13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
12.Teoría de colas y fenómenos de
espera
Notación y terminología
Modelado del proceso de llegada
Modelado del proceso de servicio
Notación de Kendall-Lee
Procesos de nacimiento y muerte
Modelo M/M/1. Análisis de modelos
Notación y terminología.
Para describir una cola hay que especificar:
Proceso de entrada o llegada: clientes
Proceso de salida o servicio: distribución del tiempo de servicio
independiente del nº de clientes presentes
Carmen M. García
El proceso de llegada no se ve afectado por nº de clientes presentes, se rige
por una distribución de probabilidad que gobierna el tiempo entre llegadas
sucesivas
Modelos de origen finito: las llegadas se toman de una población pequeña
La rapidez de llegada disminuye cuando la instalación está concurrida: el
cliente puede declinar.
Servidores en paralelos
Servidores en serie
1
13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Notación y terminología.
Disciplina de la cola: método que se usa para determinar el orden en el
que se sirve a los clientes
Primero en entrar, primero en ser servido (cola)
Último en entrar, primero en ser servido (pila)
Servicio en orden aleatorio
Disciplinas de prioridad en espera
Método utilizado por los clientes para unirse a la cola
Modelado del proceso de llegada
Hipótesis: puede suceder una llegada como mucho en cada instante
de tiempo
ti= tiempo en el que llega el i-ésimo cliente
Ti=ti+1-ti= tiempo i-ésimo entre llegadas, variable aleatoria
Carmen M. García
Independientes: T2 no tiene efecto sobre T3,...
Continuas: las llegadas pueden suceder en cualquier instante de tiempo
Descritas por la variable aleatoria A: la distribución de llegadas es
independiente del tiempo
2
13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Distribución de llegadas
a(t) función de densidad de A:
c
∞
0
c
P( A ≤ c ) = ∫ a(t )dt, P( A > c ) = ∫ a(t )dt, c ≥ 0
Tiempo promedio entre llegadas: rapidez de llegadas λ
1
λ
∞
= ∫ ta (t )dt
0
Habitualmente A es la distribución exponencial
Distribución exponencial
A distribución exponencial con parámetro λ
a(t ) = λe − λt
E ( A) =
1
λ
var( A) =
1
λ2
Propiedad de amnesia: si A tiene distribución exponencial entonces
para todo valor no negativo de t y h
P ( A > t + h | A ≥ t ) = P ( A > h)
Carmen M. García
No importa cuanto tiempo haya pasado desde la última llegada para
conocer la distribución de probabilidad de la siguiente llegada.
3
13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Distribución de Poisson
Los tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro λ si y
sólo si el número de llegadas que suceden en un intervalo t sigue una
distribución de Poisson con parámetro λt
e − λ λn
n!
E ( N ) = var( N ) = λ
P ( N = n) =
Distribución de Poisson
Si se verifica:
las llegadas definidas en intervalos de tiempos que no se solapan son
independientes,
para ∆t pequeño y cualquier valor de t la probabilidad de que se tenga
una llegada entre los tiempos t y t+∆t es λ∆t +o(∆t),
entonces N sigue una distribución de Poisson con parámetro λt y los
tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro λ.
Carmen M. García
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13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Modelado del proceso de servicio
Hipótesis: los tiempos de servicio de distintos clientes son variables
aleatorias independientes y el tiempo de servicio de cada cliente está
regido por una variable aleatoria S con función de densidad s(t)
Tiempo promedio de servicio a cliente:
∞
1
= ∫ ts (t )dt
0
µ
Rapidez de servicio: µ
Los tiempos de servicio suelen modelarse con una distribución de
Erlang con parámetro de forma k y parámetro de rapidez kµ.
Notación de Kendall-Lee
Cada sistema de colas se representa con 6 características: 1/2/3/4/5/6
1.
Naturaleza del proceso de llegada:
M=tiempo entre llegadas independientes y distribuidos idénticamente (iid), las
v.a. siguen una distribución exponencial
D= tiempo entre llegadas iid y deterministas
GI= tiempo entre llegadas iid y distribución general
2.
