondería usted a las preguntas anteriores si una de las microcomputadoras
que llega pasara al primer técnico disponible para que le diera servicio, en ves de que se
asignara en forma rotatoria?
10.-
La compañía arrendadora de automóviles “MANEJALO” opera su propia instalación de
lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a
la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 5 por día. La compañía ha
determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, en donde n
es el número de personas que trabajan en un automóvil por ejemplo, si se encuentran
cuatro personas trabajando la tasa de lavado es de 8 automóviles por día. Se ha
determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial
negativa. La compañía les paga a sus trabajadores $30 por día y ha determinado que el
costo por un automóvil que no este disponible para rentarlo es de $25 por día.
A) Calcule el número de empleados que deben encontrarse en la institución de lavado,
para que produzca el menor costo.
B) Calcule las características de operación l. lq, w. wq para el numero de empleados que
eligió.
COSTO TOTAL = costo del carro + costo de empleados = 30n + 25L
Investigación de Operaciones II
Teoría de Colas
11.-
La compañía de pesca Charal S.A. utiliza sus propios botes camaroneros para pescar y
después lo empacan para enviarlo a otras partes cuando otros botes llegan durante la
temporada, hay que descargarlo tan rápido como sea posible para que puedan volver al mar.
El gerente de producción de la compañía. Estima que el costo de que un bote camaronero
permanezca detenido es de $50 por hora (esto incluye los salarios al igual que el tiempo de
pesca) los trabajadores que descargan los botes ganan $8 por hora ya sea que estén
trabajando o no. Si el patrón de llegadas para los botes es aleatorio y el tiempo de descarga
también lo es. ¿Cual es el número de trabajadores que la compañía Debe utilizar para
descargar los botes y que produzca el menor costo total? Los botes llegan a una tasa
promedio de uno por hora y cada trabajador puede descargar medio bote por hora.
λ = 1 por hora
μ = cada trabajador 1/2 hora * (2n)
μ = 1/3 n
Costo por barco parado = $50 la hora
COSTO TOTAL = costo del barco + costo de empleados = 8n + 50L
12.-
En un estudio de un expendio local de venta de hamburguesas conocido como WetBack
Burger. Los estudiantes del Tec hacen las siguientes observaciones; parece que los clientes
llegan a al azar; todos los clientes se colocan en una sola fila para hacer y recibir sus
pedidos; debido a diferencias en el volumen y la complejidad en los pedidos; la duración del
tiempo para atender a cada cliente es aleatorio. Después, los estudiantes recopilaron datos
sobre tiempos de llegada y de servicio. Se observaron las llegadas para períodos de una hora
y se anotaron los números de llegada durante cada período de 10 minutos durante la hora los
resultados de este centro son:
INTERVALOS
LLEGADAS
0-10
14
10-20
5
20-30
10
30-40
8
40-50
12
50-60
7
-56
Para un muestreo aleatorio de las llegadas anteriores, los tiempos de servicio (en segundos)
fueron:
25
20
45
25
13
52
35
25
25
45
25
38
42
55
45
15
70
20
28
30
55
32
58
65
10
85
50
13
10
30
M.C. Hector Martínez Rubin Celis
44
Investigación de Operaciones II
Teoría de Colas
45
15
30
Suponiendo que estos tiempos de llegadas y de servicio se ajustan de verdad a las
distribuciones de probabilidad de Poisson y Exponencial negativa:
A) Calcule la tasa de promedio de llegada y la tasa de servicio.
B) Determine las siguientes características de operación: Po,L,Lq,W.Wq.
L,Lq,W, y Wq para
λ=5, μ=8,
13.-
El padre Cresencio utiliza en la actualidad dos confesionarios con filas para atender las
necesidades de sus feligreses. se ha observado que las llegadas son aleatorias a un ritmo
promedio de 30 personas por hora y el tiempo de servicio tiende a ser aleatorio también,
puesto que la cantidad de pecados por persona puede diferir en gran medida, se ha
determinado que el tiempo promedio que se permanece en el confesionario es de 3 minutos.
Se ha obtenido también que las llegadas se distribuyan en forma equitativa entre las dos
líneas. El padre Cresencio esta considerando cambiar a un sistema en el que se utilice una
sola fila que alimente ambos confesionarios. El padre desea saber que sistema (el actual o el
propuesto) conducirá al tiempo promedio más breve en el sistema para sus feligreses.
A) Sistema actual CANAL SIMPLE M/M/1 con 2 líneas en paralelo
B) Sistema propuesto M/M/2
Canal múltiple S=2
14.-
La compañía Arrendadora “Manejalo” se esta considerando añadir un taller de lavado para
incrementar su negocio. La nueva tasa de llegada es de 8 automóviles por día, en tanto que la
tasa de lavado para cada taller será de 2n, en donde n Es en número de personas que trabajan
en un auto y se ha determinado que el costo adicional de las nuevas instalaciones es $50
diarios.
A) Bajo estas condiciones, determinase si la compañía debe añadir una instalación adicional
o no.
B) Calcule las características de operación que determine usted que tiene el menor costo.
15.-
Acaba de surgir una nueva oportunidad para la compañía de pesca Charal ya que puede
rentar un muelle adyacente en $20 la hora para descargar los barcos durante la temporada
fuerte de pesca. Determine si seria redituable que la compañía rente ese espacio adicional de
muelle. Puede usted suponer que todos los demás valores siguen siendo los mismos que en el
problema original.
16.-
Una oficina de admisiones de cierta prestigiada Universidad procesa solicitudes de admisión
en la base PEPS. Estas solicitudes llegan aleatoriamente a una tasa de 5 por día. La
distribución de probabilidad de los tiempos de servicio es tal que la desviación estándar es de
1/10 de día y la media es de 1/9 de día: Cual es el tiempo promedio que una solicitud espera
para ser procesada? En promedio, cuantas solicitudes esperan ser procesadas en cualquier
momento?
17.-
El Banco Nacional de Hucholandia esta planeando instalar un variedad especial de cajeros
automáticos en la librería de una universidad local. Este cajero automático será especial
porque permitirá solo hacer retiros. Puesto que el cajero solo permitirá retiros entra un
tiempo de servicio de 60 seg. Si las llegadas son aleatorias y a razón de 30 por hora, ¿cual
será el tiempo promedio que un estudiante pasara en la fila y haciendo su retiro?, en
promedio, ¿cuantos estudiantes estarán en espera de hacer retiros?
M.C. Hector Martínez Rubin Celis
45
Investigación de Operaciones II
18.-
Teoría de Colas
Una maquina copiadora de una compañía tiene un tiempo de servicio de 30 trabajos por hora
y se renta por $60 por ocho horas al día. El gerente nota que usualmente existe trabajo en
espera aparte que se esta trabajando en la copiadora. Cada trabajo es llevado a la copiadora
por una persona y esta persona gana $5 por hora. El gerente tiene la oportunidad de tener una
maquina nueva la que se rente por $90 al día y la cual se estima puede atender a cuarenta
horas mas considerado que el único costo se aplica a la persona que lleve el trabajo en sus
salarios, determine si se deberá obtener una nueva maquina.
M.C. Hector Martínez Rubin Celis
46