` 110 19` 32.16`` = + = + = + + = 74.245 74 0.245 60`

Capítulo 5 / Sección 5.1
1
SOLUCIONES
1. Dibuje los siguientes ángulos.
a.
6
revolución
4
b. 1350
c.
4
3
 radianes
2. Convierta los siguientes ángulos a décimas de grados.
0
a. 32 15 ' 30"
b. 162
 1  1 
 1 
  30    
60
 
 60  60  
0
320 15 ' 30"  320 +15 
0
0
48' 12"
 1  1 
 1 
1620 48 ' 12"  1620 +48    12    
60
 
 60  60  
0
= 162.80330
= 32.25830
3. Convierta los siguientes ángulos a grados, minutos y segundos.
a. 110.356
0
110.3560  1100  0.356  60 '
b. 74.245
0
74.2450  740  0.245  60 '
 1100  19.536 '
 740  14.7 '
 1100  19 ' 0.536  60 '' 
 740  14 ' 0.7  60 '' 
 1100 19 ' 32.16 ''
 740 14 ' 42 ''
4. Convierta los siguientes ángulos a radianes.
a. 2 revoluciones
2(2𝜋) = 4𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
b. 210
0
210° ×
𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 1.16666𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
180°
0
2
5.1 Ángulos y sus Medidas
5. Convierta los siguientes ángulos a grados.
a.
3
revolución
2
5
b.
3
(2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ) = 3𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
2
180°
3𝜋 𝑟𝑎𝑑 ×
= 540°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
6
 radianes
5
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑 ×
= 150°
6
𝜋 𝑟𝑎𝑑
c. 3.4 radianes
180°
3.4 𝑟𝑎𝑑 ×
= 194.8056°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
6. a. Halle la longitud del arco que corresponde a un ángulo central de 2.3 radianes en un círculo de
radio 4 pies.
Solución
𝑟 = 4 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝜃 = 2.3 𝑟𝑎𝑑
Luego
𝑠 = 2.3(4 𝑝𝑖𝑒𝑠) = 9.2 𝑝𝑖𝑒𝑠
La longitud de arco es de 9.2 𝑝𝑖𝑒𝑠.
0
b. Halle la longitud de del arco que corresponde a un ángulo central de 70 en un círculo de radio
0.9 metros.
Solución
𝑟 = 0.9 𝑚𝑡𝑠, 𝜃 = 70°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝜃 = 70° ×
= 1.22173 𝑟𝑎𝑑
180°
𝑠 = 1.22173 (0.9 𝑚𝑡𝑠) = 1.09955 𝑚𝑡𝑠
La longitud de arco es de 1.09955 𝑚𝑡𝑠.
c.
Halle el ángulo en grados que corresponde a un arco de longitud 8 pies si el radio del círculo es
24 pies.
Solución
El ángulo mide 19.098°.
𝑟 = 24 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝑠 = 8 𝑝𝑖𝑒𝑠
8 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝜃=
= 0.333333 𝑟𝑎𝑑
24 𝑝𝑖𝑒𝑠
180°
0.333333 𝑟𝑎𝑑 ×
= 19.098°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
0
Halle el área de un sector cuyo ángulo central es 74 en un círculo de radio 22 cm.
Solución
𝑟 = 22 𝑐𝑚, 𝜃 = 74°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝜃 = 74° ×
= 1.2915 𝑟𝑎𝑑
180°
Luego
. a.
Capítulo 5 / Sección 5.1
3
1
𝐴 = (22 𝑐𝑚 )2 (1.2915)
2
𝐴 = 312.543 𝑐𝑚 2
El área del sector es de 312.543 𝑐𝑚 2
b. Si el área de un sector de círculo es 26.5 pies cuadrados y el radio del círculo es 4 pies, halle el
ángulo del sector en radianes con aproximación a la centésima más cercana.
Solución
𝑟 = 4 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝐴 = 26.5 𝑝𝑖𝑒𝑠 2
Entonces
2𝐴 2(26.5 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 )
𝜃= 2 =
= 3.3125 𝑟𝑎𝑑
(4 𝑝𝑖𝑒𝑠)2
𝑟
El ángulo mide 3.3125 𝑟𝑎𝑑.
8. Las ruedas de un automóvil tienen un diámetro de 28 pulgadas. Suponga que el automóvil recorre 1
milla en 20 minutos.
a. Determine la velocidad angular de la rueda en radianes por segundo.
b. Determine la velocidad lineal en pies por segundo.
c. Determine el número de vueltas que da cada rueda, si se asume que la rueda no patina o resbala.
Solución
a. Como el radio de las ruedas es de 14 pulgadas, entonces en 1 revolución tiene longitud de arco de
2𝜋 (14 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠) = 28𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, por lo tanto al hacer los cambios de unidades a radianes por
segundo se tiene que:
(
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 5280 𝑝𝑖𝑒𝑠 1 𝑚𝑖𝑛 12 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
)(
)(
)(
)(
)(
) = 37.222
20 𝑠𝑒𝑔
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
60 𝑠𝑒𝑔
1 𝑝𝑖𝑒
28𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑠𝑒𝑔
Por consiguiente, la velocidad angular es aproximadamente 37.222
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
.
b. La velocidad lineal es la velocidad del auto, haciendo el cambio de las unidades a pies por segundo,
se tiene que:
(
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 5280 𝑝𝑖𝑒𝑠 1 𝑚𝑖𝑛
)(
)(
) = 4.4 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
20 𝑠𝑒𝑔
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
60 𝑠𝑒𝑔
c. El número de vueltas de cada rueda corresponde al número de revoluciones en 20 segundos.
(
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 5280 𝑝𝑖𝑒𝑠 1 𝑚𝑖𝑛 12 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
)(
)(
)(
)(
) = 58.4689
20 𝑠𝑒𝑔
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
60 𝑠𝑒𝑔
1 𝑝𝑖𝑒
28𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑠𝑒𝑔
Esto quiere decir que cada rueda da 58.4689 vueltas por segundo.