Naturaleza de los tiempos de servicio:
Como en 1.
3.
Carmen M. García
Número de servidores en paralelo
5
13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Notación de Kendall-Lee
4.
Disciplina de la cola
PLPS= primero en llegar, primero en ser atendido
ULPS= último en llegar, primero en ser atendido
SEOA= servicio en orden aleatorio
DG = disciplina general en la cola
5.
6.
Número máximo permitido de clientes en el sistema incluyendo los que
esperan y los que están siendo atendidos
Tamaño de la población de la que se toman los clientes
Procesos de nacimiento y muerte.
Estado del sistema en t= número de clientes presentes en cualquier
sistema de cola en tiempo t.
Carmen M. García
Para t=0, el estado del sistema=nº inicial de clientes
Pij(t)=probabilidad de que haya j clientes en el sistema de cola en t
supuesto que en el tiempo 0 había i personas
πj= estado estable o probabilidad de equilibrio del estado j= lim Pij (t )
t →∞
Comportamiento transitorio del sistema de cola= comportamiento de Pij(t)
antes de alcanzar el estado estable.
Proceso de nacimiento y muerte: proceso estocástico continuo en el
tiempo para el que el estado del sistema en cualquier tiempo es un
entero no negativo
6
13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Procesos de nacimiento y muerte.
Leyes del movimiento
1.
2.
3.
La probabilidad de que suceda un nacimiento (el estado del sistema
pase de j a j+1) entre el tiempo t y t+ ∆t es λj ∆t + o(∆t). λj es la tasa
de natalidad en el estado j
La probabilidad de que suceda una muerte (el estado del sistema pase
de j a j-1) entre el tiempo t y t+ ∆t es µj ∆t + o(∆t). µj es la tasa de
mortalidad en el estado j. Se debe cumplir µ0=0
Los nacimientos y muertes son independientes entre sí.
La mayor parte de los sistemas de cola con tiempos exponenciales
entre llegadas y de servicio pueden modelarse como procesos de
nacimiento y muerte.
Modelo M/M/1. Análisis de modelos.
Tiempos entre llegadas: exponenciales con parámetro λ
Probabilidad de nacimiento (llegada) entre t y t+ ∆t
∫
∆t
0
Tasa de natalidad: λ
Tiempos de servicio: exponenciales con parámetro µ
Probabilidad de muerte (fin de servicio) entre t y t+ ∆t
∫
∆t
0
Carmen M. García
λe λt dt = 1 − e λ∆t = λ∆t + o(∆t )
µe µt = 1 − e µ∆t = µ∆t + o(∆t )
Tasa de mortalidad: µ
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13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Modelo M/M/1. Análisis de modelos.
Probabilidades de estado estable
λπ 0
λ 2π 0
λ jπ 0
π
, π2 =
,
K
=
j
µ
µ2
µj
Intensidad de tráfico
λ
ρ=
µ
π1 =
π 0 (1 + ρ + ρ 2 +K) = 1
Si 0≤ρ<1
π0 (1+ ρ+ ρ2 +K) = π0
1
=1 ⇒ π0 =1− ρ, π j = ρ j (1− ρ)
1− ρ
Si ρ≥1: no existe distribución de estado estable
Modelo M/M/1. Análisis de modelos.
0≤ρ<1
Número promedio de clientes presentes en el sistema de colas
∞
L = ∑ jπ j =
Lq =
ρ
λ
=
1− ρ µ − λ
j =0
Número esperado de clientes en la cola
∞
∑ ( j − 1)π
j =1
j
=
ρ2
λ2
=
1− ρ
µ (µ − λ )
Número esperado de clientes en ventanilla
Ls = L − Lq = ρ
Carmen M. García
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13. Teoría de Colas y Fenómenos de Espera
Modelo M/M/1. Análisis de modelos.
0≤ρ<1
Fórmula de Little para colas:
para cualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado
estable se cumple
L = λW
Lq = λWq
Ls = λWs
donde
W= tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema
Wq= tiempo promedio que pasa un cliente en la cola
Ws=tiempo promedio que pasa un cliente en el servicio
Carmen M. García
9
0
